五種輔助線助你證全等

1、五種輔助線助你證全等構(gòu)造全等三角形解競(jìng)賽題一、 已知角平分線，利用軸對(duì)稱構(gòu)造全等三角形。例1 在四邊形中，對(duì)角線，下列結(jié)論中正確的是（ ）.A B C D 與的大小關(guān)系不確定解：因?yàn)橐訟C為對(duì)稱軸作ACD的對(duì)稱圖形ACE，則=故選A. 二、已知中線，利用中心對(duì)稱構(gòu)造全等三角形。例2 設(shè)G為ABC的重心，且則ABC的面積為（ ）。解：如圖，以BC的中點(diǎn)D為中心，將點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)180至E，則四邊形BGCE是平行四邊形.在BEG中，所以BEG是直角三角形，因此 例1圖 例2圖 例3圖 三、已知等邊三角形，旋轉(zhuǎn)60構(gòu)造全等三角形。例3 已知P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，的度數(shù)為（ ）.解：繞著點(diǎn)B將ABP順時(shí)針

2、旋轉(zhuǎn)60，則ABPCBE，BPE為等邊三角形。在PCE中，所以PCE是直角三角形，因此四、已知正方形，旋轉(zhuǎn)90構(gòu)造全等三角形。例4 已知P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，PAPBPC=123，的度數(shù)為（ ）.解：繞著點(diǎn)B將ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，則ABPCBE，BPE為等腰直角三角形。在PCE中，設(shè)所以PCE是直角三角形，因此 例4圖 例5圖 五、已知特殊角度，構(gòu)造全等三角形。例5 A、B、C三個(gè)村莊在一條東西走向的公路沿線，如圖，AB=2千米，BC=3千米，在B村莊的正北方向有一個(gè)D村，測(cè)得今將ADC區(qū)域規(guī)劃為開發(fā)區(qū)，除其中4平方千米的水塘外，均作為建筑或綠化用地，試求這個(gè)開發(fā)區(qū)的建筑及綠化用地的面

3、積是多少？解：分別以DA、DC為對(duì)稱軸，作RtADB和RtBDC的對(duì)稱圖形RtADE和RtFDC，延長(zhǎng)EA和FC交于G，則四邊形DEGF是以DB為邊長(zhǎng)的正方形。設(shè)由勾股定理得因此所以這個(gè)開發(fā)區(qū)的建筑及綠化用地的面積是11平方千米。三角形全等證明思路解析：（1）可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個(gè)角）分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形全等；（3）可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個(gè)三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。有了思路也就有了解題的方向，但解題這條路卻不一定是坦途，仍然充滿著荊棘，

4、那我們要怎樣才能在解任何的解題的過程中一路順利呢？答案就是熟悉各種輔助線及其做法。以下是總結(jié)的常見輔助線。常見輔助線的作法有以下幾種：（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用三線合一的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的對(duì)稱（2）遇到三角形的中點(diǎn)或中線，倍長(zhǎng)中線或倍長(zhǎng)類中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造 字形全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的旋轉(zhuǎn)（3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，或者沿著角平分線翻折，利用的思維模式是三角形全等變換中的對(duì)稱，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理（4）過圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的

5、平移（5）截長(zhǎng)補(bǔ)短，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目具體做法是在某條線段端點(diǎn)處截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明常見輔助線類型：在證明三角形全等時(shí)有時(shí)需添加輔助線，對(duì)學(xué)習(xí)幾何證明不久的學(xué)生而言往往是難點(diǎn)下面介紹證明全等時(shí)常見的五種輔助線，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考一、截長(zhǎng)補(bǔ)短一般地，當(dāng)所證結(jié)論為線段的和、差關(guān)系，且這兩條線段不在同一直線上時(shí)，通?？梢钥紤]用截長(zhǎng)補(bǔ)短的辦法：或在長(zhǎng)線段上截取一部分使之與短線段相等；或?qū)⒍叹€段延長(zhǎng)使其與長(zhǎng)線段相等例1如圖1，在ABC中，ABC=60，AD、CE分別平分BAC、ACB求證：AC=AE+

6、CD分析：要證AC=AE+CD，AE、CD不在同一直線上故在AC上截取AF=AE，則只要證明CF=CD證明：在AC上截取AF=AE，連接OFAD、CE分別平分BAC、ACB，ABC=601+2=60，4=6=1+2=60顯然，AEOAFO，5=4=60，7=180（4+5）=60在DOC與FOC中，6=7=60，2=3，OC=OCDOCFOC， CF=CDAC=AF+CF=AE+CD二、中線倍長(zhǎng)三角形問題中涉及中線（中點(diǎn)）時(shí)，將三角形中線延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造全等三角形是常用的解題思路例2已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為7和5，那么第三邊上中線長(zhǎng)x的取值范圍是（ ）分析：要求第三邊上中線的取值范圍，只有將將中

