三次函數(shù)專題—全解全析(一)

1、三次函數(shù)專題 全解全析（一）一、定義：定義 1、形如的函數(shù)，稱為 “三次函數(shù) ”（從函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)上命名）定義 2、三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把叫做三次函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的判別式由于三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)， 而二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容， 所以三次函數(shù)的問題，已經(jīng)成為高考命題的一個新的熱點和亮點。二、三次函數(shù)圖象與性質(zhì)的探究：1、單調(diào)性一般地， 當(dāng)數(shù)；當(dāng)時，三次函數(shù)時，三次函數(shù)在上是單調(diào)函在上有三個單調(diào)區(qū)間（根據(jù)2、對稱中心兩種不同情況進行分類討論）三次函數(shù)是關(guān)于點對稱，且對稱中心為點，此點的橫坐標(biāo)是其導(dǎo)函數(shù)極值點的橫坐標(biāo)。證明：設(shè)函數(shù)的對稱中心為（m，n）。按向量將函數(shù)的圖象平移，則所得函數(shù)是奇函數(shù)

2、， 所以化簡得：上式對恒成立，故，得，。所以，函數(shù)的對稱中心是（）。可見， y f(x) 圖象的對稱中心在導(dǎo)函數(shù)y的對稱軸上，且又是兩個極值點的中點，同時也是二階導(dǎo)為零的點。3、三次方程根的問題（1）當(dāng) =時，由于不等式恒成立，函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以原方程僅有一個實根。（2）當(dāng)=時，由于方程有兩個不同的實根，不妨設(shè)，可知，為函數(shù)的極大值點，為極小值點，且函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。此時： 若，即函數(shù)極大值點和極小值點在軸同側(cè)，圖象均與軸只有一個交點，所以原方程有且只有一個實根。0若，即函數(shù)極大值點與極小值點在軸異側(cè)，圖象與軸必有三個交點，所以原方程有三個不等實根。若，即與中有且只有一個值

3、為0，所以，原方程有三個實根，其中兩個相等。4、極值點問題若函數(shù) f(x) 在點 x0 的附近恒有 f(x 0) f(x)或 f(x 0) f(x)，則稱函數(shù) f(x) 在點 x0 處取得極大值（或極小值） ，稱點 x0 為極大值點（或極小值點） 。當(dāng)時，三次函數(shù)在上的極值點要么有兩個。當(dāng)時，三次函數(shù)在上不存在極值點。5、最值問題函數(shù)若，且，則：；三、三次函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題：1. 三次函數(shù)與導(dǎo)數(shù)例題例1. 函數(shù).（ 1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（ 2）若函數(shù)在區(qū)間（ 1， 2）是增函數(shù)，求的取值范圍 .解：（ ），的判別式 =36（ 1-a） .（ ）當(dāng) a1時， 0，則恒成立，且當(dāng)且僅當(dāng)，故此時在 R

4、 上是增函數(shù) .（）當(dāng)且，時，有兩個根：，若，則,當(dāng)或時，故在上是增函數(shù)；當(dāng)時，故在上是減函數(shù)；若，則當(dāng)或時，故在和上是減函數(shù)；當(dāng)時，故在上是增函數(shù)；（）當(dāng)且時,所以當(dāng)時，在區(qū)間（ 1， 2）是增函數(shù) .當(dāng)時，在區(qū)間（1,2）是增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)且，解得.綜上，的取值范圍是.例 2. 設(shè)函數(shù)，其中。（ 1）討論在其定義域上的單調(diào)性；（1）當(dāng)時，求取得最大值和最小值時的的值 .（）的定義域為，令，得所以當(dāng)或時，；當(dāng)時，故在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增（）因為，所以（ ）當(dāng)時，由（ ）知，在 0， 1上單調(diào)遞增，所以在和處分別取得最小值和最大值（ ）當(dāng)時，由（ ）知，在 0，上單調(diào)遞增，在， 1上單調(diào)遞減，因此在處取得最大值又，所以當(dāng)時，在處取得最小值；當(dāng)時，在和處同時取得最小值；當(dāng)時，在處取得最小值。例 3. 已知函數(shù)（ 1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若對于任意的，都存在，使得，求的取值范圍解：（ ）由已知，有令，解得或當(dāng)變化時，的變化情況如下表：0-0+0-0所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是，當(dāng)時，有極小值，且極小值；當(dāng)時，有極大值，且極大值（ ）解：由及（ ）知，當(dāng)時，；當(dāng)時，設(shè)集合，集合，則 “對于任意的，都存在，使得”等價于，顯然，.下面分三種情況討論：（1）當(dāng)，即時，由可知，而，所以不是的子集。（ 2）當(dāng)