滬教版初中總復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練中考總復(fù)習(xí)：勾股定理及其逆定理--知識(shí)講解(提高)

1、精品文檔用心整理滬教版初中數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（?？贾R(shí)點(diǎn)）鞏固練習(xí)中考總復(fù)習(xí)：勾股定理及其逆定理（提高）【考綱要求】1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實(shí)際問題；4.加強(qiáng)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，用方程思想解決幾何問題以體現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的內(nèi)在聯(lián)系【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、勾股定理1.勾股定理：）直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（即：.【要點(diǎn)詮釋】勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)

2、家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.2.勾股定理的證明：勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法.用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是:圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變;根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理.3.勾股定理的應(yīng)用勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊,在中，則，;知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系;可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題.知識(shí)點(diǎn)二、勾股定理的

3、逆定理1.原命題與逆命題如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.【要點(diǎn)詮釋】勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理若它們相等時(shí)，以，為三邊的三角形是直角三角形；若，時(shí)，以，為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時(shí)，以，為三邊的三角形是銳角三角形；

4、定理中，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長，滿足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊；勾股定理的逆定理在用問題描述時(shí)，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形.3.勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，為正整數(shù)時(shí)，稱，為一組勾股數(shù);記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；等;用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）知識(shí)點(diǎn)三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系1.區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題在使

5、用勾股定理時(shí)，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解；而其逆定理是判定定理，能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論2.聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個(gè)整體通常既要通過逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形，又要用

6、勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對(duì)問題的解決.【典型例題】類型一、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用【高清課堂：勾股定理及其逆定理例2】1我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）圖2由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成記圖中正方形abcd，正方形efgh，正方形mnkt的面積分別為s1，s2，s3，若s1+s2+s3=10，則s2的值是_【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖形的特征得出線段之間的關(guān)系，進(jìn)而利用勾股定理求出各邊之間的關(guān)系，從而得出答案【答案與解析】圖中正方形abcd，正方形efgh，正方形mnkt的面積分別為s1，s2，s3，cg=ng，

7、cf=dg=nf，s1=（cg+dg）2=cg2+dg2+2cgdg，=gf2+2cgdg，s2=gf2，s3=（ng-nf）2=ng2+nf2-2ngnf，s1+s2+s3=10=gf2+2cgdg+gf2+ng2+nf2-2ngnf，=3gf2，s2=【總結(jié)升華】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知得出s1+s2+s3=10=gf2+2cgdg+gf2+ng2+nf2-2ngnf=3gf2是解決問題的關(guān)鍵資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理【變式】若abc三邊a、b、c滿足abc338=10a+24b+26c，abc是直角三角形嗎？為什么？【答案】abc338=10a+24b+

8、26cabc33810a24b26c=0（a10a+25）（b24b+144）（c26c+169）=0即a=5，b=12，c=13又ab=c=169，abc是直角三角形.2（2014秋黃梅縣校級(jí)期中）如圖，ab=ac，ae=af，bac=eaf=90，be、cf交于m，連am（1）求證：be=cf；（2）求證：becf；（3）求amc的度數(shù)（【思路點(diǎn)撥】1）求出bae=caf，根據(jù)sas推出cafbae即可；（2）根據(jù)全等得出abe=acf，求出abo+boa=+acf=90，求出cmo=90即可；（3）作agbe于g，ahcf于h，證全等得出ag=ah，得出正方形，求出amg，即可求出答案【

9、答案與解析】證明：（1）bac=eaf=90，bac+cae=fae+cae，bae=caf，在caf和bae中cafbae，be=cf（）證明：cafbae，abe=acf，bac=90，abo+boa=90，boa=，+acf=90，cmo=18090=90，becf（3）解：過點(diǎn)a分別作agbe于g，ahcf于h，則agb=ahc=90，在agb和ahc中agbahc，ag=ah，agbe，ahfc，becf，agm=gmh=ahm=90，四邊形ahmg是正方形，gmh=90，amg=hmg=45，資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理amc=90+45=135【總結(jié)升華】本題考

