六年級(jí)奧數(shù)優(yōu)勝教育第2講：數(shù)列與數(shù)表含答案

1、第二講數(shù)列與數(shù)表例1：有一個(gè)數(shù)列：4、7、10、13、25，這個(gè)數(shù)列共有多少項(xiàng)?例2：有一等差數(shù)列：2，7,12,17，這個(gè)等差數(shù)列的第100項(xiàng)是多少？例3：計(jì)算2+4+6+8+1990的和。例4：計(jì)算（1+3+5+l99l)-（2+4+6+1990）例5：已知一列數(shù)：2,5,8,11,14，80，求80是這列數(shù)中第幾個(gè)數(shù)。例6：小王看一本書第一天看了20頁，以后每天都比前一天多看2頁，第30天看了78頁正好看完。這本書共有多少頁？例7：建筑工地上堆著一些鋼管(如圖所示),求這堆鋼管一共有多少根。例8：四（1）班45位同學(xué)舉行一次同學(xué)聯(lián)歡會(huì)，同學(xué)們?cè)谝黄鹨灰晃帐郑颐績(jī)蓚€(gè)人只能握一次手，同學(xué)們

2、共握了多少次手？a1.有一個(gè)數(shù)列:2,6,10,14,106,這個(gè)數(shù)列共有多少項(xiàng)?。2.求1,5,9,13,這個(gè)等差數(shù)列的第3o項(xiàng)。3.計(jì)算1+2+3+4+53+54+55的和。4.計(jì)算(1+3+5+7+2003)-(2+4+6+8+2002)5.有一列數(shù)是這樣排列的:3,11,19,27,35,43,51,求第12個(gè)數(shù)是多少。b6.一等差數(shù)列,首項(xiàng)=7,公差=3,項(xiàng)數(shù)=15,它的末項(xiàng)是多少?7.計(jì)算(2oo1+1999+1997+1995)-(2ooo+1998+1996+1994)。8.文麗學(xué)英語單詞,第一天學(xué)會(huì)了3個(gè)，以后每天都比前一天多學(xué)會(huì)1個(gè)，最后一天學(xué)會(huì)了21個(gè)。文麗在這些天中共學(xué)

3、會(huì)了多少個(gè)英語單詞？9.李師傅做一批零件，第一天做了25個(gè)，以后每天都比前一天多做2個(gè)，第20天做了63個(gè)正好做完。這批零件共有多少個(gè)？10.有60把鎖的鑰匙搞亂了,為了使每把鎖都配上自己的鑰匙,至多試多少次?c11.一些同樣粗細(xì)的圓木,像如圖所示一樣均勻地堆放在一起,已知最下面一層有70根。一共有多少根圓木？12.用3根等長(zhǎng)的火柴棍擺成一個(gè)等邊三角形,用這樣的等邊三角形，按下圖所示鋪滿一個(gè)大的等邊三角形,如果這個(gè)大的等邊三角形的底邊能放10根火柴棒,那么這個(gè)大的等邊三角形中一共要放多少根火柴棒?13.有一些鎖的鑰匙搞亂了,已知至多要試28次,就能使每把鎖都配上自己的鑰匙。一共有幾把鎖的鑰匙搞

4、亂了?14.學(xué)校進(jìn)行書法大賽，每個(gè)選手都要和其他所有選手各賽一場(chǎng)。如果有16人參加比賽，一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？15.在一次元旦晚會(huì)上，一共有48位同學(xué)和5位老師，每一位同學(xué)或老師都要和其他同學(xué)握一次手。那么一共握了多少次手？1.有一個(gè)數(shù)列:5,8,11,92,95,98,這個(gè)數(shù)列共有多少項(xiàng)?2.求等差數(shù)列2,5,8,11,的第100項(xiàng)。3.計(jì)算5+10+15+20+190+195+200的和。4.有一列數(shù)是這樣排列的:2,11,20,29,38,47,56,求785是第幾個(gè)數(shù)。5.計(jì)算(2+4+6+100)-(1+3+5+99)1.在等差數(shù)列中,首項(xiàng)=1,末項(xiàng)=57,公差=2,這個(gè)等差數(shù)列共有

