高考數(shù)學(xué)（重慶專用 理科）一輪復(fù)習(xí)題庫 12.5數(shù)學(xué)歸納法 Word版含解析

1、課時(shí)作業(yè)67數(shù)學(xué)歸納法一、選擇題1用數(shù)學(xué)歸納法證明12(2n1)(n1)(2n1)時(shí)，在驗(yàn)證n1成立時(shí)，左邊所得的代數(shù)式是()a1 b13c123 d12342用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(n2，nn*)的過程中，由nk遞推到nk1時(shí)不等式左邊()a增加了一項(xiàng)b增加了兩項(xiàng)、c增加了和兩項(xiàng)但減少了一項(xiàng)d以上各種情況均不對3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1成立時(shí)，起始值n至少應(yīng)取為()a7 b8 c9 d104用數(shù)學(xué)歸納法證明：“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)”，從“k到k1”左端需增乘的代數(shù)式為()a2k1 b2(2k1) c d5在數(shù)列an中，a1，且snn(2n1)an，通過求a2，a3，a4

2、，猜想an的表達(dá)式為()a bc d6設(shè)函數(shù)f(n)(2n9)3n19，當(dāng)nn*時(shí)，f(n)能被m(mn*)整除，猜想m的最大值為()a9 b18 c27 d367對于不等式n1(nn*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，11，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kn*)時(shí)，不等式成立，即k1，則當(dāng)nk1時(shí)，(k1)1，當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立，則上述證法()a過程全部正確bn1驗(yàn)得不正確c歸納假設(shè)不正確d從nk到nk1的推理不正確二、填空題8用數(shù)學(xué)歸納法證明“1aa2an1(a1，且nn*)”，在驗(yàn)證n1時(shí)，左邊計(jì)算所得的結(jié)果是_9在abc中，不等式成立；在四邊形abcd中，不等式成

3、立；在五邊形abcde中，不等式成立猜想在n邊形a1a2an中，有不等式_成立10用數(shù)學(xué)歸納法證明(k1)，則當(dāng)nk1時(shí)，左端應(yīng)乘上_，這個(gè)乘上去的代數(shù)式共有因式的個(gè)數(shù)是_三、解答題11設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且方程x2anxan0有一根為sn1，n1,2,3，.(1)求a1，a2；(2)猜想數(shù)列sn的通項(xiàng)公式，并給出嚴(yán)格的證明12(2012重慶高考)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn滿足sn1a2sna1，其中a20，(1)求證：an是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；(2)若a21，求證：sn(a1an)，并給出等號成立的充要條件參考答案一、選擇題1c解析：左邊表示從1開始，連續(xù)2n1個(gè)正整數(shù)的和，故n1時(shí)，

4、表示123的和2c解析：當(dāng)nk1時(shí)，不等式為，比當(dāng)nk時(shí)增加了，項(xiàng)但最左端少了一項(xiàng)3b解析：12，而1，故起始值n至少取84b解析：當(dāng)nk時(shí)，等式為(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)，當(dāng)nk1時(shí)，等式為(k2)(k3)(kk)(k1k)(k1k1)2k113(2k1)，左端增乘2(2k1)5c解析：由a1，snn(2n1)an求得a2，a3，a4猜想an6d解析：f(n1)f(n)(2n11)3n2(2n9)3n14(n6)3n1，當(dāng)n1時(shí)，f(2)f(1)479為最小值，據(jù)此可猜想d正確7d解析：在nk1時(shí)，沒有應(yīng)用nk時(shí)的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法二、填空題81aa2解析：首先觀察等式兩

5、邊的構(gòu)成情況，它的左邊是按a的升冪順序排列的，共有n2項(xiàng)因此當(dāng)n1時(shí)，共有3項(xiàng)，應(yīng)該是1aa29102k1解析：當(dāng)nk時(shí)，當(dāng)nk1時(shí)，左邊應(yīng)乘上，設(shè)第一項(xiàng)a12k1，an2k11，d2，n2k1三、解答題11解：(1)當(dāng)n1時(shí)，x2a1xa10有一根為s11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1當(dāng)n2時(shí)，x2a2xa20有一根為s21a2，于是2a2a20，解得a2(2)由題設(shè)知(sn1)2an(sn1)an0，即sn22sn1ansn0當(dāng)n2時(shí)，ansnsn1，代入上式得sn1sn2sn10(*)由(1)得s1a1，s2a1a2由(*)式可得s3由此猜想sn，n1,2,3，下

