人教版高數(shù)必修四第9講兩角和與差的正余弦及正切公式(學(xué)生版)

1、名師推薦精心整理學(xué)習(xí)必備 兩角和與差的正余弦、正切公式 sin ： sin ： 的推導(dǎo): 復(fù)習(xí)：兩點(diǎn)間的距離公式： 設(shè) R（xi，yj，P2（X2, y2） 推導(dǎo)過(guò)程： 設(shè)角、角：為任意角 作 AOB = , BOC - - 作單位圓， 再作 DOA 二 BOC 二： 則.AOC 二二! 如左圖在平面直角坐標(biāo)系 xoy中 設(shè)角：、角1的終邊分別與單位圓交于點(diǎn) B,點(diǎn)C P1P2 二.（X2-X1）2 （y2 - yi）2 A（1,0）， B（cos： ,sin ： ） ,C（cos（二 ）,sin（二 1 - ），D（cos（- ： ）,sin（- :）， 由已知： NAOC = NBOD ；

2、 二 Dab = ABC 二 DB = AC -_cos（i：）乎sinsin（_ ：）2 二 J-cos（-：） Tsin2（-： 1-） si n2(_：*) cos：- -cos(-?)丨川sin-sin(-cos(-：J-1 展開并整理得：2 -2(cos ： cos ： - sin ： sin ) = 2- 2cos(二) cos(r r ) = cos： cos：?sin ： sin : 上述公式稱為兩角和的余弦公式記為 C(一 ：): cos(_：i b - ) = cos： cos 1 - sin ： sin : 二、兩角和與差的正弦公式： sjn( a + 3 )=8鄉(xiāng)-(a

3、 +3 ) sin( a )=sin a +-(3) = 三、兩角和與差的正切公式： 當(dāng) cos( a + 3 )時(shí)0 tan( a + 3 如果cos a cos 3眾P0cos aM且COS 3工時(shí)，分子、分母同除以COS a COS得 tan tan I-四、公式匯編： .兩角和與差的三角函數(shù) tan( a +，據(jù)角 a、3的任意性，在上面的式子中，3用-3代之，則有 1 -tana tan(-門 tan(詡)=仙：tan() 1 - tan tan( -P) cos( a + 3 )=cos a-scosopsin 3 3, sin( a + 3 )=sin a cos 3 +ccs

4、a sin sin( -3 )=sin a coos3a sin 3 tan a +tan P tan( a + 3 )=- 1 - tan tan P tan(詡)= sin（:;二 I） =sin ： cos 匸二 cos： sin :； cos（、丄二 I）二 cos ： cos 1-: 一 sin ： sin F ； tan（用二 I-） 口 tan 卅 一 tan : 1 _tan ： tan 2 二倍角公式 sin 2 一 - 2 sin _：i cos ：； cos2：二cos2 ：-sin2 ： = 2cos2二-1 = 1-2sin2 ：； tan 2： 2 ta nt 1

5、-tan2: 3.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn) 常用方法：直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；三角公式的逆用；切割化弦，異名化同名, 異角化同角等。 （2 ）化簡(jiǎn)要求：能求出值的應(yīng)求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項(xiàng)數(shù)盡量少；盡量 使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。 （1）降幕公式 1 .小.21cos2a21 + cos2a sin 一:s cossin 2_：i ；sin:cos : 2 2 2 （2）輔助角公式 asin x bcosx 二a2 b2 sin x ? 其中亦宀cos ：C cos、a公式的推導(dǎo)： a2 b2 asin x bcosx 二，a2 b2 令cos，貝y - a2 b2

6、a2 b2 a iJa2 +b2 b = sin，于是有: sinx bcosx 70 asin x bcosx = . a2 b2 其中；：由-.a2b2 類型一：正用公式 =si nx 冷a2 +b2 a2 b2 sin x =cos書,.b Ja2 +b2 cosx 丿 =.a2 b2 sin xcos : cosxsin 2 1 例 1.已知：sin , cos，求 cos（二-）的值. 3 4 舉一反三: 、二4 【變式1】已知（,0） , cosx ，則tan2x = 25 【變式2】已知tan（x ）=2，則旦 二 . 4tan 2x 【變式3】已知tan 和tan 一：是方程2

7、x2 x-6=0的兩個(gè)根，求tan（二：-）的值. 【高清課堂：三角恒等變換397881例1】 【變式4】某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù) 2 2 (1) sin 13 cos 17sin13 cos17 (2) sin215cos215 -sin15 cos15 2 2 (3) sin 18 cos 12 -sin18 cos12 (4) sin2(-18 ) cos248 -sin(-18 )cos48 (5) sin2(-25 ) cos2 55 -sin(25 )cos55 i試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù) n根據(jù)(i)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)

8、推廣三角恒等式，并證明你的結(jié)論. -3_12_3 例 2已知-, cos(-), si n(二亠)，求 si n2 的值. 24135 舉一反三： 3 【變式1】已知sin, ：是第二象限角，且tan(二1,) =1,求tan2：的值. 5 【變式2】函數(shù)y =2、3sin(70二x) -2cos(10： x)的最大值為() A. 2 3 B 4 C 2 D 2 2. 3 【變式3】已知cos( )=-，且，求cos (2門+ )的值. 125212 JT27T7T22A 【變式 4】 已知 :-:-:， 0 ： ： : ， cos( - ：)二一，sin(-) b )=，求 sin(* 亠.

