高中數(shù)學完整講義——排列與組合5排列組合問題的常見模型

1、排列組合問題的常見模型1知識內容1基本計數(shù)原理加法原理分類計數(shù)原理：做一件事，完成它有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種方法，在第類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有種不同的方法又稱加法原理乘法原理分步計數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成個子步驟，做第一個步驟有種不同的方法，做第二個步驟有種不同方法，做第個步驟有種不同的方法那么完成這件事共有種不同的方法又稱乘法原理加法原理與乘法原理的綜合運用如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分類計數(shù)原理如果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事的

2、方法數(shù)時，使用分步計數(shù)原理分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理是推導排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎，也是求解排列、組合問題的基本思想方法，這兩個原理十分重要必須認真學好，并正確地靈活加以應用2 排列與組合排列：一般地，從個不同的元素中任取個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列（其中被取的對象叫做元素）排列數(shù)：從個不同的元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示排列數(shù)公式：，并且全排列：一般地，個不同元素全部取出的一個排列，叫做個不同元素的一個全排列的階乘：正整數(shù)由到的連乘積，叫作的階乘，用表示規(guī)定：組合：一般地，從個不同元素中，任意取

3、出個元素并成一組，叫做從個元素中任取個元素的一個組合組合數(shù)：從個不同元素中，任意取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中，任意取出個元素的組合數(shù)，用符號表示組合數(shù)公式：，并且組合數(shù)的兩個性質：性質1：；性質2：（規(guī)定）排列組合綜合問題解排列組合問題，首先要用好兩個計數(shù)原理和排列組合的定義，即首先弄清是分類還是分步，是排列還是組合，同時要掌握一些常見類型的排列組合問題的解法：1特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；2分類分步法：對于較復雜的排列組合問題，常需要分類討論或分步計算，一定要做到

4、分類明確，層次清楚，不重不漏3排除法，從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法4捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個”元素，與其它元素進行排列，然后再給那“一捆元素”內部排列5插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空6插板法：個相同元素，分成組，每組至少一個的分組問題把個元素排成一排，從個空中選個空，各插一個隔板，有7分組、分配法：分組問題（分成幾堆，無序）有等分、不等分、部分等分之別一般地平均分成堆（組），必須除以！，如果有堆（組）元素個數(shù)相等，必須除以！8錯位法：編號為1至的個小球放入編號為1到的個盒子里，每個盒子放一個小球，

5、要求小球與盒子的編號都不同，這種排列稱為錯位排列，特別當，3，4，5時的錯位數(shù)各為1，2，9，44關于5、6、7個元素的錯位排列的計算，可以用剔除法轉化為2個、3個、4個元素的錯位排列的問題1排列與組合應用題，主要考查有附加條件的應用問題，解決此類問題通常有三種途徑：元素分析法：以元素為主，應先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；位置分析法：以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；間接法：先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)求解時應注意先把具體問題轉化或歸結為排列或組合問題；再通過分析確定運用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理；然后分析題目條件，避免

6、“選取”時重復和遺漏；最后列出式子計算作答2具體的解題策略有：對特殊元素進行優(yōu)先安排；理解題意后進行合理和準確分類，分類后要驗證是否不重不漏；對于抽出部分元素進行排列的問題一般是先選后排，以防出現(xiàn)重復；對于元素相鄰的條件，采取捆綁法；對于元素間隔排列的問題，采取插空法或隔板法；順序固定的問題用除法處理；分幾排的問題可以轉化為直排問題處理；對于正面考慮太復雜的問題，可以考慮反面對于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問題，需要構造模型典例分析排隊問題【例1】 三個女生和五個男生排成一排 如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？ 如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？ 如果兩端都不能排女生，可有多少種不

7、同的排法？【例2】 個人站成一排：其中甲、乙兩人必須相鄰有多少種不同的排法？其中甲、乙兩人不相鄰有多少種不同的排法？其中甲、乙兩人不站排頭和排尾有多少種不同的排法？其中甲不站排頭，且乙不站排尾有多少種不同的排法？【例3】 7名同學排隊照相 若分成兩排照，前排3人，后排4人，有多少種不同的排法？ 若排成兩排照，前排3人，后排4人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種不同的排法？ 若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法？ 若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相鄰，有多少種不同的排法？【例4】 個隊員排成一排，共有多少種不同的排法？若甲必須站在排頭，有多少種不同

8、的排法？若甲不能站排頭，也不能站排尾，問有多少種不同的排法？【例5】 五個字母排成一排，若的位置關系必須按A在前、B居中、C在后的原則，共有_種排法（用數(shù)字作答）【例6】 用1到8組成沒有重復數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有_ _個（用數(shù)字作答）【例7】 記者要為名志愿者和他們幫助的位老人拍照，要求排成一排，位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（ ）A種 B種C種 D種【例8】 名同學合影，站成前排人后排人，現(xiàn)攝影師要從后排人中抽人調整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調整方法的總數(shù)是（ ）ABCD【例9】 記者要為5名志愿者和他們幫

