2020_2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.2.2第1課時(shí)橢圓的簡單幾何性質(zhì)學(xué)案含解析新人教A版選修2_1202103061126

1、22.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)第1課時(shí)橢圓的簡單幾何性質(zhì)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.掌握橢圓的幾何性質(zhì)，了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b，c的幾何意義2.會用橢圓的幾何意義解決相關(guān)問題.發(fā)展直觀想象提升邏輯推理提高數(shù)學(xué)運(yùn)算授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第26頁基礎(chǔ)認(rèn)識知識點(diǎn)橢圓的簡單幾何性質(zhì)知識梳理焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)圖形范圍axa，bybbxb，aya頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)軸長短軸長2b，長軸長2a焦點(diǎn)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F

2、2|2c對稱性對稱軸為坐標(biāo)軸，對稱中心為原點(diǎn)離心率e 自我檢測1橢圓1的長軸長為()A81B9C18 D45答案：C2橢圓的長軸長為10，一焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為_答案：13橢圓1的離心率為_答案：授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第27頁探究一根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)閱讀教材P46例4求橢圓16x225y2400的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)題型：根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的幾何性質(zhì)方法步驟：(1)先將橢圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程寫出a2，b2，從而得到a，b.(3)由a2b2c2得到c的值，從而研究橢圓的幾何性質(zhì)(如：長軸長、短軸長、焦距、離心率等)例1求

3、橢圓m2x24m2y21(m0)的長軸長、短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率解析由已知得1(m0)，因?yàn)?m2，所以橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，并且長半軸長a，短半軸長b，半焦距c，所以橢圓的長軸長2a，短軸長2b，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率e.方法技巧1.已知橢圓的方程討論性質(zhì)時(shí)，若不是標(biāo)準(zhǔn)形式的，先化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再確定焦點(diǎn)的位置，進(jìn)而確定橢圓的類型2焦點(diǎn)位置不確定的要分類討論，找準(zhǔn)a與b，正確利用a2b2c2求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)要注意長軸長、短軸長、焦距不是a、b、c，而應(yīng)是a、b、c的兩倍跟蹤探究1.曲線1與曲線1(k9)的()A長軸長相等B短軸長相等C焦距相等 D離心率相等解析

4、：分別求出兩橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦距，即可判斷曲線1的焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為10，短軸長為6，離心率為，焦距為8.曲線1(k0)的離心率e，求橢圓的長軸長、短軸長、焦點(diǎn)解析：橢圓方程可化為1(m0)因?yàn)閙0，所以必有m，橢圓焦點(diǎn)一定在x軸上，所以a，b，c2.又e，則，故m1，從而a1，b，c.因此橢圓的長軸長2a2，短軸長2b1，焦點(diǎn)坐標(biāo)F1，F(xiàn)2.探究二由幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程閱讀教材P46例5如圖，一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面(橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面)的一部分過對稱軸的截口BAC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1上，片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)F2上由橢圓一

5、個(gè)焦點(diǎn)F1發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)F2.已知BCF1F2，|F1B|2.8 cm，|F1F2|4.5 cm.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求截口BAC所在橢圓的方程(精確到0.1 cm)題型：由橢圓的幾何性質(zhì)待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方法步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)根據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b的方程(組)，求出a、b的值(3)寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2根據(jù)下列條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)橢圓過點(diǎn)(3,0)，離心率e；(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)，與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為8.解析(1)若焦點(diǎn)在x軸上，則a3，e，c.b2a2c2963.橢圓的標(biāo)

6、準(zhǔn)方程為1.若焦點(diǎn)在y軸上，則b3，e，解得a227.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.綜上可知，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.(2)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)如圖所示，A1FA2為等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，cb4，a2b2c232.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法技巧1.用幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程通常采用的方法是待定系數(shù)法2根據(jù)已知條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思路是“選標(biāo)準(zhǔn)，定參數(shù)”，即先明確焦點(diǎn)的位置或分類討論一般步驟是：求出a2，b2的值；確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；寫出標(biāo)準(zhǔn)方程3在求解a2，b2時(shí)常用方程(組)思想，通常由已知條件與關(guān)系式a2b2c2，e等構(gòu)造方

7、程(組)加以求解跟蹤探究3.已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，且經(jīng)過點(diǎn)A(2,0)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解析：若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)因?yàn)闄E圓過點(diǎn)A(2,0)，所以a2.因?yàn)?a22b，所以b1.所以方程為y21.若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)因?yàn)闄E圓過點(diǎn)A(2,0)，所以b2.因?yàn)?a22b8，所以a4.所以方程為1.綜上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21或1.探究三橢圓的離心率問題教材P48練習(xí)5題比較下列每組中橢圓的形狀，哪一個(gè)更圓，哪一個(gè)更扁？為什么？(1)9x2y236與1；(2)x29y236與1.解析：(1)在方程1中，a16，b12，c14，e1.在

8、方程1中，a24，b22，c22，e2.e1e2，9x2y236更扁，1更圓(2)在方程1中，a16，b12，c14，e1.在方程1中，a2，b2，c22，e2.e1e2，x29y236更扁，1更圓例3如圖，設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F1作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若F1PF2為等腰直角三角形，求橢圓的離心率解析設(shè)橢圓方程為1(ab0)F1(c,0)，P(c，yp)，代入橢圓方程得1，y，|PF1|F1F2|，即2c，又b2a2c2，2c，c22aca20，e22e10，又0eb0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是C上的點(diǎn)，PF2F1F2，PF1F230，則C的離心率為()A.

9、 B.C. D.解析：由PF2F1F2知P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c，代入橢圓方程求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，在RtPF1F2中，PF1F230，故|PF1|2|PF2|，由|PF1|PF2|2a，得2a，即3b22a2，e，故選D.答案：D授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第28頁課后小結(jié)(1)橢圓的幾何性質(zhì)分為兩類：一是與坐標(biāo)系無關(guān)的橢圓本身固有的性質(zhì)，如：長軸長、短軸長、焦距、離心率等；另一類是與坐標(biāo)系有關(guān)的性質(zhì)，如：頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)等在解題中要特別注意第二類性質(zhì)，應(yīng)根據(jù)橢圓方程的形式首先判斷出橢圓的焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上再進(jìn)行求解(2)通過橢圓方程可討論橢圓的簡單幾何性質(zhì)；反之，由橢圓的性質(zhì)也可以通過待定系數(shù)法求橢圓的方程(3)橢圓的離心率反映了橢圓的扁平程度，離心率從關(guān)于a，b，c的一個(gè)方程即可求得素養(yǎng)培優(yōu)1對橢圓的幾何性質(zhì)記憶不牢致誤已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其離心率為，長軸長為8.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程易錯(cuò)分析本題將長軸長誤認(rèn)為是a致誤考查直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算自我糾正由題意知2a8，a4.又離心率e ，c2，b2a2c216412，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方