關(guān)于在數(shù)學(xué)教學(xué)中落實《數(shù)學(xué)課程標準（版）》10個核心概念的思考與實踐（二）

1、關(guān)于在數(shù)學(xué)教學(xué)中落實數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）10個核心概念的思考與實踐（二） 模型思想： 什么是模型？ 辭海中這樣解釋：與原型相對，研究對象的替代物。原型即客觀存在的研究對象；模型，則是與原型相似的替代物。 張奠宙教授認為： “廣義地講，數(shù)學(xué)中各種基本概念和基本算法，都可以叫做數(shù)學(xué)模型。加減乘除都有各自的現(xiàn)實原型，它們都是以各自相應(yīng)的現(xiàn)實原型作為背景抽象出來的。 狹義的解釋，只有那些反映特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)和數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)才叫做數(shù)學(xué)模型。 例如，平均分派物品的數(shù)學(xué)模型是分數(shù)；元角分的計算模型是小數(shù)的運算；500人的學(xué)校里一定有兩個人一起過生日，其數(shù)學(xué)模型就是抽屜原理。 數(shù)學(xué)模型（用數(shù)

2、學(xué)的語言表述概念、描述規(guī)律，既簡潔又準確，這就是人們通常所說的數(shù)學(xué)模型。）是溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的橋梁。數(shù)學(xué)得到的一些結(jié)果要應(yīng)用于現(xiàn)實世界，要通過數(shù)學(xué)模型。小學(xué)階段有兩個典型的模型：一個是“總量=部分+部分”，另一個是“路程=速度時間”或“總價=單價數(shù)量”。其他的模型都是在這兩個基礎(chǔ)上變化的。 如“植樹問題”中，以“植樹問題”為現(xiàn)實原型引出普遍性的教學(xué)模型分隔問題，然后利用這一模型去解決各種新的實際問題，如路燈問題、排隊問題、鋸樹問題、爬樓梯問題等。對于上面提到的問題又可以區(qū)分為三種不同的情況，就植樹問題而言就是“兩端都種”、“只種一端”和“兩端都不種”。 如果學(xué)生未能清楚地認識到路燈問題、排隊

3、問題、爬樓梯問題等與植樹問題有著相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即可以被歸結(jié)為同一個教學(xué)模型，那么對于他們來講究竟屬于“植樹問題”中的哪種情況是毫無意義的。 如何能夠通過圖形或符號的適當應(yīng)用幫助學(xué)生很好地建構(gòu)起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型才是更為重要的部分?？梢詮暮唵蔚膯栴}入手，通過擺一擺、畫一畫等方法去嘗試尋找規(guī)律，然后再驗證，從而理解“間隔”與“樹”之間存在著一一對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，從而抽象出數(shù)學(xué)模型。而所得出的三種類型（“兩端都種”“只種一端”和“兩端都不種”）的計算方法不應(yīng)該被看成是某種死記硬背的規(guī)律或是法則，而在面對新的類似的問題的時候主要應(yīng)發(fā)揮一種“認知基礎(chǔ)”的作用，通過對數(shù)學(xué)模型的理解自覺地發(fā)現(xiàn)和運用恰當?shù)姆椒ā?/p>

4、 建立數(shù)學(xué)模型的過程，其實是“數(shù)學(xué)化”的過程。 數(shù)學(xué)在本質(zhì)上就是在不斷的抽象、概括、模式化的過程中發(fā)展和豐富起來的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有深入到“模型”“建?！钡囊饬x上，才是一種真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。這種“深入”，就小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，具有鮮明的階段性、初始性特點。它更多地是指用數(shù)學(xué)建模的思想和精神來指導(dǎo)著數(shù)學(xué)教學(xué)，“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與運用的過程，進而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)的理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展”。在此基礎(chǔ)上，初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。 對學(xué)生“建?！币庾R的培養(yǎng)和“建?！狈椒ǖ闹笇?dǎo)，并不能到了小學(xué)

