復(fù)習(xí)—導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,一、知識要點(diǎn)：,1.函數(shù)的單調(diào)性:,設(shè)函數(shù)y = f(x)在某個區(qū)間可導(dǎo), 若f (x) 0，則f(x)為增函數(shù)； 若f (x) 0，則f(x)為減函數(shù).,一、知識要點(diǎn)：,1.函數(shù)的單調(diào)性:,求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法：,確定函數(shù)f(x)的定義區(qū)間;,把函數(shù) f(x) 的間斷點(diǎn)(包括 f(x) 的無定義的點(diǎn)) 的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)根按從小到大的順序排列 起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù) f(x) 的定義區(qū)間分成 若干個小區(qū)間;,確定 f(x) 在各區(qū)間內(nèi)的符號,根據(jù) f(x) 的符號 判定函數(shù) f(x) 在每個相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性。,一、知識要點(diǎn)：,2.可導(dǎo)函數(shù)的極值,設(shè)函數(shù) f

2、(x) 在點(diǎn)x0附近的所有的點(diǎn)都有f(x) f(x0) ),則稱 f(x0) 為函數(shù)的一個極大(小) 值,稱x0為極大(小)值點(diǎn)。,極值的概念,求可導(dǎo)函數(shù) f(x) 極值的步驟：,求導(dǎo)數(shù),一、知識要點(diǎn)：,3.函數(shù)的最大與最小值,設(shè)y = f(x)是定義在區(qū)間a , b上的函數(shù),y = f(x) 在(a , b)內(nèi)有導(dǎo)數(shù),求函數(shù)y = f(x) 在區(qū)間a , b 上的最大最小值,可分兩步進(jìn)行:,求y = f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的極值;,將y = f(x)在各極值點(diǎn)的極值與f(a), f(b)比較， 其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值。,若函數(shù)f(x)在區(qū)間a , b上單調(diào)遞增(減),

3、則f(a) 為最小(大)值,f(b)為最大(小)值。,二、例題選講,上是單調(diào)函數(shù)。,例1(2000年全國高考題)設(shè)函數(shù),其中a0,求a的取值范圍,使函數(shù) f(x) 在區(qū)間,分析：求,當(dāng)x,時,看,變化范圍。,例1（2000年全國高考題）設(shè)函數(shù),其中a0,求a的取值范圍，使函數(shù)f(x)在區(qū)間,上是單調(diào)函數(shù)。,二、例題選講,例2.設(shè)f (x) = ax3+x恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定a的 取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間。,二、例題選講,二、例題選講,例4.（2000年江西卷）用總長為14.8m的鋼條制作一個 長方體容器的框架，如果所制作的容器的底面的 一邊比另一邊長0.5m,那么高為多少時容器的容積 最大

4、？并求出它的最大容積。,分析: 實(shí)際應(yīng)用問題應(yīng)先建立數(shù)學(xué)模型，注意自變量的 取值范圍，若出現(xiàn)三次以上或帶有根號的函數(shù)或 三角函數(shù)，可考慮求導(dǎo)來解決。,解:設(shè)容器底面短邊長為x m,則另一邊長為 (x+0.5)m,高為(14.8-4x-4(x+0.5)/4=(3.2-2x)m,則 3.2 2x 0 , x0 , 得 0 x1.6.,例4.(2000年江西卷)用總長為14.8m的鋼條制作一個 長方體容器的框架，如果所制作的容器的底面的 一邊比另一邊長0.5m,那么高為多少時容器的容積 最大？并求出它的最大容積。,設(shè)容器體積為y m3,則 y = x (x+0.5) (3.2 2x) = - 2x3

5、+2.2x2+1.6x (0 x1.6),y = - 6x2+4.4x+1.6,令y = 0 得 x = 1 或 x = - 4/15 (舍去），,當(dāng)00 , 當(dāng)1x1.6時，y0 ,二、例題選講,例5（2003年江蘇卷） 已知a0, n為正整數(shù)， 設(shè),設(shè),，對任意na , 證明:,證明:(1)因?yàn)?所以,即對任意,例5（2003年江蘇卷） 已知a0, n為正整數(shù)，,設(shè),，對任意na , 證明:,三、小結(jié)：,1.證函數(shù)f(x)在(a ,b)內(nèi)單調(diào),可以用函數(shù)的單調(diào) 性定義,也可以用導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行判別.前者較繁， 后者較易.要注意若f(x)在(a , b)內(nèi)個別點(diǎn)上滿 足:,2.函數(shù)的極值是在局部對函數(shù)值的比較，函數(shù)在 區(qū)間上的極大(小)值可有若干個，而且有時極 小值可以大于它的極大值。,3.函數(shù)的最大值、最小值表示函數(shù)