20菱形(提高)知識講解

1、【學(xué)習(xí)目標】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性質(zhì)定理及判定定理.【要點梳理】 要點一、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.要點詮釋：菱形的定義的兩個要素：是平行四邊形.有一組鄰邊相等.即菱形是個平行四邊形，然后增加一對鄰邊相等這個特殊條件.要點二、菱形的性質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：1. 菱形的四條邊都相等；2. 菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.,對稱軸的交點就是對稱3. 菱形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（對角線所在的直線） 中心.要點詮釋：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對稱圖形，過中心的任意直線可將 菱形分成完全全等的

2、兩部分.（2） 菱形的面積由兩種計算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底X高；另一種是兩條對角線乘積的一半（即四個小直角三角形面積之和） 實際上，任何一個對角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對角線乘 積的一半.（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計算問 題.要點三、菱形的判定菱形的判定方法有三種：1. 定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2. 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3. 四條邊相等的四邊形是菱形 .后一種方要點詮釋：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個條件來判定菱形， 法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.【典型例題】類型一、菱形的性質(zhì) 1、如圖所示

3、，菱形 ABCD中, E、F分別是BC CD上的點，/ B=/ EAF= 60 ，/ BAE60,/ BAE = 18，則/ AEC = 78 .欲求/ CEF 的度數(shù)，只 要求出/ AEF的度數(shù)即可，由/ EAF = 60,結(jié)合已知條件易證 AEF為等邊三角形，從 而/ AEF = 60.【答案與解析】解：連接AC.四邊形ABCD是菱形， AB = BC, / ACB=/ ACFz又/ B= 60, ABC是等邊三角形./ BAC=/ ACB= 60, AB= AC/ACF=/ B= 60.又/ EAF=/ BAC= 60/ BAE=/ CAF ABEA ACF AE = AF. AEF為等

4、邊三角形./ AEF= 60 .又 / AEF+Z CEF=/ B+/ BAE / BAE= 18, / CEF= 18 .時，連接菱形較短的對角線得到兩個等邊三角形, 定要注意已知角與所求角之間的聯(lián)系.【總結(jié)升華】 當菱形有一個內(nèi)角為 60 有助于求相關(guān)角的度數(shù).在求角的度數(shù)時，12的菱形ABCD中，AE=1 , AF=2，若P為對角線)B. 22、（2016?龍巖）如圖，在周長為 BD上一動點，貝U EP+FP的最小值為（C. 3 D. 4A. 1F,則PF=PF ,由兩點之間線段最短可知當E、P、【思路點撥】作F點關(guān)于BD的對稱點F在一條直線上時，EP+FP有最小值，然后求得 EF，的長

5、度即可.【答案】C.【解析】解：作F點關(guān)于BD的對稱點F,貝y PF=PF；連接EF交BD于點P. ep+fp=ep+fp.由兩點之間線段最短可知：當E、P、F在一條直線上時，EP+FP的值最小，此時EP+FP=EP+FP=EF四邊形ABCD為菱形，周長為12, AB=BC=CD=DA=3 , AB / CD ,/ AF=2 , AE=1 , DF=AE=1 ,四邊形AEF，D是平行四邊形， EF =AD=3 . EP+FP的最小值為3.故選：C.E、P、F【總結(jié)升華】本題主要考查的是菱形的性質(zhì)、軸對稱-路徑最短問題，明確當 在一條直線上時 EP+FP有最小值是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】(

6、2015春？濰坊期中)如圖，在菱形 ABCD中，對角線AC、BD相交于點0, E是 AB的中點，如果 EO=2，求四邊形ABCD的周長.【答案】解：/四邊形ABCD為菱形， BO=DO，即0為BD的中點， 又 E是AB的中點， EO是 ABD的中位線， AD=2EO=2 X2=4,菱形 ABCD 的周長=4AD=4 4=16.類型二、菱形的判定t (S).AC邊的中點 D時，求證： ADE CDF ;ACFE是菱形.Rr 3、(2014春？鄭州校級月考)如圖，在等邊三角形 ABC中，BC=6cm，射線AG / BC, 點E從點A出發(fā)沿射線AG以Icm/s的速度運動，同時點 F從點B出發(fā)沿線射B

7、C以2cm/s 的速度運動，設(shè)運動時間為(1) 連接EF，當EF經(jīng)過(2) 當t為多少時，四邊形【思路點撥】(1)由題意得到 AD=CD，再由AG與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等 得到兩對角相等，利用 AAS即可得證；(2)若四邊形 ACFE是菱形，則有 CF=AC=AE=6，由E的速度求出E運動的時間即可. 【答案與解析】(1)證明：/ AG / BC , / EAD= / DCF , / AED= / DFC ,/ D為AC的中點， AD=CD ,在 ADE和 CDF中，ZEAD 二上 DCFZaed=Zdfc，,AD=CD ADE CDF ( AAS );(2)解：若四邊形ACFE是

8、菱形，則有 CF=AC=AE=6 , 則此時的時間t=6 =6 ( S).故答案為：6S.【總結(jié)升華】 此題考查了菱形的判定， 全等三角形的判定與性質(zhì)等知識, 的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】已知，在 ABC中，AB= AC= a , M為底邊BC上任意一點，過點 的平行線交 AC于P,交AB于Q.求四邊形AQMP勺周長；【答案】解：(1)/ MQ/ AP, MP/ AQ四邊形AQM是平行四邊形QMh AP又 AB= AC MP/ AQ/ 2=/ C PMC是等腰三角形，PMh PCQW PMh AP+ PC= AC= a四邊形AQMP勺周長為2aM位于BC的中點時，四邊形 AQMP菱形./ M位于

9、BC的中點時，易證 QBMfA PCM全等,Ql= PM,四邊形AQM為菱形弄清題意是解本題M分別作AB AC/ EAF的兩邊分別并證明你的結(jié)論.M位于BC的什么位置時，四邊形 AQM陸菱形？說明你的理由.【思路點撥】(1)由菱形的性質(zhì)可知 AB = BC,而/ ABC = 60。，即聯(lián)想到 ABC為等邊三 角形，/ BAC = 60 ，又/ EAF = 60，所以/ BAE =/ CAF，可證 BAE CAF，得到BE = CF,所以CE+CF = BC . (2)思路基本與(1)相同但結(jié)果有些變化.【答案與解析】解：(1)連接AC.在菱形 ABCD中, BC= AB= 4, AB/ CD/ABC= 60,. AB = AC= BC, / BAC=/ ACB= 60. /ACF= 60，即/ ACF=/ B./ EAF= 60,/ BAC= 60 ,/ BAE=/ CAF ABEA ACF(ASA), BE = CF. CE + CF= CEb BE= BC= 4.(2)CE CF= 4 .連接AC如圖所示./ BAC=/ EAF= 60,/ EAB=/ FAC/ ABC=/ ACD= 60,/ ABE=/ ACF= 120./ AB =