圓錐曲線大題題型歸納

1、圓錐曲線大題題型歸納基本方法：1待定系數(shù)法：求所設(shè)直線方程中的系數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)方程中的待定系數(shù)a、b、c、e、p等等;2. 齊次方程法：解決求離心率、漸近線、夾角等與比值有關(guān)的問題；3. 韋達(dá)定理法：直線與曲線方程聯(lián)立，交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)而不求，用韋達(dá)定理寫出轉(zhuǎn)化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韋達(dá)定理，而直接計(jì)算出兩個(gè)根；4. 點(diǎn)差法：弦中點(diǎn)問題，端點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)而不求。也叫五條等式法：點(diǎn)滿足方程兩個(gè)、中點(diǎn)坐標(biāo) 公式兩個(gè)、斜率公式一個(gè)共五個(gè)等式；5. 距離轉(zhuǎn)化法：將斜線上的長度問題、比例問題、向量問題轉(zhuǎn)化水平或豎直方向上的距離問題、比例問題、坐標(biāo)問題；基本思想：1. “常規(guī)求值”問題需要找等式，

2、“求范圍”問題需要找不等式；2. “是否存在”問題當(dāng)作存在去求，若不存在則計(jì)算時(shí)自然會(huì)無解；3. 證明“過定點(diǎn)”或“定值”，總要設(shè)一個(gè)或幾個(gè)參變量，將對(duì)象表示出來，再 說明與此變量 無關(guān)；4. 證明不等式，或者求最值時(shí)，若不能用幾何觀察法，則必須用函數(shù)思想將對(duì)象表示為變量 的函數(shù)，再解決；5. 有些題思路易成，但難以實(shí)施。這就要 優(yōu)化方法，才能使計(jì)算具有可行性，關(guān)鍵是積累“轉(zhuǎn) 化”的經(jīng)驗(yàn)；6. 大多數(shù)問題只要真 實(shí)、準(zhǔn)確地將題目每個(gè)條件和要求表達(dá)出來，即可自然而然產(chǎn)生思路。題型一：求直線、圓錐曲線方程、離心率、弦長、漸近線等常規(guī)問題2 2例1、 已知Fi, F2為橢圓 + =1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P在

3、橢圓上，且/ FiPF2=60 則厶F1PF2的面積為多少？10064點(diǎn)評(píng)：常規(guī)求值問題的方法：待定系數(shù)法，先設(shè)后求，關(guān)鍵在于找等式。變式1、已知FiF分別是雙曲線3x2 -5y2 =75的左右焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，且FiPF2=120，求 Fi PF2 的面積。2 2變式2、已知F, F2為橢圓x . y2 =i(o v b v 10)的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn).100 b(1) 求|PFi|?|PF2| 的最大值；(2) 若/ FiPF=60且厶FiPF的面積為64色，求b的值3題型二過定點(diǎn)、定值問題2 2 13例2.(淄博市2017屆高三3月模擬考試)已知橢圓C :牛爲(wèi)=1(a

4、 b 0)經(jīng)過點(diǎn)(1,)，離心 a b2率為O,點(diǎn)A為橢圓C的右頂點(diǎn)，直線I與橢圓相交于不同于點(diǎn)A的兩個(gè)點(diǎn)P(x11y1),Q(x21 y2).2(l) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(U)當(dāng)AP 4AQ =0時(shí)，求.OPQ面積的最大值；(m)若直線I的斜率為2,求證：.OPQ的外接圓恒過一個(gè)異于點(diǎn) A的定點(diǎn)處理定點(diǎn)問題的方法：常把方程中參數(shù)的同次項(xiàng)集在一起，并令各項(xiàng)的系數(shù)為零，求出定點(diǎn)；也可先取參數(shù)的特殊值探求定點(diǎn)，然后給出證明。例3、(聊城市2017屆高三高考模擬(一)已知橢圓C：x2 =1 a b 0的離心率為工，一個(gè) a b2頂點(diǎn)在拋物線x 上不同于A,A2的任意一點(diǎn)，且滿足kAM kAM =1

5、24(I)求橢圓C的方程：已知直線I與橢圓C相交于P，Q(非頂點(diǎn))兩點(diǎn)，且有AP AQ .(i) 直線I是否恒過一定點(diǎn)？若過，求出該定點(diǎn)；若不過，請(qǐng)說明理由.(ii) 求PA2Q面積S的最大值.點(diǎn)評(píng)：證明定值問題的方法：常把變動(dòng)的元素用參數(shù)表示出來，然后證明計(jì)算結(jié)果與參數(shù)無關(guān)； 也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明 2更，變式2、已知橢圓 1(a b 0)的離心率為 焦距為2.a b(1) 求橢圓的方程；(2) 過橢圓右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線交橢圓于P, Q兩點(diǎn)，C, D為橢圓上位于直線PQ異側(cè)的兩 =4y的準(zhǔn)線上.(I)求橢圓C的方程；(U)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M,N為橢圓上的兩個(gè)不同的

