同濟(jì)大學(xué)高數(shù)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)

1、高等數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)要點(diǎn)、函數(shù)與極限(一) 函數(shù)1、 函數(shù)定義及性質(zhì)(有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性)；2、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)的運(yùn)算；3、初等函數(shù)：幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)；4、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)；函數(shù) f(x)在 Xo 連續(xù)lim f(x)二 f(x。)XTXo第一類：左右極限均存在間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)0,夫 0, %,當(dāng) 0|x-Xo|e 時(shí)，f(x) - A 宀 XrXo左極限：f(Xo)二 lim f(x)右極限：f(x0) = lim f(x)XT XoI Xolim f (x) = A 存在=f (xj)二 f (x0)Xr Xo2、極限存在準(zhǔn)則1

2、) 夾逼準(zhǔn)則:1 ) yn - x Zn ( n - n)2)lim yn = lim zn = ann“ :lim xn = an 、:2) 單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限.3、無(wú)窮小(大)量1) 定義：若lim二0則稱為無(wú)窮小量；若lim：則稱為無(wú)窮大量2) 無(wú)窮小的階：高階無(wú)窮小、同階無(wú)窮小、等價(jià)無(wú)窮小、k階無(wú)窮小Th1:：=：=:- o(：)；Th2:二，,lim ；存在,a F則PP lim 二lim (無(wú)窮小代換) aa4、求極限的方法1)單調(diào)有界準(zhǔn)則；2)夾逼準(zhǔn)則；3)極限運(yùn)算準(zhǔn)則及函數(shù)連續(xù)性；4)兩個(gè)重要極限： sin x 彳a) lim1丿Xxb)- 1 xlim(V x

3、)x 二 lim (1)x = ex 0x) ： -x5) 無(wú)窮小代換：(x 0)a) x sin x tan x arcsin x arctan xb)1 -cosx c) ex -1 x ( ax -1 xln a)d) ln(1x)xx(loga(1 x)花e) (1x)-1 :x導(dǎo)數(shù)與微分（一）導(dǎo)數(shù)1、定義：f (x)= lim f(x)f(xo)左導(dǎo)數(shù):右導(dǎo)數(shù):x - xof (x) - f (Xo)f _(x0) = limXTX廠X _ Xof (Xo) = llm f(x)f(xo)xtxX _ xoXrXo函數(shù) f (x)在 xo 點(diǎn)可導(dǎo)二 f_(xQ)= f (x0)幾何意

4、義：（X。）為曲線y二f （x）在點(diǎn)Xo, f（x。）處的切線的斜率.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系: 求導(dǎo)的方法1）導(dǎo)數(shù)定義；2）基本公式；3）四則運(yùn)算；4）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（鏈?zhǔn)椒▌t）；5）隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)；6）參數(shù)方程求導(dǎo)；7）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.5、 高階導(dǎo)數(shù)業(yè) A r_dy;1)定義：dx2dx dx(n)k (k) (n_k)2) Leibniz 公式：UV - CnU Vk=0(二)微分1) 定義：y = f(x。x)- f (x。)= A x o( x)，其中 a 與：x 無(wú)關(guān).2) 可微與可導(dǎo)的關(guān)系：可微= 可導(dǎo)，且dy二f (xNx二f (xo)dx三、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)中值定理1、Roll

5、e羅爾定理：若函數(shù)f(x)滿足：1) f(x) Ca,b；2) f(x) D(a,b) ；3) f(af(b)；則：(a,b),使f ()二 0.2、Lagrange拉格朗日中值定理 伙:若函數(shù)f (x)滿足：1) f (x) Ca,b；2) f (x) D(a,b)；貝y (a,b),使f(b)- f(a) = f ( )(b-a).3、Cauchy柯西 中值定理：若函數(shù)f (x), F(X)滿足：1) f(x),F(x) Ca,b ； 2) f(x),F(x) D(a,b) ；3)F(x)=0,x (a,b) f(b)- f(a) f ()則 (a,b),使貝F(b)-F(a) F()(二