7、線與兩個(gè)已知邊轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，然后利用三角形的三邊關(guān)系才能進(jìn)行分析和判斷解：如圖2所示，設(shè)AB=7，AC=5，BC上中線AD=x延長(zhǎng)AD至E，使DE = AD=xAD是BC邊上的中線，BD=CDADC=EDB（對(duì)頂角）ADCEDBBE=AC=5在ABE中 AB-BEAEAB+BE即7-52x7+5 1x6三、作平行線當(dāng)三角形問題中有相等的角或等腰等條件時(shí)，可通過作平行線將相等的角轉(zhuǎn)換到某一個(gè)三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，從而為證明全等提供條件例3如圖3，在等腰ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延長(zhǎng)線上截取CE，且使CE=BD連接DE交BC于F求證：DF=EF分析：要

8、證DF=EF，必須借助三角形全等而現(xiàn)有圖形中沒有全等三角形由等腰三角形條件，可知B=ACB，作DHAE，可得DHB=ACB則DBH為等腰三角形證明：作DHAE交BC于HDHB=ACB，AB=AC，B=ACBDHB=B，DH=BDCE=BD DH= CE又DHAE，HDF=E DFH=EFC（對(duì)頂角） DFHEFC（AAS） DF=EF四、補(bǔ)全圖形在一些求證三角形問題中，延長(zhǎng)某兩條線段（邊）相交，構(gòu)成一個(gè)封閉的圖形，可找到更多的相等關(guān)系，有助于問題的解決例4如圖4，在ABC中，AC=BC，B=90，BD為ABC的平分線若A點(diǎn)到直線BD的距離AD為a，求BE的長(zhǎng)分析：題設(shè)中只有一條已知線段AD，且

9、為直角邊，而要求的BE為斜邊要找到它們之間的關(guān)系，需設(shè)法構(gòu)造其他的全等三角形證明：延長(zhǎng)AD、BC相交于F由BD為ABC的平分線，BDAF易證ADBFDB FD= AD=a AF=2a F=BAD 又BAD+ABD=90，F(xiàn)+FAC=90ABD=FAC BD為ABC的平分線 ABD=CBEFAC=CBE，而ECB=ACF=90，AC=BCACFBCE（ASA） BE=AF=2a五、利用角的平分線對(duì)稱構(gòu)造全等角的平分線是角的對(duì)稱軸，在證明全等過程中不僅提供了兩個(gè)相等的角，還有一條公共邊，利用角的平分線在角的兩邊上截取相等的線段，或向兩邊作垂線，對(duì)稱構(gòu)造出全等三角形是常用的證明方法例5如圖5，在四邊

10、形ABCD中，已知BD平分ABC，A+C=180證明：AD=CD分析：由角的平分線條件，在BC上截取BE=BA，可構(gòu)造ABDEBD，從而AD=DE則只要證明DE=CD證明：在BC上截取BE=BA，連接DE由BD平分ABC，易證ABDEBDAD=DE A=BED又A+C=180，BED+DEC=180DEC=C，DE=CDAD=CD一、遇三角形中線常見輔助線：若遇到三角形的中線，可倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。二、角平分線常見輔助線：1、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等：過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性

11、質(zhì)來證明問題。2、截取構(gòu)全等如圖，AOC=BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有OEDOFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。3、延長(zhǎng)垂線段遇到垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交，構(gòu)成等腰三角形。4、做平行線、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形（如圖1）、通過一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形（如圖2）。三、等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)的逆定理“三線合一”性質(zhì)：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。逆定理：、如果三角形中任一角的角平分線和它所對(duì)邊的中線重合，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。、

12、如果三角形中任一角的角平分線和它所對(duì)邊的高重合，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。、如果三角形中任一邊的中線和這條邊上的高重合，那么這個(gè)三角形是等腰三角形?！竞?jiǎn)言之】： 三角形中任意兩線合一，必能推導(dǎo)出它是一個(gè)等腰三角形。四、截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法：截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。、對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個(gè)三角形中證明。、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證明不出來，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明。【同時(shí)適用】：證明線段的和、差、倍、分等類的題目一、 有角平分線時(shí)