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1、.第五章 微 分 方 程 模 型如果實(shí)際對(duì)象的某特性是隨時(shí)間(或空間)變化的,那么分析它的變化規(guī)律,預(yù)測(cè)它的未來性態(tài)時(shí),通常要建立此實(shí)際對(duì)象的動(dòng)態(tài)模型,這就是微分方程模型.1 傳 染 病 模 型建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來描述傳染病的傳播過程,分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律,預(yù)報(bào)傳染病高潮的到來等,一直是各國(guó)有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題.考慮某地區(qū)的傳染病的傳染情況,設(shè)該地區(qū)人口總數(shù)為,既不考慮生死,也不考慮遷移,時(shí)間以天為計(jì)量單位.一. SI 模 型假設(shè)條件:1. 人群分為易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)兩類人,簡(jiǎn)稱為健康人和病人,在時(shí)刻這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占比例分別記作和
2、.2. 每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是(常數(shù)),稱為日接觸率,當(dāng)病人與健康人有效接觸時(shí),使健康者受感染變?yōu)椴∪?試建立描述變化的數(shù)學(xué)模型.解: 由假設(shè)2知,每個(gè)病人每天可使個(gè)健康者變?yōu)椴∪?,又由于病人?shù)為,每天共有個(gè)健康人被感染.于是就是病人數(shù)的增加率,即有(1) 而.又記初始時(shí)刻()病人的比例為,則這就是Logistic模型,其解為 結(jié)果分析作出和的圖形如下:1. 當(dāng)時(shí),取到最大值,此時(shí)刻為2. 當(dāng)時(shí),即所有人終將被傳染,全變?yōu)椴∪耍ㄟ@是不實(shí)際的).二. SIS 模 型在前面假設(shè)1、2之下,再考慮病人可以醫(yī)治,并且有些傳染病如傷風(fēng)、痢疾等愈后免疫力很低,可以假定無免疫性,于是病人被治愈后變
3、成健康者,健康者還可以被感染再變成病人,此模型稱SIS模型.假設(shè)1、2同SI模型,增加假設(shè):3. 病人每天被治愈的人數(shù)占病人總數(shù)的比例為,稱為日治愈率.病人治愈后成為易感染者(健康人).顯然是這種傳染病的平均傳染期.解:在假設(shè)1、2、3之下,模型(1)修正為于是 解得 結(jié)果分析1. 令.注意到和的含義,可知是一個(gè)傳染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù),稱為接觸數(shù). 2. 接觸數(shù)是一個(gè)閾值.當(dāng)時(shí),病人比例越來越小,最終趨于零.當(dāng)時(shí),的增減性取決于的大小,其極限值.3. SI模型是SIS模型中的情形.三. SIR 模 型 大多數(shù)傳染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很強(qiáng)的免疫力,所以病愈的人既非健康者,也非病人,他們已經(jīng)退出傳染系統(tǒng),此時(shí)模型的假設(shè)為1.人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者三類,稱為SIR模型.三類人在總?cè)藬?shù)中占的比例分別記作、和.1. 病人的日接解率為,日治愈率為(與SIS模型相同),傳染期接觸數(shù)為.解:由假設(shè)1,有 由假設(shè)2,得 又設(shè)于是(2)我們?cè)谙嗥矫嫔?/p>
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