圓錐曲線大題題型歸納

1、圓錐曲線大題題型歸納基本方法：1待定系數(shù)法：求所設直線方程中的系數(shù)，求標準方程中的待定系數(shù)a、b、c、e、p等等;2. 齊次方程法：解決求離心率、漸近線、夾角等與比值有關的問題；3. 韋達定理法：直線與曲線方程聯(lián)立，交點坐標設而不求，用韋達定理寫出轉(zhuǎn)化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韋達定理，而直接計算出兩個根；4. 點差法：弦中點問題，端點坐標設而不求。也叫五條等式法：點滿足方程兩個、中點坐標 公式兩個、斜率公式一個共五個等式；5. 距離轉(zhuǎn)化法：將斜線上的長度問題、比例問題、向量問題轉(zhuǎn)化水平或豎直方向上的距離問題、比例問題、坐標問題；基本思想：1. “常規(guī)求值”問題需要找等式，

2、“求范圍”問題需要找不等式；2. “是否存在”問題當作存在去求，若不存在則計算時自然會無解；3. 證明“過定點”或“定值”，總要設一個或幾個參變量，將對象表示出來，再 說明與此變量 無關；4. 證明不等式，或者求最值時，若不能用幾何觀察法，則必須用函數(shù)思想將對象表示為變量 的函數(shù)，再解決；5. 有些題思路易成，但難以實施。這就要 優(yōu)化方法，才能使計算具有可行性，關鍵是積累“轉(zhuǎn) 化”的經(jīng)驗；6. 大多數(shù)問題只要真 實、準確地將題目每個條件和要求表達出來，即可自然而然產(chǎn)生思路。題型一：求直線、圓錐曲線方程、離心率、弦長、漸近線等常規(guī)問題2 2例1、 已知Fi, F2為橢圓 + =1的兩個焦點，P在

3、橢圓上，且/ FiPF2=60 則厶F1PF2的面積為多少？10064點評：常規(guī)求值問題的方法：待定系數(shù)法，先設后求，關鍵在于找等式。變式1、已知FiF分別是雙曲線3x2 -5y2 =75的左右焦點，P是雙曲線右支上的一點，且FiPF2=120，求 Fi PF2 的面積。2 2變式2、已知F, F2為橢圓x . y2 =i(o v b v 10)的左、右焦點，P是橢圓上一點.100 b(1) 求|PFi|?|PF2| 的最大值；(2) 若/ FiPF=60且厶FiPF的面積為64色，求b的值3題型二過定點、定值問題2 2 13例2.(淄博市2017屆高三3月模擬考試)已知橢圓C :牛爲=1(a

4、 b 0)經(jīng)過點(1,)，離心 a b2率為O,點A為橢圓C的右頂點，直線I與橢圓相交于不同于點A的兩個點P(x11y1),Q(x21 y2).2(l) 求橢圓C的標準方程；(U)當AP 4AQ =0時，求.OPQ面積的最大值；(m)若直線I的斜率為2,求證：.OPQ的外接圓恒過一個異于點 A的定點處理定點問題的方法：常把方程中參數(shù)的同次項集在一起，并令各項的系數(shù)為零，求出定點；也可先取參數(shù)的特殊值探求定點，然后給出證明。例3、(聊城市2017屆高三高考模擬(一)已知橢圓C：x2 =1 a b 0的離心率為工，一個 a b2頂點在拋物線x 上不同于A,A2的任意一點，且滿足kAM kAM =1

5、24(I)求橢圓C的方程：已知直線I與橢圓C相交于P，Q(非頂點)兩點，且有AP AQ .(i) 直線I是否恒過一定點？若過，求出該定點；若不過，請說明理由.(ii) 求PA2Q面積S的最大值.點評：證明定值問題的方法：常把變動的元素用參數(shù)表示出來，然后證明計算結果與參數(shù)無關； 也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明 2更，變式2、已知橢圓 1(a b 0)的離心率為 焦距為2.a b(1) 求橢圓的方程；(2) 過橢圓右焦點且垂直于x軸的直線交橢圓于P, Q兩點，C, D為橢圓上位于直線PQ異側(cè)的兩 =4y的準線上.(I)求橢圓C的方程；(U)設O為坐標原點，M,N為橢圓上的兩個不同的

