多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘法【谷風(fēng)課資】

1、多元函數(shù)的極值和最值,條件極值 拉格朗日乘數(shù)法,小結(jié) 思考題 作業(yè),第八節(jié) 多元函數(shù)的極值與 拉格朗日乘數(shù)法,第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用,1,一、多元函數(shù)的極值和最值,1.極大值和極小值的定義,一元函數(shù)的極值的定義:,是在一點(diǎn)附近,將函數(shù)值比大小.,定義,點(diǎn)P0為函數(shù)的極大值點(diǎn).,類似可定義極小值點(diǎn)和極小值.,?,設(shè)在點(diǎn)P0的某個(gè)鄰域,為極大值.,則稱,2,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的,函數(shù)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的,多元函數(shù)的極值也是局部的,一般來說:極大值未必是函數(shù)的最大值.極小值未必是函數(shù)的最小值.,有時(shí),極值.,極值點(diǎn).,內(nèi)的值比較.,是與P0的鄰域,極小值可能比極大值還

2、大.,3,例,例,例,函數(shù) 存在極值,在(0,0)點(diǎn)取極小值.,在(0,0)點(diǎn)取極大值.,(也是最大值).,在(0,0)點(diǎn)無極值.,?,橢圓拋物面,下半個(gè)圓錐面,馬鞍面,在簡(jiǎn)單的情形下是,容易判斷的.,函數(shù),函數(shù),(也是最小值).,函數(shù),4,2.極值的必要條件,證,定理1,(必要條件),則它在該,點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零:,有極大值,不妨設(shè),都有,說明一元函數(shù),有極大值,必有,類似地可證,5,推廣,如果三元函數(shù),具有偏導(dǎo)數(shù),則它在,有極值的必要條件,為,均稱為函數(shù)的,駐點(diǎn),極值點(diǎn),仿照一元函數(shù),凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的,點(diǎn),駐點(diǎn).,如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn),如,駐點(diǎn),但不是極值點(diǎn).,?,6,3

3、.極值的充分條件,定理2,(充分條件),的某鄰域內(nèi)連續(xù),有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),處是否取得極值的條件如下:,(1),有極值,有極大值,有極小值;,(2),沒有極值;,(3),可能有極值,也可能無極值.,7,求函數(shù) 極值的一般步驟:,第一步,解方程組,求出實(shí)數(shù)解,得駐點(diǎn).,第二步,對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn),求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值,第三步,定出,的符號(hào),再判定是否是極值.,8,例,解,又,在點(diǎn)(0,0)處,在點(diǎn)(a,a)處,故,故,即,的極值.,在(0,0)無極值;,在(a,a)有極大值,9,解,練習(xí),求由方程,將方程兩邊分別對(duì)x, y求偏導(dǎo)數(shù),由函數(shù)取極值的必要條件知,駐點(diǎn)為,將上方程組再分別對(duì)x, y求偏導(dǎo)

4、數(shù),法一,10,故,函數(shù)在P有極值.,代入原方程,為極小值;,為極大值.,所以,所以,11,求由方程,解,練習(xí),法二,配方法,方程可變形為,于是,顯然,根號(hào)中的極大值為4,由可知,為極值.,即,為極大值,為極小值.,12,取得.,然而,如函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在,這些點(diǎn)當(dāng)然不是駐點(diǎn),如:,函數(shù),不存在,但函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處都具有極大值.,在研究函數(shù)的極值時(shí),除研究函數(shù)的駐點(diǎn)外,還應(yīng)研究偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).,由極值的必要條件知,極值只可能在駐點(diǎn)處,但也可能是極值點(diǎn).,在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù),13,考研數(shù)學(xué)(一), 4分,選擇題,已知函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(0, 0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù),則,

5、(A) 點(diǎn)(0, 0)不是f (x, y)的極值點(diǎn).,(B) 點(diǎn)(0, 0)是f (x, y)的極大值點(diǎn).,(C) 點(diǎn)(0, 0)是f (x, y)的極小值點(diǎn).,(D) 根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn)(0, 0)是否為f (x, y)的極值點(diǎn).,14,其中最大者即為最大值,與一元函數(shù)相類似,可利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.,4.多元函數(shù)的最值,求最值的一般方法,最小者即為最小值.,將函數(shù)在D內(nèi)的所有嫌疑點(diǎn)的函數(shù)值及,在D的邊界上的最大值和最小值相互比較,15,解,(1) 求函數(shù)在D內(nèi)的駐點(diǎn),由于,所以函數(shù)在D內(nèi)無極值.,(2) 求函數(shù)在 D邊界上的最值,(現(xiàn)最值只能在邊界上),圍成的三角形閉