5、高年級再考慮。要從低年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)開始就恰到好處地結(jié)合日常教學(xué)對學(xué)生進行“模型”及“模型意識”的滲透 、點化，讓學(xué)生在每一節(jié)課、每一個知識點的學(xué)習(xí)中都感受到“模型”的力量。 【教學(xué)片段1】 出示情境圖。 師：請同學(xué)們認真觀察這兩幅圖，說一說從圖上你看到了什么。 生：有5個小朋友在澆花，走了2個，剩下3個。 師：你真棒！誰再來說一說？ 生：原來有5個小朋友在澆花，走了2個小朋友，還剩下3個小朋友。 師：很好！你知道怎樣列式嗎？ 生：5-2=3。 （教師聽了滿意地點點頭，板書5-2=3。 接著教學(xué)減號及其讀法。） 【教學(xué)片段2】 出示情境圖（同上）。 師：誰來說一說第一幅圖，你看到了什么？ 生：從圖

6、中我看到了有5個小朋友在澆花。 師：第二幅圖呢？ 生：第二幅圖中有2個小朋友去提水了，剩下3個小朋友。 師：你能把兩幅圖的意思連起來說嗎？ 生：有5個小朋友在澆花，走了2個，還剩下3個。 師：同學(xué)們觀察得很仔細，也說得很好。你們能根據(jù)這兩幅圖的意思提一個數(shù)學(xué)問題嗎？ 生：有5個小朋友在澆花，走了2個，還剩幾個？ 生（齊）：3個。 師：對，大家能不能用圓片代替小朋友，將這一過程擺一擺呢？ （教師在行間指導(dǎo)學(xué)生擺圓片，并請一生將圓片擺在情境圖的下面。） 師：（結(jié)合情境圖和圓片說明）5個小朋友在澆花，走了2個，還剩3個；從5個圓片中拿走2個，還剩3個，都可以用同一個算式（學(xué)生齊接話：5-2=3）來表

7、示。（在圓片下板書：5-2=3。） 生齊讀：5減2等于3。 師：誰來說一說這里的5表示什么？2，3又表示什么呢？ 師：同學(xué)們說得真好！在生活中存在著許許多多這樣的數(shù)學(xué)問題，5-2=3還可以表示什么呢？請同桌互相說一說。 生1：有5瓶牛奶，喝掉2瓶，還剩3瓶。 生2：樹上有5只小鳥，飛走2只，還剩3只。 對比兩段教學(xué)，第一個片段，教師對教學(xué)的定位完全停留在知識傳授的層面上，“5-2=3”僅是一道題的解答算式而已。第二個片段，除了教學(xué)充分展開外，更主要的是滲透了初步的數(shù)學(xué)建模思想，訓(xùn)練的是學(xué)生抽象、概括、舉一反三的學(xué)習(xí)能力。這種訓(xùn)練并不是簡單、生硬地進行，而是和低年級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點相貼切由具體

8、、形象的實例開始，借助于操作予以內(nèi)化和強化，最后通過思維發(fā)散和聯(lián)想加以擴展和推廣，賦予“5-2=3”以更多的“模型”意義。 主持人： 社會不斷進步，科技不斷發(fā)展，小學(xué)生的認知水平也在不斷地提高，隨之而來的就是對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要求也在不斷提高。剛才，趙老師談出了自己對數(shù)學(xué)課程標準中10個核心概念的理解，我認為小學(xué)數(shù)學(xué)教育不單單是讓學(xué)生知道結(jié)果，為了促進學(xué)生的全面發(fā)展，我個人認為其中很重要的一點就是我們教師就要在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。能談一談你的具體做法和解決問題的策略嗎？ 高崇輝：謝謝您的提問，數(shù)學(xué)課程標準指出：“經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展合理推理能力和初步的

9、演繹推理能力，能有條理地闡述自己的觀點?！边@正是所謂的“授人以魚，不如授之以漁”。所以培養(yǎng)小學(xué)生的推理能力是至關(guān)重要的。如何培養(yǎng)學(xué)生的推理能力呢？下面結(jié)合自己的教學(xué)實踐簡單談一談自己是如何把推理能力的培養(yǎng)落實到數(shù)學(xué)課程標準的四個內(nèi)容領(lǐng)域之中的。 第一，在數(shù)與代數(shù)的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。 小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中安排了好多培養(yǎng)學(xué)生推理能力的素材，教師要抓住這些知識點的教學(xué)，提供豐富的典型的感性材料，通過學(xué)生自主探索、合作討論等形式，對簡單問題進行歸納、類比、猜想，在發(fā)現(xiàn)規(guī)律、概括意義、導(dǎo)出特性的過程中提高學(xué)生合情推理能力。同時，在運用規(guī)律、性質(zhì)、公式解決實際問題中，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