10、查了全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力舉一反三：【變式】如圖，abc中，有一點(diǎn)p在ac上移動(dòng)若ab=ac=5，bc=6，則ap+bp+cp的最小值為（）a.8b.8.8c.9.8d.10【答案】c.類型二、勾股定理及其逆定理與其他知識(shí)的結(jié)合應(yīng)用【高清課堂：勾股定理及其逆定理例7】3.（2015春沛縣期中）（1）如圖，正方形abcd中，點(diǎn)e、f分別在邊bc、cd上，eaf=45，延長cd到點(diǎn)c，使dg=be，連結(jié)ef、ag，求證：ef=fg；（）如圖，在abc中，bac=90，點(diǎn)m、n在邊bc上，且man=45，若bm=1，ab=ac，=3，求mn的長【思路

11、點(diǎn)撥】（1）欲證明ef=fg，只需證得faegaf，利用該全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得結(jié)論；（2）過點(diǎn)c作cebc，垂足為點(diǎn)c，截取ce，使ce=bm連接ae、通過證明abmace（sas）推知全等三角形的對(duì)應(yīng)邊am=ae、對(duì)應(yīng)角bam=cae；然后由等腰直角三角形的性質(zhì)和man=45得到man=ean=45，所以manean（sas），故全等三角形的對(duì)應(yīng)邊mn=en；最后由勾股定理得到en2=ec2+nc2即mn2=bm2+nc2【答案與解析】（1）證明：在正方形abcd中，abe=adg，ad=ab，在abe和adg中，abeadg（sas），bae=dag，ae=ag，eag=90，在fa

12、e和gaf中，faegaf（sas），ef=fg；（2）解：如圖，過點(diǎn)c作cebc，垂足為點(diǎn)c，截取ce，使ce=bm連接ae、enab=ac，bac=90，b=acb=45cebc，ace=b=45在abm和ace中，abmace（sas）am=ae，bam=caebac=90，man=45，bam+can=45于是，由bam=cae，得man=ean=45在man和ean中，資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理，manean（sas）mn=en在rtenc中，由勾股定理，得en2=ec2+nc2mn2=bm2+nc2bm=1，=3，mn2=12+32，mn=【總結(jié)升華】本題考查了

13、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用、等腰直角三角形的性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形4.（2011黑龍江大慶）如圖，abcd是一張邊ab長為2，邊ad長為1的矩形紙片，沿過點(diǎn)b的折痕將a角翻折，使得點(diǎn)a落在邊cd上的點(diǎn)a處，折痕交邊ad于點(diǎn)e（1）求dae的大?。唬ǎ┣骯be的面積【思路點(diǎn)撥】（1）先根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出rtabertabe，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出dae的度數(shù)；（2）設(shè)ae=x，則ed=1x，ae=x，在rtade中，利用sindae=可求出x的值，在根據(jù)rtabe中，ab=ab，利用三角形的面積公式即可求解【答案與解析】（）a

14、be是abe翻折而成，rtabertabe，在rtabc中，ab=2，bc=1得，bac=30，又bae=90，dae=60；（2）解法1：設(shè)ae=x，則ed=1-x，ae=x，在rtade中，sindae=，即=，得x=4-2，在rtabe中，ae=42，ab=ab=2，sabe=2（42）=4-2；解法2：在rtabc中，ab=2，bc=1，得ac=，ad=2-，設(shè)ae=x，則ed=1-x，ae=x，在rtade中，ad2+de2=ae2，資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理即（2-）2+（1x）2=x2，得x=4-2，在rtabe中，ae=4-2，ab=ab=2，sabe=2（