9、助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（ ）A1440種B960種C720種D480種【例10】 在數(shù)字與符號五個元素的所有全排列中，任意兩個數(shù)字都不相鄰的全排列個數(shù)是（ ）ABCD【例11】 計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩、4幅油畫、5幅國畫，排成一列陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的陳列方式有_種【例12】 6人站一排，甲不站在排頭，乙不站在排尾，共有_種不同的排法（用數(shù)字作答）【例13】 一條長椅上有7個座位，4人坐，要求3個空位中，有2個空位相鄰，另一個空位與2個相鄰位不相鄰，共有幾種坐法？【例14】 位男生和位

10、女生共位同學站成一排，若男生甲不站兩端，位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（ ）AB CD【例15】 古代“五行”學說認為：“物質分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”將五種不同屬性的物質任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質不相鄰，則這樣的排列方法有 種（結果用數(shù)值表示）【例16】 在的任一排列中，使相鄰兩數(shù)都互質的排列方式共有（ ）種A B C D【例17】 從集合與中各任取2個元素排成一排（字母和數(shù)字均不能重復）每排中字母和數(shù)字至多只能出現(xiàn)一個的不同排法種數(shù)是_（用數(shù)字作答）【例18】 從集合與中各任取個元素排成一排（字母和數(shù)字均不能重復）

11、每排中字母和數(shù)字至多只能出現(xiàn)一個的不同排法種數(shù)是_（用數(shù)字作答）【例19】 個人坐在一排個座位上，問 空位不相鄰的坐法有多少種? 個空位只有個相鄰的坐法有多少種? 個空位至多有個相鄰的坐法有多少種?【例20】 位男生和位女生共位同學站成一排，若男生甲不站兩端，位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（ ）ABCD【例21】 12名同學合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調整到前排，其他人的相對順序不變，則不同調整的方法的總數(shù)有（ ）A B C D【例22】 兩部不同的長篇小說各由第一、二、三、四卷組成，每卷本，共本將它們任意地排成一排，左邊本恰好都屬于同一部小說的

12、概率是_【例23】 年月中旬，我國南方一些地區(qū)遭遇歷史罕見的雪災，電煤庫存吃緊為了支援南方地區(qū)抗災救災，國家統(tǒng)一部署，加緊從北方采煤區(qū)調運電煤某鐵路貨運站對列電煤貨運列車進行編組調度，決定將這列列車編成兩組，每組列，且甲與乙兩列列車不在同一小組如果甲所在小組列列車先開出，那么這列列車先后不同的發(fā)車順序共有（ ）A種 B種 C種 D種數(shù)字問題【例24】 給定數(shù)字、，每個數(shù)字最多用一次，可能組成多少個四位數(shù)？可能組成多少個四位奇數(shù)？可能組成多少個四位偶數(shù)？可能組成多少個自然數(shù)？【例25】 用0到9這10個數(shù)字，可組成多少個沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)？【例26】 在1，3，5，7，9中任取3個數(shù)字，在0

13、，2，4，6，8中任取兩個數(shù)字，可組成多少個不同的五位偶數(shù)【例27】 用排成一個數(shù)字不重復的五位數(shù)，滿足的五位數(shù)有多少個？【例28】 用這十個數(shù)字組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，若千位數(shù)字與個位數(shù)字之差的絕對值是，則這樣的四位數(shù)共有多少個？【例29】 用數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，其中個位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有_個（用數(shù)學作答）【例30】 有張分別標有數(shù)字的紅色卡片和張分別標有數(shù)字的藍色卡片，從這張卡片中取出張卡片排成一行如果取出的張卡片所標數(shù)字之和等于，則不同的排法數(shù)一共有 種；【例31】 有張卡片分別標有數(shù)字，從中取出張卡片排成行列，要求行中僅有中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為

14、，則不同的排法共有（ ）A種B種C種D種【例32】 有張分別標有數(shù)字的紅色卡片和張分別標有數(shù)字的藍色卡片，從這張卡片中取出張卡片排成一行如果取出的張卡片所標數(shù)字之和等于，則不同的排法共有_種（用數(shù)字作答）【例33】 用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒有重復數(shù)字），要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是_（用數(shù)字作答）【例34】 用數(shù)字可以組成沒有重復數(shù)字，并且比大的五位偶數(shù)共有（ ）A個 B個 C個 D個【例35】 從這個數(shù)中，取出兩個，使其和為偶數(shù)，則共可得到 個這樣的不同偶數(shù)？【例36】 求無重復數(shù)字的六位數(shù)中，能被整除的數(shù)有_個【例37】 用數(shù)字組成沒有

15、重復數(shù)字的四位數(shù)，其中個位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有 個（用數(shù)學作答）【例38】 從這六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為（ ）A B C D 【例39】 從這六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為（ ）A B C D【例40】 從到的九個數(shù)字中取三個偶數(shù)四個奇數(shù)，試問：能組成多少個沒有重復數(shù)字的七位數(shù)？其中任意兩偶數(shù)都不相鄰的七位數(shù)有幾個？上述七位數(shù)中三個偶數(shù)排在一起的有幾個？中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起、奇數(shù)也排在一起的有幾個？其中任意兩偶數(shù)都不相鄰的七位數(shù)有幾個？【例41】 用到這九個數(shù)字可組成多少個沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)？【例42】 有張分別標有數(shù)字的紅色卡片和張分別標有數(shù)字的藍色卡片，從這張卡片中取出張卡片排成一行如果取出的張卡片所標數(shù)字