6、域D上的,最大(小)值.,例,D,16,在邊界線,在邊界線,由于,最小,由于,又在端點(diǎn)(1,0)處,所以,最大.,有駐點(diǎn),函數(shù)值,有,單調(diào)上升.,17,在邊界線,所以, 最值在端點(diǎn)處.,由于,函數(shù)單調(diào)下降,(3),比較,18,解,練習(xí),此時(shí),的最大值與最小值.,駐點(diǎn),得,19,對(duì)自變量有附加條件的極值.,其他條件.,無條件極值,對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外,并無,條件極值,二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法,20,解,例,已知長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高的和為18,問長(zhǎng)、寬、高,各取什么值時(shí)長(zhǎng)方體的體積最大？,設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為,由題意,長(zhǎng)方體的體積為,且長(zhǎng)方體體積,一定有最大值,體體積最大.,故當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)、寬

7、、高都為6時(shí)長(zhǎng)方,由于V在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),21,上例的極值問題也可以看成是求三元函數(shù),的極值,要受到條件,的限制,這便是一個(gè)條件極值,問題.,目標(biāo)函數(shù),約束條件,有時(shí)條件極值,目標(biāo)函數(shù)中化為無條件極值.,可通過將約束條件代入,但在一般情形,甚至是不可能的.,下面要介紹解決條件極值問題的一般,方法:,下,這樣做是有困難的,拉格朗日乘數(shù)法,22,拉格朗日乘數(shù)法:,現(xiàn)要尋求目標(biāo)函數(shù),在約束條件,下取得,如函數(shù)(1)在,由條件,(1),(2),極值的必要條件.,取得所求的極值,那末首先有,(3),確定y是x的隱函數(shù),不必將它真的解出來,則,于是函數(shù)(1),即,取得所,取得極值.,求的極值.,23,其

8、中,代入(4)得:,由一元可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件知:,(4),取得極值.,在,(3) ,(5)兩式,取得極值的必要條件.,就是函數(shù)(1)在條件(2)下的,24,設(shè),上述必要條件變?yōu)?,(6)中的前兩式的左邊正是函數(shù):,(6),的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)在,的值.,函數(shù),稱為拉格朗日函數(shù),稱為拉格朗日乘子,是一個(gè)待定常數(shù).,25,拉格朗日乘數(shù)法:,極值的必要條件,在條件,要找函數(shù),下的可能極值點(diǎn),先構(gòu)造函數(shù),為某一常數(shù),其中,可由,解出,其中,就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo).,26,如何確定所求得的點(diǎn),實(shí)際問題中,非實(shí)際問題我們這里不做進(jìn)一步的討論.,拉格朗日乘數(shù)法可推廣:,判定.,可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來,的

9、情況.,自變量多于兩個(gè),是否為極值點(diǎn),?,27,解,則,又是實(shí)際問題,解得唯一駐點(diǎn),一定存在最值.,令,28,解,為橢球面上的一點(diǎn),令,則,的切平面方程為,在第一卦限內(nèi)作橢球面,的,使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的,例,切平面,四面體體積最小,求切點(diǎn)坐標(biāo).,29,目標(biāo)函數(shù),該切平面在三個(gè)軸上的截距各為,化簡(jiǎn)為,所求四面體的體積,約束條件,在條件,下求V 的最小值,30,約束條件,令,由,目標(biāo)函數(shù),31,可得,即,當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為,四面體的體積最小,32,練習(xí),解,為簡(jiǎn)化計(jì)算,令,是曲面上的點(diǎn),它與已知點(diǎn)的距離為,問題化為在,下求,的最小值.,目標(biāo)函數(shù),約束條件,33,設(shè),(1),(2),(3),(4)

10、,34,由于問題確實(shí)存在最小值，,故,得唯一駐點(diǎn),還有別的簡(jiǎn)單方法嗎,?,用幾何法!,35,練習(xí),解,為此作拉格朗日乘函數(shù):,上的最大值與最小值.,在圓內(nèi)的可能的極值點(diǎn);,在圓上的最大、最小值.,36,最大值為,最小值為,37,2002年考研數(shù)學(xué)(一), 7分,設(shè)有一小山,取它的底面所在的平面為xOy坐標(biāo)面,其底部所占的區(qū)域?yàn)?小山的高度函數(shù)為,(1) 設(shè)M(x0 , y0)為區(qū)域D上一點(diǎn),問h(x, y)在該點(diǎn)沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大?,若記此方向?qū)?shù),的最大值為g(x0 , y0),試寫出g(x0 , y0)的表達(dá)式.,(2) 現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動(dòng),為此需要在山腳尋找一上山坡度最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn).,是說,要在D的邊界線,上找出使(1)中,的g(x, y)達(dá)到最大值的點(diǎn).,試確定攀巖起點(diǎn)的位置.,也就,練習(xí),38,解,(1) 由梯度的幾何意義知,方向的方向?qū)?shù)最大,h(x, y)在點(diǎn)M(x0 , y0),處沿梯度,方向?qū)?shù)的最大值為該,梯度的模,所以,(2) 令,由題意,只需求,在約束條件,下的最大值點(diǎn).,令,39,則,(1),(2),(3),(1) + (2):,從而得,由(1)得,再由(3)得,由(3)得,于是得到4個(gè)可能的極大值點(diǎn),可作為攀登的起點(diǎn).,40,多元函數(shù)極值的概念,條件極值 拉格朗日乘數(shù)法,多元函數(shù)取得極值的必要條件、充分條件,多元函數(shù)最