高等數(shù)學下：11.2 偏導數(shù)

1、11.2 偏導數(shù),11.2.1 偏導數(shù)的概念 11.2.2 全微分的概念 11.2.3 全微分在近似計算中 的作用 11.2.4 方向導數(shù)及梯度,11.2.1 偏導數(shù)的概念,1、偏導數(shù)的定義,偏導函數(shù),例如， 在 處,偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù),解: 方法一(先求導函數(shù),再代入計算),例1.,解: 方法二(先化成一元函數(shù),再求導后代入計算),證明：,所以，結論成立,例2.,1),2、有關偏導數(shù)的幾點說明：,證明：,例3.,解：,2) 求分段點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求.,解：,例5.,按定義可知：,所以，偏導數(shù)存在 連續(xù).,多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在 連續(xù)，,一元函數(shù)中在某點可導

2、連續(xù)，,？,但函數(shù)在該點處并不連續(xù).,3、偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系,解：,如圖,4、偏導數(shù)的幾何意義,幾何意義:,由一元函數(shù)微分學中增量與微分的關系得,11.2.2 全微分的概念,全增量的概念,全微分的定義,說明：,可微與連續(xù)的關系,即連續(xù)是可微的必要條件之一.,可微的條件,1. 偏導存在是可微的必要條件之一。,總成立,同理可得,證明：,證畢。,一元函數(shù)在某點的導數(shù)存在 微分存在,多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在 全微分存在,？,例如，,比較：,則,當 時，,結論：多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在并不能保證全 微分存在。,證明：,2. 可微的充分條件是偏導函數(shù)存在且連續(xù)。,（由偏導數(shù)的連續(xù)性）,同理，第二個括號內，

3、,在第一個方括號內,應用拉格朗日中值定理:,習慣上，記全微分為,通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理,即疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況,全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù),解：,所求全微分,例6.,解：,例7.,解：,所求全微分,例8.,例9.,可以先證明可微,以此說明連續(xù)和偏導存在.,證明:,由可微的必要條件得: 函數(shù)在(0,0)連續(xù),且,以上極限不存在.,極限不存在,證明二:,令,則,同理,以上極限不存在.,極限不存在,函數(shù)可微,函數(shù)連續(xù),偏導數(shù)連續(xù),函數(shù)偏導存在,多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關系,多元函數(shù)偏導數(shù)和全微分的概念；,多元函

4、數(shù)偏導數(shù)和全微分的求法；,多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關系,（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）,小 結,思考題,練習題,-0.119,-0.125,解：,0,極限不存在,11.2.3 全微分在近似計算中的應用,也可寫成,解:,由公式得,例10.,2.95,55.3 cm3,練習題,實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？,問題的實質： 應沿由熱變冷變化 最驟烈的方向爬行 （即負梯度方向）,1

5、1.2.4 方向導數(shù)及梯度A.方向導數(shù),討論函數(shù) 在一點P沿某一方向的變化率問題,（如圖）,當 沿著 趨于 時，,設z=f(x,y)在點P(x,y)的某一鄰域 U(P)內有定義，自P點引射線l.,記為,方向導數(shù)的定義,是否存在？,證明:,由于函數(shù)可微，則增量可表示為,方向導數(shù)的計算,故有方向導數(shù),兩邊同除以 , 得,方向導數(shù)與偏導數(shù)的關系,解：,例11.,其方向余弦為,所求方向導數(shù)為,解：,由方向導數(shù)的計算公式知,例12.,故,推廣可得三元函數(shù)方向導數(shù)的定義,三元函數(shù)方向導數(shù),證明：,例13.,B. 梯度,問題：函數(shù)在點 P 沿哪一方向增加的速度最快？,由方向導數(shù)公式:,即:梯度是函數(shù)值增加最快的方向。,即:負梯度是函數(shù)值減小最快的方向。,結論,x 軸到梯度的轉角的正切為,類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向導數(shù)的方向一致，其模為方向導數(shù)的最大值.,梯度的概念可以推廣到三元函數(shù),解：,由梯度計算公式得,故,例14.,梯度的運算性質,梯度與