5、多少項(xiàng)?2.計(jì)算100+99+98+61+60的和3.在等差數(shù)列6,13,20,27,中,從左到右數(shù)第幾個(gè)數(shù)是1994?4.小李讀一本短篇小說，她第一天讀了20頁這個(gè)等差數(shù)列共有多少項(xiàng)?5.用相同的小立方體擺成如圖所示的形狀,如果共擺成10層,那么最下面有多少個(gè)小立方體?6.一輛公共汽車有66個(gè)座位,空車出發(fā)后,第一站上一位乘客,第二站上兩位乘客,第三站上三位乘客,依次類推,第幾站后,車上坐滿乘客?7.一次朋友聚會(huì)，大家見面時(shí)總共握手28次。如果參加聚會(huì)的人和其余的每個(gè)人只握手一次，問參加聚會(huì)的共有多少人？8.有50把鎖的鑰匙搞亂了,為了使每把鎖都配上自己的鑰匙,至多要試多少次?第二講數(shù)列與數(shù)

6、表1.等差數(shù)列：若干個(gè)數(shù)排成一列,稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng),其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng),最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng),數(shù)列中數(shù)的個(gè)數(shù)稱為項(xiàng)數(shù)。從第二項(xiàng)開始,后項(xiàng)與其相鄰的前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列,后項(xiàng)與前項(xiàng)的差稱為公差。例如:等差數(shù)列:3、6、9、96,這是一個(gè)首項(xiàng)為3,末項(xiàng)為96,項(xiàng)數(shù)為32,公差為3的數(shù)列。計(jì)算等差數(shù)列的相關(guān)公式:通項(xiàng)公式:第幾項(xiàng)=首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)-1)公差項(xiàng)數(shù)公式:項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))公差+1求和公式:總和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))項(xiàng)數(shù)2在等差數(shù)列中,如果已知首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差,求總和時(shí),應(yīng)先求出項(xiàng)數(shù),然后再利用等差數(shù)列求和公式求和。某些問題以轉(zhuǎn)化為求若干個(gè)數(shù)的和解決這些問題時(shí)先要判斷這些

7、數(shù)是否成為等差數(shù)列，如果是等差數(shù)列才可以運(yùn)用它的一些公式。在解決自然數(shù)的數(shù)字問題時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目的具體特點(diǎn)，有時(shí)可考慮將題中的數(shù)適當(dāng)分組，并將每組中的數(shù)合理配對(duì)，使問題得以順利解決。2.斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34這個(gè)以1，1分別為第1項(xiàng)、第2項(xiàng)，以后各項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和的無窮數(shù)列，就是斐波那契數(shù)列。3.周期數(shù)列與周期：從某一項(xiàng)開始，重復(fù)出現(xiàn)同一段數(shù)的數(shù)列稱為周期數(shù)列，其重復(fù)出現(xiàn)的這一段數(shù)的個(gè)數(shù)則稱為此數(shù)列的周期。例如：8，1，2，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6這是一個(gè)周期數(shù)列，周期為6。4.尋找數(shù)列的規(guī)律，通常有以下幾種辦法：1

8、尋找各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)間的關(guān)系。2考慮此項(xiàng)與它前一項(xiàng)之間的關(guān)系。3考慮此項(xiàng)與它前兩項(xiàng)之間的關(guān)系。4數(shù)列本身要與其他數(shù)列對(duì)比才能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，這類情形稍微復(fù)雜些。5有時(shí)可以將數(shù)列的項(xiàng)恰當(dāng)分組以尋求規(guī)律。（“分組”是難點(diǎn)）6常常需要根據(jù)題中的已知條件求出數(shù)列的若干項(xiàng)之后，找到周期，探求規(guī)律。1.逐步了解首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差與和之間的關(guān)系。2.在解題中應(yīng)用數(shù)列相關(guān)知識(shí)。例1：有一個(gè)數(shù)列：4、7、10、13、25，這個(gè)數(shù)列共有多少項(xiàng)?分析：仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，后項(xiàng)與其相鄰的前項(xiàng)之差都是3，所以這是一個(gè)以4為首項(xiàng)，以公差為3的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)公式即可解答。解：由等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)公式:項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))

9、公差+1,可得,項(xiàng)數(shù)=(25-4)3+1=8,所以這個(gè)數(shù)列共有8項(xiàng)。例2：有一等差數(shù)列：2，7,12,17，這個(gè)等差數(shù)列的第100項(xiàng)是多少？分析：仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，后項(xiàng)與其相鄰的前項(xiàng)之差等于5，所以這是一個(gè)以2為首項(xiàng)，以公差為5的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可解答解：由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:第幾項(xiàng)=首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)-1)公差,可得,第100項(xiàng)=2+(1oo-1)5=497,所以這個(gè)等差數(shù)列的第100項(xiàng)是497。例3：計(jì)算2+4+6+8+1990的和。分析：仔細(xì)觀察數(shù)列中的特點(diǎn)，相鄰兩個(gè)數(shù)都相差2，所以可以用等差數(shù)列的求和公式來求。解：因?yàn)槭醉?xiàng)是2,末項(xiàng)是1990,公差是2,昕以,項(xiàng)數(shù)=(199