6、動(dòng)點(diǎn)，直線 OM,ON的斜率分別為k1和k?，是否存在常數(shù)p，當(dāng)k二p時(shí).MON的面積為定值？若存在，求出p的值；若不存在，說明理由.2 2變式1、已知橢圓C:仔 7 =1 a b 0的焦距為2、3,點(diǎn)As，A2為橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓 a b個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足/ CPQM DPQ求證：直線CD的斜率為定值，并求出此定值.2 2變式3、(臨沂市2 017屆高三2月份教學(xué)質(zhì)量檢測(一模)如圖，橢圓C :-y2 =1 a b 0的a b離心率為f，以橢圓C的上頂點(diǎn)T為圓心作圓T: x2 y -1 2二r2r 0，圓T與橢圓C在第一象A，在第二象限交于點(diǎn)B.C的方程；uu限交于點(diǎn)(I) 求橢圓uu(I

7、I) 求TA TB的最小值，并求出此時(shí)圓T的方程；0M| ON|為定值.(III) 設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于A，B的一點(diǎn)，且直線PA，PB分別與丫軸交于點(diǎn)M，N，O為坐標(biāo)原 點(diǎn)，求證：2 2 _例4、設(shè)橢圓C:x2y2=1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線C:x2=4. 3y的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)，F(xiàn)2分別a b1是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率 e= 1且過橢圓右焦點(diǎn)F2的直線I與橢圓C交于M N兩點(diǎn).2(1)求橢圓C的方程;(2)(3)若AB是橢圓C經(jīng)過原點(diǎn)0的弦，MN AB,求證:A/.V為定值.變式2 21、(煙臺(tái)市2017屆高三3月高考診斷性測試(一模)如圖，已知橢圓C:篤 篤=1(a b 0)a b的左

8、焦點(diǎn)F為拋物線y2 = -4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F做x軸的垂線交橢圓于A, B兩點(diǎn)，且AB = 3 .(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;-H T r T(2)若M,N為橢圓上異于點(diǎn)A的兩點(diǎn)，且滿足AM F = AN JF|AM | AN|問直線MN的斜率是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由 題型三“是否存在”問題2 2例5、(泰安市2017屆高三第一輪復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測(一模)已知橢圓C:%= 1 a b 0經(jīng)過點(diǎn)a b2,1，過點(diǎn)A(0，1)的動(dòng)直線I與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)直線I過橢圓C的左焦點(diǎn)時(shí)，直線(I)求橢圓C的方程；(n )是否存在與點(diǎn)A不同的定點(diǎn)B，使得 ABM二/ABN恒成立？若存

9、在，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不 精選范本，供參考！是否存在直線I，使得*-: -若存在，求出直線I的方程；若不存在，說明理由存在，請(qǐng)說明理由.變式1、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A (-1 , 1)關(guān)于原點(diǎn)0對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP 與BP的斜率之積等于一 13(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(n)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M N,問：是否存在點(diǎn)P使得 PAB與 PMN勺面積 相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.題型四最值問題例6.【2016高考山東理數(shù)】平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：篤爲(wèi)=1 a b0 ?的離心率是二，a b2拋物線E： x2 =2y的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)

10、頂點(diǎn).(1) 求橢圓C的方程；(II)設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線I與C交與不同的兩點(diǎn)A，B,線段AB的中點(diǎn)為D,直線0D與過P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M.(i )求證：點(diǎn)M在定直線上；(ii)直線I與y軸交于點(diǎn)6,記厶PFG的面積為， PDM的面積為S，求旦的最大值及取得S2最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).例7、(濱州市2017屆高三下學(xué)期一模考試)如圖，已知DP _ y軸，點(diǎn)D為垂足，點(diǎn)M在線段DP的延長線上，且滿足 DP|=PM|，當(dāng)點(diǎn)P在圓x2+y2=3上運(yùn)動(dòng)時(shí).(1)當(dāng)點(diǎn)M的軌跡的方程；(2) 直線丨：x =my 3(m =0)交曲線C于A, B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)

