向量的數(shù)量積及其應(yīng)用教案

1、平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用講師：王光明一、復(fù)習(xí)目標(biāo)深刻理解平面向量數(shù)量積的定義及其幾何意義。能應(yīng)用向量數(shù)量積解決有關(guān)向量垂直問題，向量的長度、夾角的問題，能將其它章節(jié)某些問題轉(zhuǎn)化為可用向量數(shù)量積解決的問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和應(yīng)用能力。、基礎(chǔ)知識知識點回顧1兩個向量的夾角是如何規(guī)定的？兩個向量的夾角的取值范圍是什么？如下圖，已知兩個非零向量 a和b作OA = a , OB=b，則/AOB= 9 (0 9 .2、平面向量數(shù)量積的定義是什么？其幾何意義是什么？如果兩個非零向量a，b，它們的夾角為9，我們把數(shù)量|a|b|cosr叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積或點積)，記作：ab，即ab = a b cos

2、q。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0.注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量b在a上的投影為a * b的幾何意義：數(shù)量積a * b等于a的模|a |與b在a上的投影的積 |b|co = by，它是一個實數(shù)，但不一定大于3、平面向量數(shù)量積有哪些性質(zhì)？設(shè)e是單位向量，a， e =9 .(1) e a = a e=| a |cos9 .(2) 當(dāng) a 與 b 同向時，a b=|a|b|；當(dāng) a 與 b 反向時，a b = |a|b|,特別地，a a=|a|2，或|a|= a .(3) a丄b ：= a b =0.(a、b都是非零向量)注意：零向量的方向是任意的，因此可以和任意向量平行，但卻不可以與任

3、何向量垂直a b(4) cos 9 =|a|b|(5) |a b|w|a|b|.4. 平面向量數(shù)量積運算律：(1) a b = b a ；(2) (入 a) b= X ( a b) =a (入 b );(3) ( a+ b) c=a c + b c思考討論(ab)c與 a(bc)是否相等？5向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算：設(shè) a= (xi，yi)， b= (X2, y2)，貝U(1) a b =xix2+yiy2；(2) lal=劃xi + yi ;(3) cos a , b=xx+yy2 2 2 2 Xi + yi -.t X2 + y2(4) a 丄 b T a b =0T xiX2+yiy2=0.

4、三、雙基訓(xùn)練i. 已知a、b均為單位向量，它們的夾角為 60,那么|a+3b|等于A.、7B.、.i0C. J3D.4解析:= .16 1 1 cos60 9 = . 13. 1 亠2 * * 2|a+3b|= .(a 3b2 = a 6a b 9b答案：C2. 已知a= ( X , 2), b= (3, 6),且a與b的夾角為鈍角，貝U入的取值范圍是解析：a與b的夾角為鈍角，cos 0且cos工-1 ,cos =3二 124. 9 45-二，-11 i 1,43. 已知a,b,c為非零的平面向量.甲：a b =a c, 乙：b=c,則()(A)甲是乙的充分條件但不是必要條件；(B)甲是乙的必

5、要條件但不是充分條件(C)甲是乙的充要條件;(D)甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件若ab = aa ,則|a|b|cosa =|a |c|cosb (其中、b分別為a與b , a與c的夾角)若|a |工0, 則|a|cosa =|c|cosB .v cosa與cosb不一定相等，二|b|與|c|不一定相等.二b與c也不一定相等. 甲T乙若b=c則| b|=| c|且b與a， c與a夾角相等， a a c乙=甲四、平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用例 1、已知 a = (cos a sin a) ,b = (cos gsin ) (0 a 仟 n,(1) 求證：a b與a-b互相垂直；(2) 若 ka

6、 - b與a -kb 的相等(k R且0),求 B a(1)證法一：T a= (cos a sin a) , b = (cos 0sin ) a+b =( cos a+cos f, sina+ sin ),a -b =( cos acos g sin a sin ) (a b)(a -b) = (cos acos , sin a sin ) - (cos -cos , sin a sin )2 2 2 2=cos a-cos 供sin - sin 薩0 (a b)丄(a -b)證法二：T a= (cos a si no) b = (cos Win ) a = 1, b = 1 (a b)(a

7、_b) = a2 _b2 = |a |2 _ |b |2=0 (a b)丄(a -b)證法三：t a= (cos a si no) , b = (cos 3sin ) a, = 1, b = 1,記OA = a, OB = b,則|0A匸|0B|=1,又aM O、A、B三點不共線。由向量加、減法的幾何意義，可知以 OA、OB為鄰邊的平行四邊形OACB是菱形，其中OC=a b , BA = a-b ,由菱形對角線互相垂直，知(a b)丄(a -b)(2)解：由已知得 |ka b|=|a-kb|_ 2 2 2 2又|ka b | = (kcosc+cos +(ks in a+s in =k +1+

8、2kcos(0,2222| a-kb | = (cosa-kcos+(s in aks in =k +1-2kcos( p o), 2kcos( 0= -2kcos( 0又 k 工 0 cos( 0 = 00 an 0 =120 .答案：B3若向量c垂直于向量a和b , d = x a+（i b （入、卩 R,且入卩工0）,則hKA. c / d B.c 丄 dC.c不平行于d，也不垂直于dD.以上三種情況均有可能解析： c丄 a , c 丄 b , c a=0, c b=0. r-fc c d = c （入 a+ 卩 b） =c （入 a） +c （卩 b） = X c a+卩 c b=0.

9、 答案：B4.已知平面上三點 A、B、C 滿足 | AB |=3, |BC|=4, |CA|=5,則 AB BC + BC CA+CA AB 的值等于.解析： |AB|2+|BC f=|CA|2, ABC為直角三角形，其中/ B=90 . AB BC + BC CA + CA AB =0+| BC |CA |cos ( n -Z C) +|CA|AB |cos ( n - Z A)= -25.答案：25六、小結(jié)：1. 本節(jié)課復(fù)習(xí)的主要內(nèi)容是平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，以及用數(shù)量積處理向量垂直問題，向量的長度、夾角問題。2. 平面向量在解幾中的運用其目標(biāo)是將幾何問題坐標(biāo)化、符號化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運算。這一部分內(nèi)容我們將在解幾復(fù)習(xí)中進一步深入探究。七、