“圖象法求一元二次方程近似根”的教學(xué)思考

1、“圖象法求一元二次方程近似根”的教學(xué)思考楊軍在進(jìn)行二次函數(shù)與一元二次方程第2課時(shí)教學(xué)時(shí)，對于用圖象法求求方程近似根問題，學(xué)生在課堂提出了疑問，展開了精彩的討論，最后得到了滿意的答復(fù)。下面本人談?wù)剬Ρ竟?jié)內(nèi)容的幾點(diǎn)課后教學(xué)思考。一、呈現(xiàn)題例教科書P73引題：你能利用二次函數(shù)圖象估計(jì)一元二次方程的根嗎?先來看本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)：1.經(jīng)歷探索二次函數(shù)圖象（形）與一元二次方程（數(shù)）的關(guān)系；2.理解一元二次方程的根就是對應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。并能用估算法求方程的近似根。其實(shí)對于這一問題，學(xué)生在八年級學(xué)習(xí)求無理數(shù)近似值，九年級（上）在學(xué)習(xí)一元二次方程第2課時(shí)求方程近似根都涉及到了這一問題。而本節(jié)內(nèi)

2、容其實(shí)又涉及到了另外一種數(shù)學(xué)解題思想-“數(shù)形結(jié)合”。實(shí)際上它們從本質(zhì)上來說是相同的：用逼近法（或二分法）求方程的近似根。二、解題過程分析針對上述題目，先畫出一元二次方程對應(yīng)的二次函數(shù)，由圖象知：方程有兩個(gè)根，一個(gè)在-5和-4之間，另一個(gè)在2和3之間。先求在-5和-4之間的根：借助計(jì)算器進(jìn)行探索：表1因?yàn)榻炭茣鴮η蠼聘心_注：用圖象法求一元二次方程近似根時(shí)，結(jié)果只取到十分位。因此是方程的一個(gè)近似根。三、學(xué)生生疑探討這時(shí)候有學(xué)生W舉手提出了她的疑問：“老師，腳注要求結(jié)果取到十分位，也就是四舍五入到十分位，這樣的話應(yīng)該是要求出百分位的數(shù)才能得到結(jié)果。假設(shè)進(jìn)一步計(jì)算若結(jié)果為-4.36或-4.34，這

3、樣的話四舍五入到十分位結(jié)果就應(yīng)該是-4.4或-4.3而現(xiàn)在課本中只算到十分位就結(jié)束了，問題出在哪里了?！贝藭r(shí)所有的同學(xué)都覺著位同學(xué)言之有理。怎么辦呢？難道我們在-4.4到-4.3以0.01為單位間隔取值再進(jìn)行一次列表計(jì)算。這樣也太麻煩了，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求我們有耐心，有恒心。所以我和學(xué)生開始了計(jì)算,為減少運(yùn)算負(fù)擔(dān)，我讓學(xué)生分組計(jì)算很快得到了以下結(jié)果表2顯然在上表中我們可以得到方程的根在-4.32到-4.31之間，所以方程的一個(gè)近似根為。這時(shí)W同學(xué)滿意的點(diǎn)了點(diǎn)頭，其他同學(xué)也“柳暗花明”了。四、追本溯源思考雖然此題通過同學(xué)W提出疑問、師生共同解答得到了學(xué)生滿意結(jié)果，但實(shí)在是計(jì)算繁瑣、時(shí)間浪費(fèi)嚴(yán)重。這時(shí)

4、我又啟發(fā)詢問學(xué)生：“為什么課本沒有進(jìn)行我們的探討過程，而是由表1直接得到了答案？”學(xué)生們陷入了思考，經(jīng)過幾分鐘討論，學(xué)生T站起來回答道：“老師，我們觀察表1可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=-4.4時(shí)y值是0.56；當(dāng)x=-4.3時(shí)y值-0.11。這兩個(gè)值中-0.11更接近0，所以得到課本中的結(jié)果?！边@時(shí)我接過T同學(xué)問到全班同學(xué)：“通過以上我們的學(xué)習(xí)，你能用自己的語言描述怎么用圖象法對應(yīng)方程的近似根？”同學(xué)們踴躍的舉起了手，其中一個(gè)同學(xué)搶答道：“1.先從圖象上確定出根的大致范圍；2.將確定出的范圍以某一單位（如0.1）為間隔取值，分別計(jì)算出各值對應(yīng)下的函數(shù)值y；3.觀察計(jì)算表格，當(dāng)相鄰的y值出現(xiàn)異號(hào)時(shí)，取接近于0

5、的y值所對應(yīng)的x值即為所求的近似根?！边@位同學(xué)回答的非常詳細(xì)。至此全班同學(xué)對這一問題都有了透徹的理解。五、課后反思總結(jié)從古至今，中外許國數(shù)學(xué)家對方程求解都進(jìn)行了很多研究。9世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家華拉子米給出了一次方程和二次方程的一般解法；11世紀(jì)，北宋數(shù)學(xué)家賈憲在黃帝九章算法細(xì)節(jié)中提出了“開方作法本源圖”，以“立成釋鎖法”來解三次以上的高次方程。1824年，挪威年輕數(shù)學(xué)家阿貝爾成功的證明了五次以上一般方程沒有根式解。1828年法國天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦巧妙而簡潔的證明了存在不能用開方運(yùn)算求解的具體方程，同時(shí)還提出了一個(gè)代數(shù)方程能用根式求解的判定定理。而目前初中階段，讀者學(xué)習(xí)的最高次方程-一元二次方程，它

6、有專門的求根公式。用求根公式可以求出方程的精確解，但為什么課本還要安排一節(jié)內(nèi)容讓學(xué)生們學(xué)習(xí)求近似解的方法呢？這主要是在初中階段給學(xué)習(xí)者滲透用二分法（逼近法）求方程近似解的思想，以便為今后深造奠定基礎(chǔ)。比如普通高中實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1第89頁內(nèi)容用二分法求方程的近似解開頭出示了引題：求函數(shù)在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點(diǎn)，進(jìn)一步問題是，如何找出這個(gè)零點(diǎn)。實(shí)際上這道題目就是要求讀者在區(qū)間（2，3）求方程的近似解。之后用到的方法就是“二分法”。其次高等學(xué)校教材數(shù)學(xué)分析（上冊）第232頁第6節(jié)內(nèi)容方程的近似解進(jìn)一步用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)-“切線法”解決了方程根第一、第二近似值。 雖然一元二次方程有求根公式可以求出它的精確解，但是諸如以上方程，還有指數(shù)方程、對數(shù)方程等超越方程和五次以上的高次方程沒有求根公式，甚至用一般的方法無法求解，這時(shí)候就可以用圖象近似法（二分法）、牛頓法、擬牛頓法、弦截法來解決這一類問題。這些方法都滲透了逼近的數(shù)學(xué)思想。參考文獻(xiàn)1 馬復(fù)，史炳星。九年級數(shù)學(xué) 下冊。 2007年5月第4版。北京:北京師范大學(xué)出版社，73。2 劉紹學(xué)，錢珮玲。普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué)1 必修（A版）。2007年1月第三版。北京:人民教育出版社，91。3 劉紹學(xué)，錢珮玲。普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)