311不等關(guān)系與不等式

1、學(xué)英語(yǔ)報(bào)社 全新課標(biāo)理念，優(yōu)質(zhì)課程資源3.1.1不等關(guān)系與不等式教學(xué)目的：1了解不等式的實(shí)際應(yīng)用及不等式的重要地位和作用；2掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小教學(xué)重點(diǎn)：比較兩實(shí)數(shù)大小 教學(xué)難點(diǎn)：差值比較法：作差變形判斷差值的符號(hào) 授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過程：一、引入：人與人的年齡大小、高矮胖瘦，物與物的形狀結(jié)構(gòu)，事與事成因與結(jié)果的不同等等都表現(xiàn)出不等的關(guān)系，這表明現(xiàn)實(shí)世界中的量，不等是普遍的、絕對(duì)的，而相等則是局部的、相對(duì)的研究不等關(guān)系，反映在數(shù)學(xué)上就是證明不等式與解不等式實(shí)數(shù)的差

2、的正負(fù)與實(shí)數(shù)的大小的比較有著密切關(guān)系，這種關(guān)系是本章內(nèi)容的基礎(chǔ)，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù)因此，本節(jié)課我們有必要來(lái)研究探討實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系生活中為什么糖水中加的糖越多越甜呢?轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：a克糖水中含有b克糖(ab0)，若再加m(m0)克糖，則糖水更甜了，為什么? 分析：起初的糖水濃度為，加入m克糖 后的糖水濃度為，只要證即可怎么證呢?引人課題二、講解新課：1不等式的定義：用不等號(hào)連接兩個(gè)解析式所得的式子，叫做不等式說(shuō)明：（1）不等號(hào)的種類：、（）、（）、（2）解析式是指：代數(shù)式和超越式（包括指數(shù)式、對(duì)數(shù)式和三角式等）（3）不等式研究的范圍是實(shí)數(shù)集R2判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)大

3、小的充要條件對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b，在ab，a= b，ab三種關(guān)系中有且僅有一種成立判斷兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的充要條件是：由此可見，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號(hào)就可以了，這好比站在同一水平面上的兩個(gè)人，只要看一下他們的差距，就可以判斷他們的高矮了三、講解范例：例1比較(a3)（a）與（a2）（a4）的大小分析：此題屬于兩代數(shù)式比較大小，實(shí)際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開，合并同類項(xiàng)之后，判斷差值正負(fù)(注意是指差的符號(hào)，至于差的值究竟是多少，在這里無(wú)關(guān)緊要)并根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則來(lái)得出兩個(gè)代數(shù)式的大小 把比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算符號(hào)問題本題知識(shí)點(diǎn)：整式乘法，去括

4、號(hào)法則，合并同類項(xiàng)解：由題意可知：（a3）（a）（a2）（a4）（a22a1）（a22a）0（a3）（a）（a2）（a4）例2已知x0，比較（x21）2與x4x21的大小分析：此題與例1基本類似，也屬于兩個(gè)代數(shù)式比較大小，但是其中的x有一定的限制，應(yīng)該在對(duì)差值正負(fù)判斷時(shí)引起注意，對(duì)于限制條件的應(yīng)用經(jīng)常被學(xué)生所忽略本題知識(shí)點(diǎn)：乘法公式，去括號(hào)法則，合并同類項(xiàng)解：由題意可知：（x21）2（x4x21）（x42x21）（x4x21）x42x21x4x21x2x0 x20（x21）2（x4x21）0（x21）2x4x21例2引伸：在例2中，如果沒有x0這個(gè)條件，那么兩式的大小關(guān)系如何?在例2中，如果沒

5、有x0這個(gè)條件，那么意味著x可以全取實(shí)數(shù)，在解決問題時(shí)，應(yīng)分x0和x0兩種情況進(jìn)行討論，即：當(dāng)x0時(shí)，（x21）2x4x21當(dāng)x0時(shí)，（x21）2x4x21此題意在培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想，提醒學(xué)生在解決含字母代數(shù)式問題時(shí)，不要忘記代數(shù)式中字母的取值范圍，一般情況下，取值范圍是實(shí)數(shù)集的可以省略不寫得出結(jié)論：例1，例2是用作差比較法來(lái)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，其一般步驟是：作差變形判斷符號(hào)這樣把兩個(gè)數(shù)的大小問題轉(zhuǎn)化為判斷它們差的符號(hào)問題，至于差本身是多少，在此無(wú)關(guān)緊要例3已知ab0，m0，試比較與的大小解：ab0，m0，a-b0，a+m0從而揭示“糖水加糖甜更甜”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵例4 比較a4-b4與4a

6、3(a-b)的大小 解： a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3)(a-b)(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)= - (a-b)2(3a3+2ab+b2)=- (a-b)2 (當(dāng)且僅當(dāng)db時(shí)取等號(hào))a4-b44a3(a-b)說(shuō)明：“變形”是解題的關(guān)鍵，是最重一步因式分解、配方、湊成若干個(gè)平方和等是“變形”的常用方法例5 已知xy，且y0，比較與1的大小解： xy，x-y0 當(dāng)y0時(shí)，0，即0時(shí)，0，即1說(shuō)明：變形的目的是為了判定符號(hào)，此題定號(hào)時(shí)，要根據(jù)字母取值范圍，進(jìn)行分類討論

7、四、課堂練習(xí)：1在以下各題的橫線處適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)：(1)（）2 2；（2）（）2 （1）2；（3） ；(4)當(dāng)ab0時(shí)，loga logb答案：(1) （2） （3） （4）2選擇題若a0，1b0，則有( )Aaabab2 Bab2aba Cabaab2 Dabab2a分析：利用作差比較法判斷a，ab，ab2的大小即可a0，1b0ab0，b10，1b0，0b21，1b20abaa（b1）0abaabab2ab（1b）0abab2aab2a（1b2）0aab2故abab2a答案：D3比較大?。?1)（x）（x）與（x）2；(2)log與log解：(1)（x）（x）（x)2（x212x3）（x212

8、x3）10（x）（x）（x）2(2)解法一：(作差法)loglog0loglog解法二：(中介法，常以“1，0，1”作中介)函數(shù)ylogx和ylogx在（0，）上是減函數(shù)且loglog1，loglog1loglog4如果x0，比較（1）2與（1）2的大小解：（1）2（1）2（1）（1）（1）（1）或（x21）（x21）4x0 0 40（1）2（1）25已知a0，比較（a2a1）（a22a1）與（a2a1）（a2a1）的大小解：（a2a1）（a2a1）（a2a1）（a2a1）（a21）2（a）2（a21）2a2a2a0，a20 a20故（a2a1）（a2a1）（a2a1）（a2a1）五、小結(jié) ：本節(jié)學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系，并以此關(guān)系為依據(jù)，研究了如何比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，其具體解題步驟可歸納為：第一步：作差并化簡(jiǎn)，其目標(biāo)應(yīng)是n個(gè)因式之積或完全平方式或常數(shù)的形式第二步：判斷差值與零的大小關(guān)系，必要時(shí)須進(jìn)行討論第三步：得出結(jié)論