10、0-2)2+1=995,再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式:總和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))項(xiàng)數(shù)2,解出2+4+6+8+1990=(2+1990)9952=991020。例4：計(jì)算（1+3+5+l99l)-（2+4+6+1990）分析：仔細(xì)觀察算式中的被減數(shù)與減數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)它們都是等差數(shù)列相加，根據(jù)題意可以知道首項(xiàng)、末項(xiàng)和公差，但并沒有給出項(xiàng)數(shù)，這需要我們求項(xiàng)數(shù)，按照這樣的思路求得項(xiàng)數(shù)后，再運(yùn)用求和公式即可解答。解：被減數(shù)的項(xiàng)數(shù)=(1991-1)2+1=996，所以被減數(shù)的總和=(1+1991)9962=992016;減數(shù)的項(xiàng)數(shù)=(l990-2)2+1=995,所以減數(shù)的總和=(2+1990)9952=991020

11、.所以原式=992016-991020=996。例5：已知一列數(shù)：2,5,8,11,14，80，求80是這列數(shù)中第幾個(gè)數(shù)。分析：仔細(xì)觀察這列數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，后項(xiàng)與其相鄰的前項(xiàng)之差等于3，所以這是一個(gè)以2為首項(xiàng)，以公差為3的等差數(shù)列，求80是這列數(shù)中第幾個(gè)數(shù)，實(shí)際上是求該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)。解：這列數(shù)的首項(xiàng)是2,末項(xiàng)是80,公差是3,運(yùn)用公式:項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))公差+1即(80-2)3+1=27,所以80是該數(shù)列的第27項(xiàng)。例6：小王看一本書第一天看了20頁，以后每天都比前一天多看2頁，第30天看了78頁正好看完。這本書共有多少頁？分析：根據(jù)條件“以后每天比前一天多看2頁”可以知道他每天看的頁數(shù)都是按照一

12、定規(guī)律排列的數(shù)，即20、22、24、76、78。要求這本書共有多少頁也就是求出這列數(shù)的和。解：由題意可知，這列數(shù)是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)=20，末項(xiàng)=78，項(xiàng)數(shù)=30，所以這本書共有（20+78）302=1470（頁）答：這本書共有1470頁。例7：建筑工地上堆著一些鋼管(如圖所示),求這堆鋼管一共有多少根。分析：根據(jù)圖可以知道，這是一個(gè)以3為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，求鋼管一共有多少根其實(shí)是求這列數(shù)的和。解：求鋼管一共有多少根,其實(shí)就是求3+4+5+9+10的和。項(xiàng)數(shù)=(10-3)1+1=8,根據(jù)公式求和為:3+4+5+9+10=(3+10)82=1382=52(根)。答：這堆鋼管一共有52根

13、。例8：四（1）班45位同學(xué)舉行一次同學(xué)聯(lián)歡會(huì)，同學(xué)們?cè)谝黄鹨灰晃帐?，且每?jī)蓚€(gè)人只能握一次手，同學(xué)們共握了多少次手？分析：假設(shè)45位同學(xué)排成一隊(duì)，第1位同學(xué)一次與其他同學(xué)握手，一共握了44次，第2位同學(xué)因與第1位同學(xué)已握手，只需要與另外43位同學(xué)握手，一共握了43次，這樣第3位同學(xué)只需與另外的42位同學(xué)握手，依次類推。握手的次數(shù)分別為：44,43,42，3,2,1，這樣應(yīng)用等差數(shù)列求和公式即可解答。解：根據(jù)以上分析，可以把本題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)等差數(shù)列的和即44+43+42+3+2+1=（44+1）442=990（次）答：同學(xué)們共握了990次手。a1.有一個(gè)數(shù)列:2,6,10,14,106,這個(gè)數(shù)列

14、共有多少項(xiàng)?。答案：這個(gè)數(shù)列共有27項(xiàng)2.求1,5,9,13,這個(gè)等差數(shù)列的第3o項(xiàng)。答案：這個(gè)等差數(shù)列的第30項(xiàng)是117。3.計(jì)算1+2+3+4+53+54+55的和。答案：1+2+3+4+53+54+55=(l+55)552=1540。4.計(jì)算(1+3+5+7+2003)-(2+4+6+8+2002)答案：10025.有一列數(shù)是這樣排列的:3,11,19,27,35,43,51,求第12個(gè)數(shù)是多少。答案：第12個(gè)數(shù)是91b6.一等差數(shù)列,首項(xiàng)=7,公差=3,項(xiàng)數(shù)=15,它的末項(xiàng)是多少?答案：它的末項(xiàng)是49。7.計(jì)算(2oo1+1999+1997+1995)-(2ooo+1998+1996+