6、) 洛必達(dá)法則(三) Taylor公式(四) 單調(diào)性及極值1、單調(diào)性判別法：f(x)，Ca,b, f (xy D(a,b)，則若 f (x) 0，則f(X)單調(diào)增加；則若f (x)0，則f (x)單調(diào)減少.2、極值及其判定定理：a) 必要條件：f (x)在Xo可導(dǎo)，若Xo為f (x)的極值點(diǎn)，貝S f (Xo 0.b) 第一充分條件：f (x)在冷的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f(X。)= 0 ,則若當(dāng)x “ X。 時(shí)，f (X) 0，當(dāng)X Xo時(shí)，f(X)： 0，則Xo為極大值點(diǎn)；若當(dāng)X舟Xo 時(shí)，f(X)： 0，當(dāng)X Xo時(shí)，(X) 0，則Xo為極小值點(diǎn)；若在Xo的 兩側(cè)f(X)不變號(hào)，則Xo不是極值點(diǎn)

7、.C)第二充分條件：f (X)在Xo處二階可導(dǎo)，且f (Xoh 0 ,(xo)= 0，則 若(Xo廠0，則xo為極大值點(diǎn)；若(Xo)，0，則xo為極小值點(diǎn).3、凹凸性及其判斷，拐點(diǎn),rX X2 f(xj f(x2)1 ) f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，若- X!，X2，I,七 -，則稱f(x)在為 x2、 f (xj f (x2)區(qū)間I上的圖形是凹的；若一 Xi,X2，I, f()七 -，則稱f(x)在區(qū)間I上的圖形是凸的.2) 判定定理：f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上有一階、二階導(dǎo)數(shù)，則a) 若一(a,b), f (x)0,則f(x)在a,b上的圖形是凹的；b) 若一x (a,b), f(

8、X)0，則f(x)在a,b上的圖形是凸的.3) 拐點(diǎn)：設(shè)y二f (x)在區(qū)間I上連續(xù)，xo是f (x)的內(nèi)點(diǎn)，如果曲線y = f (x)經(jīng) 過(guò)點(diǎn)(Xo, f (Xo)時(shí)，曲線的凹凸性改變了，則稱點(diǎn)(Xo, f (Xo)為曲線的拐點(diǎn).(五)不等式證明1、利用微分中值定理；2、利用函數(shù)單調(diào)性；3、利用極值（最值）.（六）方程根的討論1、連續(xù)函數(shù)的介值定理;2、Rolle定理；3、函數(shù)的單調(diào)性；4、極值、最值；5、凹凸性.（七）漸近線1、 鉛直漸近線：xima f（X），則X二a為一條鉛直漸近線；2、 水平漸近線：Xim f（X）二b，則y二b為一條水平漸近線；四、不定積分（一）概念和性質(zhì)1、 原函

9、數(shù)：在區(qū)間I上，若函數(shù)F（x）可導(dǎo)，且F （x）二f（x），則F（x）稱為f （X）的一個(gè)原函數(shù).2、 不定積分：在區(qū)間I上，函數(shù)f （X）的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱為f （X）在區(qū) 間I上的不定積分.3、基本積分表（P188 ,13個(gè)公式）；4、性質(zhì)（線性性）.（二）換元積分法1、第一類換元法（湊微分）：.（x）（x）dxf （u）dJ u（x）2、第二類換元法(變量代換：三角代換、倒代換、根式代換等)：f(x)dx 二f (t) (t)dtl1(x)(三)分部積分法：2dv= uv- jvdu (反對(duì)幕指三，前u后V(四)有理函數(shù)積分1、“拆”2、變量代換(三角代換、倒代換、根式代換等)五、

10、定積分(一)概念與性質(zhì)：1、bn定義：f (x)dx= li叫 f ( J 人疋乂： a日2、性質(zhì)：(7條)性質(zhì)7 (積分中值定理)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則a,b，使bbJ f(x)dxf (x)d f ( )(b- a)(平均值：f (廠b -(二)微積分基本公式(N L公式)1、x變上限積分：設(shè)：J (x)二a f(t)dt，則廠(X)二f (x)d(X)推廣：f(t)dt= f(x)(X)- f： (X)： (x)dx a(x)2、bN L 公式：若 F(x)為 f (x)的一個(gè)原函數(shù)，則 J f (x)dx= F(b)- F(a)a（三）換元法和分部積分1、b換元法：.af (x)dx 二f(t)dta2、分部積分法:budva七b二uv - vdua(四)反常積分1、無(wú)窮積分：-:tf(x)dx lim f(x)dxat ) abbf (x)dx lim f (x)dxt ) -二 t亠0 亠-f(x)dx = i_