10、如在“三位數(shù)乘兩位數(shù)”計算教學(xué)中，我設(shè)計了一道這樣的開放性練習(xí)題，出示算式1411=154、5111=561、3511=385、6311=693，然后向?qū)W生詢問：“你發(fā)現(xiàn)了什么？能把你的發(fā)現(xiàn)說給大家聽一聽嗎？” 這時學(xué)生都開動腦筋，仔細觀察，認真思考，有的學(xué)生就說都是一個兩位數(shù)乘11，積是一個三位數(shù)，原來兩位數(shù)的十位數(shù)字作為積的百位數(shù)字，原來兩位數(shù)的個位數(shù)字作為積的個位數(shù)字，這個兩位數(shù)的數(shù)字和作為積的十位數(shù)字。 還有的學(xué)生認為這種說法不簡練并總結(jié)出了自己的發(fā)現(xiàn)，原來的兩位數(shù)一拉，作為積的百位數(shù)字和個位數(shù)字，十位數(shù)字是原來兩位數(shù)的數(shù)字和。 接著，我進一步追問，你們能驗證一下7411=814，看看

11、原來的猜想還成立嗎？如果再繼續(xù)驗證，結(jié)論還仍然成立嗎？ 你能不能證明12311=1353是正確的嗎？ 這里讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、歸納、證明的過程，是既有合情推理，又有演繹推理的過程。 又如，學(xué)生學(xué)習(xí)了百以內(nèi)的減法之后，我設(shè)計了這樣一個數(shù)學(xué)游戲：魔術(shù)大師教你變魔術(shù)，首先想一個兩位數(shù)如63。接著，由63變成下面一系列算式，63-36=27，72-27=45， 54-45=9，90-9=81，81-18=63，63-36=27。最后，給學(xué)生提出了這樣的一個問題：“你發(fā)現(xiàn)了什么？你也想一個兩位數(shù)，試一試。”這就要求學(xué)生認真觀察魔術(shù)大師寫出的一系列算式有什么特點。 孩子們在想出兩位數(shù)，經(jīng)過一系列的計算驗

12、證后總結(jié)出結(jié)論：交換個位與十位上數(shù)字后再相減，得到差，將差的個位與十位上的數(shù)字再進行交換后相減最后總會出現(xiàn)第一次的算式。這種游戲，不僅練習(xí)了百以內(nèi)的減法，同時培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力。 在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，我們也要重視學(xué)生推理能力的培養(yǎng)。因為，它既能提高課堂效率，增加課堂教學(xué)的趣味性，又能使學(xué)生在學(xué)到知識的同時，學(xué)會如何解決問題。一舉多得，何樂而不為呢？ 第二，在圖形與幾何的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。 在空間與圖形這部分內(nèi)容中，在研究圖形性質(zhì)時，通過“看”“擺”“拼”“折”“畫”等活動，感知圖形的性質(zhì)，得出一些描述性的結(jié)論。在“空間與幾何”的教學(xué)中，教師要組織學(xué)生實踐操作，讓學(xué)生參與推理的全

13、過程，引導(dǎo)學(xué)生的思維由直觀向抽象轉(zhuǎn)化，使學(xué)生從個別特殊的事物中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并進行歸納。 如教學(xué)“三角形內(nèi)角和”時，教師要求學(xué)生分別準備若干個直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的紙板。教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生動手把各個三角形的三個角折拼、剪拼在一起，并用量角器量各種操作結(jié)果，再引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析操作結(jié)果，最后進行歸納。由于直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形代表了三角形的全部類型，所以根據(jù)完全歸納法得出結(jié)論：三角形內(nèi)角和是180度。在教學(xué)中通過實踐操作、觀察分析、驗證歸納等活動，讓學(xué)生參與推理的全過程，這不僅是給學(xué)生關(guān)于“三角形內(nèi)角和”準確完整的答案，更重要的是使學(xué)生懂得了準確完整的答案是怎樣獲得的，從中受