15、1994)。答案：48.文麗學(xué)英語單詞,第一天學(xué)會(huì)了3個(gè)，以后每天都比前一天多學(xué)會(huì)1個(gè)，最后一天學(xué)會(huì)了21個(gè)。文麗在這些天中共學(xué)會(huì)了多少個(gè)英語單詞？答案：文麗每天學(xué)會(huì)的單詞個(gè)數(shù)是一個(gè)等差數(shù)列，即3、4、5、6、21。首項(xiàng)=3，末項(xiàng)=21，項(xiàng)數(shù)=（21-3）2+1=10。所以，文麗在這些天中共學(xué)會(huì)了（3+21）102=120(個(gè))答：文麗在這些天中共學(xué)會(huì)了120個(gè)英語單詞。9.李師傅做一批零件，第一天做了25個(gè)，以后每天都比前一天多做2個(gè)，第20天做了63個(gè)正好做完。這批零件共有多少個(gè)？答案：（25+63）202=880（個(gè)）10.有60把鎖的鑰匙搞亂了,為了使每把鎖都配上自己的鑰匙,至多試多少

16、次?答案：59+58+57+2+1=(59+1)592=1770(次)c11.一些同樣粗細(xì)的圓木,像如圖所示一樣均勻地堆放在一起,已知最下面一層有70根。一共有多少根圓木？答案：2485根。12.用3根等長(zhǎng)的火柴棍擺成一個(gè)等邊三角形,用這樣的等邊三角形，按下圖所示鋪滿一個(gè)大的等邊三角形,如果這個(gè)大的等邊三角形的底邊能放10根火柴棒,那么這個(gè)大的等邊三角形中一共要放多少根火柴棒?答案：如果把圖中最上端的一個(gè)三角形看做第一層,與第一層緊相連的3個(gè)三角形(2個(gè)向上的三角形,一個(gè)向下的三角形)看做第二層,那么這個(gè)圖中一共有10層三角形。不難看出,這10層三角形每層所需火柴棒根數(shù),自上而下依次為:3,6

17、,9,310。它們成等差數(shù)列,且首項(xiàng)為3,公差為3,項(xiàng)數(shù)為10。求火柴的總根數(shù),也就是求這個(gè)等差數(shù)列各項(xiàng)的和。即:3+6+9+30=(3+30)102=335=165(根)答：這個(gè)大的等邊三角形中一共要放165根火柴棒。13.有一些鎖的鑰匙搞亂了,已知至多要試28次,就能使每把鎖都配上自己的鑰匙。一共有幾把鎖的鑰匙搞亂了?答案：一共有8把鎖的鑰匙搞亂了。14.學(xué)校進(jìn)行書法大賽，每個(gè)選手都要和其他所有選手各賽一場(chǎng)。如果有16人參加比賽，一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？答案：15+14+13+3+2+1=（15+1）152=120（場(chǎng)）15.在一次元旦晚會(huì)上，一共有48位同學(xué)和5位老師，每一位同學(xué)或老師都要

18、和其他同學(xué)握一次手。那么一共握了多少次手？答案：根據(jù)題意，一共有48+5=53（人）參加了這次晚會(huì)。所以，一共握手的次數(shù)為：52+51+50+3+2+1=（52+1）522=1378（次）答：一共握了1378次手。1.有一個(gè)數(shù)列:5,8,11,92,95,98,這個(gè)數(shù)列共有多少項(xiàng)?答案：這個(gè)數(shù)列共有19項(xiàng)2.求等差數(shù)列2,5,8,11,的第100項(xiàng)。答案：這個(gè)等差數(shù)列的第100項(xiàng)是299。3.計(jì)算5+10+15+20+190+195+200的和。答案：首項(xiàng)=5,末項(xiàng)=200,公差=5,項(xiàng)數(shù)=(200-5)5+1=40,5+10+15+20+190+195+200=(5+200)402=4100。4.有一列數(shù)是這樣排列的:2,11,20,29,38,47,56,求785是第幾個(gè)數(shù)。答案：785是第88個(gè)數(shù)5.計(jì)算(2+4+6+100)-(1+3+5+99)答案：501.在等差數(shù)列中,首項(xiàng)=1,末項(xiàng)=57,公差=2,這個(gè)等差數(shù)列共有多少項(xiàng)?答案：這個(gè)等差數(shù)列共有29項(xiàng)。2.計(jì)算100+99+98+61+60的和答案：32803.在等差數(shù)列6,13,20,27,中,從左到右數(shù)第幾個(gè)數(shù)