11、為B1 (點(diǎn)B1與點(diǎn)A不重合),且直線A與x軸交于點(diǎn)E. 證明：點(diǎn)E是定點(diǎn)； EAB的面積是否存在的最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.例8、(濰坊市2017屆高三下學(xué)期第一次模擬)已知橢圓 C與雙曲線y2-x2=1有共同焦點(diǎn)，且離心率為一6 .3(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(n )設(shè)A為橢圓C的下頂點(diǎn)，M、N為橢圓上異于A的不同兩點(diǎn)，且直線AM與AN的斜率之積為3.(i)試問M、N所在直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由;(ii)若P為橢圓C上異于M、N的一點(diǎn)，且MP =|NP，求 MNP的面積的最小值.點(diǎn)評(píng)：最值問題的方法：幾何法、配方法(轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值)

12、、三角代換法(轉(zhuǎn)化為三角函 數(shù)的最值)、利用切線的方法、利用均值不等式的方法等。變式1、 (2015?高安市校級(jí)一模)已知方向向量為 (1 ，、 3 )的直線I過點(diǎn)(0, -3 )和橢圓2 2C： ；2 ；2 =1 (ab0)的右焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為(1) 求橢圓C的方程；F為橢圓C的左焦點(diǎn)，求三角形ABF(2) 若過點(diǎn)P (-8，0)的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn) A B, 面積的最大值.2變式2、(青島市2017年高三統(tǒng)一質(zhì)量檢測)已知橢圓：字+y2 =1 (a A1)的左焦點(diǎn)為F1，右頂點(diǎn)為A，a?31 _ 6上頂點(diǎn)為B1，過F1、A、B三點(diǎn)的圓P的圓心坐標(biāo)為,).2 2(I)求橢圓的方程

13、；(n)若直線丨：y二kx m ( k,m為常數(shù)，k = 0)與橢圓丨交于不同的兩點(diǎn) M和N .(i) 當(dāng)直線I過E(1,0)，且EM 2eN =0時(shí)，求直線I的方程；(ii) 當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn) O到直線I的距離為 二3時(shí)，求厶MON面積的最大值.2題型五求參數(shù)的取值范圍例9、(濟(jì)寧市2017屆高三第一次模擬(3月)如圖，已知線段AE ,BF為拋物線C : x 2py p 0 的兩條弦，點(diǎn)E、F不重合.函數(shù)y = ax a 0且a=1的圖象所恒過的定點(diǎn)為拋物線 C的焦點(diǎn).(I)求拋物線C的方程；f 1 (n )已知A(2,1卜B.-1,-,直線AE與BF的斜率互為相反數(shù)，且 A，B兩點(diǎn)在直線EF的兩

14、側(cè). I 4丿 問直線EF的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由. 求 OElOF 的取值范圍.2 2變式1、(德州市2017屆高三第一次模擬考試)在直角坐標(biāo)系中，橢圓 C1 :令專=1(a巾7)的a b左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，其中F2也是拋物線C2: y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為G與C2在第一象限的 交點(diǎn)，且| pf2|=5 .3(I)求橢圓的方程；(n)過F2且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于 M、N兩點(diǎn)，若線段OF2上存在定點(diǎn)T(t,0)使得以TM、TN為鄰邊的四邊形是菱形，求t的取值范圍. 小結(jié)解析幾何在高考中經(jīng)常是兩小題一大題： 兩小題經(jīng)常是常規(guī)求值類型，一大題中的第一小

15、題也 經(jīng)常是常規(guī)求值問題，故常用方程思想先設(shè)后求即可。解決第二小題時(shí)常用韋達(dá)定理法結(jié)合以上各 種題型進(jìn)行處理，常按照以下七步驟：一設(shè)直線與方程；（提醒：設(shè)直線時(shí)分斜率存在與不存在；設(shè)為y=kx+b與x=mmy+n勺區(qū)別） 二設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)；（提醒：之所以要設(shè)是因?yàn)椴蝗デ蟪鏊础霸O(shè)而不求”）三則聯(lián)立方程組；四則消元韋達(dá)定理；（提醒：拋物線時(shí)經(jīng)常是把拋物線方程代入直線方程反 而簡單）五根據(jù)條件重轉(zhuǎn)化；常有以下類型：辛“以弦玄AB為直徑的圓過點(diǎn)0”二OA_OB= 心七2=-1 （提醒：需討論K是否存在） =OA OB = 0 二 x1x2 y1y2 =0 “點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上、圓外問題”=“直角、銳角、鈍角問題”二“向量的數(shù)量積大于、等于、小于 0問題” =X1X2 y“20； “等角、角平分、角互補(bǔ)