15、4-2）=4-2【總結(jié)升華】本題考查的是圖形的翻折變換，涉及到勾股定理及矩形的性質(zhì)，熟知折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解答此題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】如圖，在abc中，已知c=90，ac=60cm，ab=100cm，a，b，是在abc內(nèi)部的矩形，它們的一個(gè)頂點(diǎn)在ab上，一組對(duì)邊分別在ac上或與ac平行，另一組對(duì)邊分別在bc上或與bc平行若各矩形在ac上的邊長相等，矩形a的一邊長是72cm，則這樣的矩形a、b、c的個(gè)數(shù)是（）a.6b.7c.8d.9【答案】d.5.如圖，公路mn和公路pq在點(diǎn)p處交匯，且qpn30，點(diǎn)a處有一所中學(xué)，

16、ap160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路mn上沿pn方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？（【思路點(diǎn)撥】1）要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校a，實(shí)質(zhì)上是看a到公路的距離是否小于100m，小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段ab并計(jì)算其長度.（2）要求出學(xué)校受影響的時(shí)間，實(shí)質(zhì)是要求拖拉機(jī)對(duì)學(xué)校a的影響過程中所行駛的路程.因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后結(jié)束影響學(xué)校.【答案與解析】作abmn，垂足為b在rtabp中，abp90，apb

17、30，ap160，abap80（直角三角形中，30所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）點(diǎn)a到直線mn的距離小于100m，這所中學(xué)會(huì)受到噪聲的影響.如圖，假設(shè)拖拉機(jī)在公路mn上沿pn方向行駛到點(diǎn)c處時(shí)學(xué)校開始受到影響，那么ac100(m)，由勾股定理得：bc210028023600，bc60m同理，假設(shè)拖拉機(jī)行駛到點(diǎn)d處時(shí)學(xué)校開始不受影響，那么ad100(m)，bd60(m)，cd120(m).拖拉機(jī)行駛的速度為:18km/h5m/st120m5m/s24s答：拖拉機(jī)在公路mn上沿pn方向行駛時(shí)，學(xué)校會(huì)受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時(shí)間為24秒.【總結(jié)升華】勾股定理是求線段長度的很重要的方法，若圖形缺少直角

18、條件，則可以通過作垂線的方法，構(gòu)造直角三角形，以便利用勾股定理.6如圖（1），（2）所示，矩形abcd的邊長ab=6，bc=4，點(diǎn)f在dc上，df=2動(dòng)點(diǎn)m、n分別從點(diǎn)d、b同時(shí)出發(fā)，沿射線da、線段ba向點(diǎn)a的方向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)m可運(yùn)動(dòng)到da的延長線上），當(dāng)動(dòng)點(diǎn)n運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)a時(shí)，m、n兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)連接fm、fn，當(dāng)f、n、m不在同一直線時(shí)，可得fmn，過fmn三邊的中點(diǎn)作pwq設(shè)動(dòng)點(diǎn)m、n的速度都是1個(gè)單位/秒，m、n運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒試解答下列問資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理題：（）說明fmnqwp；（2）設(shè)0x4（即m從d到a運(yùn)動(dòng)的時(shí)間段）試問x為何值時(shí)，pwq為直角三角形？當(dāng)x在何范圍時(shí)，pqw不為直角三角形？（3）問當(dāng)x為何值時(shí)，線段mn最短？求此時(shí)mn的值【思路點(diǎn)撥】解決圖形運(yùn)動(dòng)的問題，由于運(yùn)動(dòng)過程中圖形的位置或形狀不確定，常會(huì)用到分類思想.【答案與解析】（1）由題意可知p、w、q分別是fmn三邊的中點(diǎn)，pw是fmn的中位線，即pwmnfmnqwp（2）由題意可得dm=bn=x，an=6-x，am=4-x，由勾股定理分別得=，=+=+當(dāng)=+時(shí)，+=+解得;當(dāng)=+時(shí)，+=+此方程無實(shí)數(shù)根;=+時(shí)，=+解得（不合題意，舍去），;綜上，當(dāng)或時(shí)，