14、到數(shù)學(xué)思維方式的訓(xùn)練。 又如在教學(xué)觀察物體一課時由6個正方體搭成一個幾何體，從正面看和左面看的圖形分別為多少內(nèi)容。 你能擺出這個幾何體嗎？學(xué)生在實際操作的過程中要不斷地觀察、比較、分析、推理，才能得到正確的答案。這個過程不僅發(fā)展了學(xué)生的合情推理能力，而且有助于學(xué)生空間觀念的形成。 在教學(xué)三角形三邊關(guān)系的時候，我設(shè)計了這樣一個教學(xué)環(huán)節(jié)：孩子們，你們都知道籃球明星姚明，誰來猜一猜他的腿有多長，孩子們紛紛舉起小手，大聲說著自己猜測的數(shù)據(jù)，誰也不甘示弱。然后我出示姚明的腿長1.28米，再問：同學(xué)們，他邁一步的長度是3米，可能嗎？學(xué)生在對“三角形三邊關(guān)系”有了很好的理解之后，會得到這樣的結(jié)論：不可能。這

15、又是進行合情推理得到的結(jié)果，發(fā)展了學(xué)生的能力、讓學(xué)生體驗到了成功的喜悅。 第三，在統(tǒng)計與概率的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。 統(tǒng)計與概率中的推理是合情推理，是一種可能性的推理，與其他推理不同的是，由統(tǒng)計推理得到的結(jié)論無法用邏輯推理的方法去檢驗，只有靠實踐來證實。因此，統(tǒng)計與概率的教學(xué)要重視學(xué)生經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、作出推斷和決策的全過程。 例如：為籌備畢業(yè)生典禮，準備什么樣的禮物給畢業(yè)學(xué)生才能最受歡迎呢？（小禮品、書、筆、課外書）首先應(yīng)由學(xué)生對全班同學(xué)喜歡什么樣的禮物進行調(diào)查，然后把調(diào)查所得到的結(jié)果整理成數(shù)據(jù)，并進行比較，再根據(jù)處理后的數(shù)據(jù)作出決策，確定應(yīng)該準備什么禮物。這個過程是合

16、情推理，其結(jié)果能使絕大多數(shù)同學(xué)滿意。例如：學(xué)習(xí)可能性這部分知識時，小明知道隨機地拋擲一枚均勻硬幣，落地后；國徽朝上和朝下的概率相等。可是小明做了100次實驗，發(fā)現(xiàn)其中51次國徽朝上，49次國徽朝下。因此，他認為這枚硬幣不均勻，請學(xué)生說說自己的觀點和理由。 統(tǒng)計部分從生活實際入手，在講清基本概念和方法的前提下，讓學(xué)生親身參與，經(jīng)歷調(diào)查、收集、處理、分析的過程，動手制作設(shè)計各種統(tǒng)計報表，能夠分析出自己想要的結(jié)論，即便結(jié)果不客觀也沒關(guān)系，因為這個過程有助于學(xué)生能根據(jù)需要在紛繁復(fù)雜的信息中作出選擇、判斷、決策，從而培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力。 第四，在綜合與實踐的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。 教師在進行數(shù)學(xué)

17、教學(xué)活動時，如果只以教材的內(nèi)容為素材對學(xué)生的合情推理能力進行培養(yǎng)，毫無疑問，這樣的教學(xué)活動能促進學(xué)生的合情推理能力的發(fā)展。但是，除了學(xué)校的教育教學(xué)活動（以教材內(nèi)容為素材）以外，還有很多活動也能有效地發(fā)展學(xué)生的推理能力。 例如，人們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常須要作出判斷和推理，如，我們往某同學(xué)家里打電話，若連續(xù)打過幾次后都無人接聽，則常常由此作出“這位同學(xué)家里無人”的判斷。這種判斷隱含了反證法的思想。某家電商場介紹某種品牌的電腦時說：“牌電腦不但外形設(shè)計科學(xué)，而且使用壽命長久?！币晃幌M者從柜臺邊拿起一張當日保修后的電腦記錄單，對營業(yè)員說：“你說的話不真實。”這就是用舉“反例”的方式證明結(jié)論不成立。許多游戲中也隱含著推理的要求。所以，要進一步拓寬發(fā)展學(xué)生推理能力的渠道，使學(xué)生感受到生活、活動中有“數(shù)學(xué)”，有“推理”，養(yǎng)成善于觀察、猜測、分析、歸納推理的好習(xí)慣。 在實踐活動這部分內(nèi)容中，同樣也可以培養(yǎng)學(xué)生的