6、動點，直線 OM,ON的斜率分別為k1和k?，是否存在常數(shù)p，當k二p時.MON的面積為定值？若存在，求出p的值；若不存在，說明理由.2 2變式1、已知橢圓C:仔 7 =1 a b 0的焦距為2、3,點As，A2為橢圓的左右頂點，點M為橢圓 a b個動點，滿足/ CPQM DPQ求證：直線CD的斜率為定值，并求出此定值.2 2變式3、(臨沂市2 017屆高三2月份教學質(zhì)量檢測(一模)如圖，橢圓C :-y2 =1 a b 0的a b離心率為f，以橢圓C的上頂點T為圓心作圓T: x2 y -1 2二r2r 0，圓T與橢圓C在第一象A，在第二象限交于點B.C的方程；uu限交于點(I) 求橢圓uu(I

7、I) 求TA TB的最小值，并求出此時圓T的方程；0M| ON|為定值.(III) 設點P是橢圓C上異于A，B的一點，且直線PA，PB分別與丫軸交于點M，N，O為坐標原 點，求證：2 2 _例4、設橢圓C:x2y2=1(ab0)的一個頂點與拋物線C:x2=4. 3y的焦點重合，F(xiàn)，F(xiàn)2分別a b1是橢圓的左、右焦點，且離心率 e= 1且過橢圓右焦點F2的直線I與橢圓C交于M N兩點.2(1)求橢圓C的方程;(2)(3)若AB是橢圓C經(jīng)過原點0的弦，MN AB,求證:A/.V為定值.變式2 21、(煙臺市2017屆高三3月高考診斷性測試(一模)如圖，已知橢圓C:篤 篤=1(a b 0)a b的左

8、焦點F為拋物線y2 = -4x的焦點，過點F做x軸的垂線交橢圓于A, B兩點，且AB = 3 .(1)求橢圓C的標準方程;-H T r T(2)若M,N為橢圓上異于點A的兩點，且滿足AM F = AN JF|AM | AN|問直線MN的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由 題型三“是否存在”問題2 2例5、(泰安市2017屆高三第一輪復習質(zhì)量檢測(一模)已知橢圓C:%= 1 a b 0經(jīng)過點a b2,1，過點A(0，1)的動直線I與橢圓C交于M、N兩點，當直線I過橢圓C的左焦點時，直線(I)求橢圓C的方程；(n )是否存在與點A不同的定點B，使得 ABM二/ABN恒成立？若存

9、在，求出點B的坐標；若不 精選范本，供參考！是否存在直線I，使得*-: -若存在，求出直線I的方程；若不存在，說明理由存在，請說明理由.變式1、在平面直角坐標系xOy中，點B與點A (-1 , 1)關于原點0對稱，P是動點，且直線AP 與BP的斜率之積等于一 13(I)求動點P的軌跡方程；(n)設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M N,問：是否存在點P使得 PAB與 PMN勺面積 相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.題型四最值問題例6.【2016高考山東理數(shù)】平面直角坐標系xOy中，橢圓C：篤爲=1 a b0 ?的離心率是二，a b2拋物線E： x2 =2y的焦點F是C的一個

10、頂點.(1) 求橢圓C的方程；(II)設P是E上的動點，且位于第一象限，E在點P處的切線I與C交與不同的兩點A，B,線段AB的中點為D,直線0D與過P且垂直于x軸的直線交于點M.(i )求證：點M在定直線上；(ii)直線I與y軸交于點6,記厶PFG的面積為， PDM的面積為S，求旦的最大值及取得S2最大值時點P的坐標.例7、(濱州市2017屆高三下學期一模考試)如圖，已知DP _ y軸，點D為垂足，點M在線段DP的延長線上，且滿足 DP|=PM|，當點P在圓x2+y2=3上運動時.(1)當點M的軌跡的方程；(2) 直線丨：x =my 3(m =0)交曲線C于A, B兩點，設點B關于x軸的對稱點