6、面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論n1時(shí)已知結(jié)論成立假設(shè)nk(kn*)時(shí)結(jié)論成立，即sk，當(dāng)nk1時(shí)，由(*)得sk1，即sk1，故nk1時(shí)結(jié)論也成立綜上，由、可知sn對所有正整數(shù)n都成立12(1)證法一：由s2a2s1a1得a1a2a2a1a1，即a2a2a1，因a20，故a11，得a2，又由題設(shè)條件知sn2a2sn1a1，sn1a2sna1，兩式相減得sn2sn1a2(sn1sn)，即an2a2an1，由a20，知an10，因此a2，綜上，a2對所有nn*成立從而an是首項(xiàng)為1，公比為a2的等比數(shù)列待添加的隱藏文字內(nèi)容2證法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明ana2n1，nn*當(dāng)n1時(shí)，由s2a2s1a1，得a

7、1a2a2a1a1，即a2a2a1，再由a20，得a11，所以結(jié)論成立假設(shè)nk時(shí)，結(jié)論成立，即aka2k1，那么ak1sk1sk(a2ska1)(a2sk1a1)a2(sksk1)a2aka2k這就是說，當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立綜上可得，對任意nn*，ana2n1因此an是首項(xiàng)為1，公比為a2的等比數(shù)列(2)證法一：當(dāng)n1或2時(shí)，顯然sn(a1an)，等號成立設(shè)n3，a21且a20由(1)知a11，ana2n1，所以要證的不等式化為1a2a22a2n1(1a2n1)(n3)，即證：1a2a22a2n(1a2n)(n2)當(dāng)a21時(shí)，上面不等式的等號成立當(dāng)1a21時(shí)，a2r1與a2nr1(r1,2，

8、n1)同為負(fù)；當(dāng)a21時(shí)，a2r1與a2nr1(r1,2，n1)同為正因此當(dāng)a21且a21時(shí)，總有(a2r1)(a2nr1)0，即a2ra2nr1a2n(r1,2，n1)上面不等式對r從1到n1求和得2(a2a22a2n1)(n1)(1a2n)，由此得1a2a22a2n(1a2n)綜上，當(dāng)a21且a20時(shí)，有sn(a1an)，當(dāng)且僅當(dāng)n1,2或a21時(shí)等號成立證法二：當(dāng)n1或2時(shí)，顯然sn(a1an)，等號成立當(dāng)a21時(shí)，snn(a1an)，等號也成立當(dāng)a21時(shí)，由(1)知sn，ana2n1下證：(1a2n1)(n3，a21且a21)當(dāng)1a21時(shí)，上面不等式化為(n2)a2nna2na2n1n

9、2(n3)令f(a2)(n2)a2nna2na2n1當(dāng)1a20時(shí)，1a2n20，故f(a2)(n2)a2nna2(1a2n2)(n2)|a2|nn2，即所要證的不等式成立當(dāng)0a21時(shí)，對a2求導(dǎo)得f(a2)n(n2)a2n1(n1)a2n21ng(a2)其中g(shù)(a2)(n2)a2n1(n1)a2n21，則g(a2)(n2)(n1)(a21)a2n30，即g(a2)是(0,1)上的減函數(shù)，故g(a2)g(1)0，從而f(a2)ng(a2)0，進(jìn)而f(a2)是(0,1)上的增函數(shù)，因此f(a2)f(1)n2，所要證的不等式成立當(dāng)a21時(shí)，令b，則0b1，由已證的結(jié)論知，兩邊同乘以a2n1得所要證的

10、不等式綜上，當(dāng)a21且a20時(shí)，有sn(a1an)，當(dāng)且僅當(dāng)n1,2或a21時(shí)等號成立高考資源網(wǎng)版權(quán)所有！投稿可聯(lián)系qq：108459180129c91afe4ced1b6c8795ad9c91afe4ced1b6c8795ad91afe4ced1b6c8795ad9c91fe4ced1b6c8795ad29c91afedd1b6c87d1b6c8795ad9c91afe4ced1b6c8795ad91afe4ced1b6c8795ad9c91fe4ced1b6c8795ad29c91af95ad9c91afe4ced1b6c8795ad91afe4ced1b6c8795ad9d1b6c879

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