9、) 4 4445413 的值。 類型二：逆用公式 例3.求值： (1) sin 43 cos13 -cos43 sin13 ； (2) 2 cosx -6sin x ； 1 tan 15 (3) 1 -ta n15 4 .4. (3) (sin23 cos8 sin67 cos98 )(sin 7 30 -cos 7 30). 舉一反三： 【變式1】化簡(jiǎn) sin 163 sin 223sin 253 sin313 . 3- ，那么cos2 ：的值為( 5 【變式2】已知 A. 例4. 工B 25 求值： 18 25 7 25 18 25 (1) cos36 cos72 ； (2) 3 COS

10、COS - : cos-二 777 sin(: - - )cos- cosC - - )sin 二 舉一反三: 【變式】求值: (1) cos20 cos40 cos80 ； ( 2)sin 10 sin 30 sin 50 sin 70 . 類型三：變用公式 例5.求值： (1) tan200 tan40 、3tan200tan400 ；(2) (2) (1 tan10)(1 tan20) (1 tan430)(1 tan440) 舉一反三： 【變式 1】求值：tan 22 tan 23 tan22 tan23 =. 【變式2】在 ABC中， tanB tanC - 3tanB tanC -

11、 3 , 3 tanA 、3tanB 1 二 tanA tanB，試判斷 ABC 的形 狀. 類型四：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值 2cos1 2口 -1 n2 n 2tan( )sin () 44 例6.化簡(jiǎn)： (1) sin50 (V 3tan10) ； (2 ) 【點(diǎn)評(píng)】 三角變換所涉及的公式實(shí)際上正是研究了各種組合的角(如和差角，倍半角等)的三角函數(shù) 與每一單角的三角函數(shù)關(guān)系。因而具體運(yùn)用時(shí)，注意對(duì)問題所涉及的角度及角度關(guān)系進(jìn)行觀察。 三角變換中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角變換中經(jīng)常用到降幕公式: 21 cos2：. 21 -cos2： cos, sin 2 2 舉一反

12、三： 【變式1】化簡(jiǎn)： 【答案】由cos ? (0,-)，得 sin ： = 1 -cos在厶 ABC 中，若 sinAsinBcosAcosB, : 2 a. tan 2 .a sin 2 a cos 2 2 :- 2sin - 2 2sin cos 2 2 1 - cos： 1_3 5 4 1 例7.已知tan（：）= 2 且二j，:三 （0,二） 求2：的值. 舉一反三: 11 【變式1】已知tan , tan : 73 5門:；5 二 D. A. - B.C. 或 4 444 2 【變式2】已知sin(二亠”),sin(: 3 TH1 壬 llx 、選擇題 則厶ABC 一定為（） co

13、s75 cos15 sin435 sin 15 的值是( 等邊三角形 B 直角三角形 C .銳角三角形 D .鈍角三角形 化簡(jiǎn) sin(x+ y)sin(x y) + cos(x + y)cos(x y)的結(jié)果是() sin2x cos2y cos2x cos2y sin 15 cos75 + cos15 sin 105 等于( sinn 3cos：n的值是（） 6 . ABC 中，cosA= 3，且 cosB= 5，則 cosC 等于() 513 33 65 63 65 、填空題 .若 COS a= 1nn 5 ,氏(0 , 2)，貝U COS(a+ 3)= 33 65 63 65 1 .

14、. 1 nt 8.已知 cosx cosy= 4, sinx siny = 3,貝U cos(x y)= 求證： cos( a Y= 三、解答題 9 .已知 sin a+sin B= sin y cosa+ cos 3= cos y 基礎(chǔ)鞏固 1.若,3sin x+ cos x=4 m,貝U實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）. A . 2 m 6 B. 一 6 m 6 C. 2m6 D.2 m 4 2.2cos son(sin 20 的值是(). 1 a.2 c. 3 3 By D. 2 3. （2012齊齊哈爾高一檢測(cè)）若cos（a 3 =，cos 2a=100，并且a 3均為銳角，且 a 3貝U a+

15、 3的值為（）. n B.4 3n CN 5 n DW 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10 、 1. 2. 3. 4. 5. cos 15 +sin 15 丄 3n （2012 成都高一檢測(cè)）若 cos A y3，茨（n 歲，則 cos n= 已知a, n , sin( a+ 9 = I，sin-=曙,貝U cos： - n 0 a/5tan20 tan40 =. 2. 若匸空=2008,則 tan2,. 1 -ta n -：cos2-：s 2 3 3. 已知sin cos,那么sin r的值為 cos2r的值為. 223 B + C 取得最大值，且 4. lABC的三個(gè)內(nèi)角為 A、B、C，當(dāng)A為時(shí)，cos A - 2cos 2 這個(gè)最大值為. 三、解答題 1. 已知 sin 二 sin ： sin =0,cos 二 11 cos ： cos =0,求 cos( ： - 的值 若 sin 二 sin : 2 ,求cos二cos ：的取值范圍 2 2. 求值: 1 cos