11、為B1 (點B1與點A不重合),且直線A與x軸交于點E. 證明：點E是定點； EAB的面積是否存在的最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.例8、(濰坊市2017屆高三下學期第一次模擬)已知橢圓 C與雙曲線y2-x2=1有共同焦點，且離心率為一6 .3(I)求橢圓C的標準方程；(n )設A為橢圓C的下頂點，M、N為橢圓上異于A的不同兩點，且直線AM與AN的斜率之積為3.(i)試問M、N所在直線是否過定點？若是，求出該定點；若不是，請說明理由;(ii)若P為橢圓C上異于M、N的一點，且MP =|NP，求 MNP的面積的最小值.點評：最值問題的方法：幾何法、配方法(轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值)

12、、三角代換法(轉(zhuǎn)化為三角函 數(shù)的最值)、利用切線的方法、利用均值不等式的方法等。變式1、 (2015?高安市校級一模)已知方向向量為 (1 ，、 3 )的直線I過點(0, -3 )和橢圓2 2C： ；2 ；2 =1 (ab0)的右焦點，且橢圓的離心率為(1) 求橢圓C的方程；F為橢圓C的左焦點，求三角形ABF(2) 若過點P (-8，0)的直線與橢圓相交于不同兩點 A B, 面積的最大值.2變式2、(青島市2017年高三統(tǒng)一質(zhì)量檢測)已知橢圓：字+y2 =1 (a A1)的左焦點為F1，右頂點為A，a?31 _ 6上頂點為B1，過F1、A、B三點的圓P的圓心坐標為,).2 2(I)求橢圓的方程

13、；(n)若直線丨：y二kx m ( k,m為常數(shù)，k = 0)與橢圓丨交于不同的兩點 M和N .(i) 當直線I過E(1,0)，且EM 2eN =0時，求直線I的方程；(ii) 當坐標原點 O到直線I的距離為 二3時，求厶MON面積的最大值.2題型五求參數(shù)的取值范圍例9、(濟寧市2017屆高三第一次模擬(3月)如圖，已知線段AE ,BF為拋物線C : x 2py p 0 的兩條弦，點E、F不重合.函數(shù)y = ax a 0且a=1的圖象所恒過的定點為拋物線 C的焦點.(I)求拋物線C的方程；f 1 (n )已知A(2,1卜B.-1,-,直線AE與BF的斜率互為相反數(shù)，且 A，B兩點在直線EF的兩

14、側(cè). I 4丿 問直線EF的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由. 求 OElOF 的取值范圍.2 2變式1、(德州市2017屆高三第一次模擬考試)在直角坐標系中，橢圓 C1 :令專=1(a巾7)的a b左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，其中F2也是拋物線C2: y2=4x的焦點，點P為G與C2在第一象限的 交點，且| pf2|=5 .3(I)求橢圓的方程；(n)過F2且與坐標軸不垂直的直線交橢圓于 M、N兩點，若線段OF2上存在定點T(t,0)使得以TM、TN為鄰邊的四邊形是菱形，求t的取值范圍. 小結解析幾何在高考中經(jīng)常是兩小題一大題： 兩小題經(jīng)常是常規(guī)求值類型，一大題中的第一小

15、題也 經(jīng)常是常規(guī)求值問題，故常用方程思想先設后求即可。解決第二小題時常用韋達定理法結合以上各 種題型進行處理，常按照以下七步驟：一設直線與方程；（提醒：設直線時分斜率存在與不存在；設為y=kx+b與x=mmy+n勺區(qū)別） 二設交點坐標；（提醒：之所以要設是因為不去求出它，即“設而不求”）三則聯(lián)立方程組；四則消元韋達定理；（提醒：拋物線時經(jīng)常是把拋物線方程代入直線方程反 而簡單）五根據(jù)條件重轉(zhuǎn)化；常有以下類型：辛“以弦玄AB為直徑的圓過點0”二OA_OB= 心七2=-1 （提醒：需討論K是否存在） =OA OB = 0 二 x1x2 y1y2 =0 “點在圓內(nèi)、圓上、圓外問題”=“直角、銳角、鈍角問題”二“向量的數(shù)量積大于、等于、小于 0問題” =X1X2 y“20； “等角、角平分、角互補