高一數(shù)學培優(yōu)教材共六講

1、高高高一年級數(shù)學培優(yōu)教材 第一講 函數(shù)的性質(zhì)一、 基本性質(zhì)：1. 函數(shù)圖像的對稱性（1） 奇函數(shù)與偶函數(shù)：奇函數(shù)圖像關(guān)于坐標原點對稱，對于任意，都有成立；偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，對于任意，都有成立。（2） 原函數(shù)與其反函數(shù)：原函數(shù)與其反函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。 若某一函數(shù)與其反函數(shù)表示同一函數(shù)時，那么此函數(shù)的圖像就關(guān)于直線對稱。（3） 若函數(shù)滿足，則的圖像就關(guān)于直線對稱；若函數(shù)滿足，則的圖像就關(guān)于點對稱。（4） 互對稱知識：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。2函數(shù)的單調(diào)性 函數(shù)的單調(diào)性是針對其定義域的某個子區(qū)間而言的。判斷一個函數(shù)的單調(diào)性一般采用定義法、導數(shù)法或借助其他函數(shù)結(jié)合單調(diào)性的性質(zhì)（如復合函數(shù)的

2、單調(diào)性） 特別提示：函數(shù)的圖像和單調(diào)區(qū)間。3函數(shù)的周期性 對于函數(shù)，若存在一個非零常數(shù)，使得當為定義域中的每一個值時，都有成立，則稱是周期函數(shù)，稱為該函數(shù)的一個周期。若在所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，就稱其為最小正周期。（1） 若是的周期，那么也是它的周期。（2） 若是周期為的函數(shù)，則是周期為的周期函數(shù)。（3） 若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則是周期為的函數(shù)。（4） 若函數(shù)滿足，則是周期為的函數(shù)。4高斯函數(shù)對于任意實數(shù)，我們記不超過的最大整數(shù)為，通常稱函數(shù)為取整函數(shù)。又稱高斯函數(shù)。又記，則函數(shù)稱為小數(shù)部分函數(shù)，它表示的是的小數(shù)部分。高斯函數(shù)的常用性質(zhì)：（1） 對任意 （2） 對任意，函數(shù)的值域為

3、（3） 高斯函數(shù)是一個不減函數(shù)，即對于任意（4） 若，后一個式子表明是周期為1的函數(shù)。（5） 若 （6） 若二、綜合應用例1：設(shè)是r上的奇函數(shù)，求的值。例2：設(shè)都是定義在r上的奇函數(shù)，在區(qū)間上的最大值為5，求上的最小值。例3：已知_例4：設(shè)均為實數(shù)，試求當變化時，函數(shù)的最小值。例5：解方程：（1） （2）例6：已知定義在r上的函數(shù)滿足，當，；（1） 求證：為奇函數(shù)； （2）求在上的最值；（3）當不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。例7：證明：對于一切大于1的自然數(shù)，恒有例8：設(shè)是定義在z上的一個實值函數(shù)，滿足，求證：是周期為4的周期函數(shù)。 例9：給定實數(shù)，定義為不大于x的最大整數(shù)，則下列結(jié)論中不正

4、確的序號是 （ ）例10：求方程的實根個數(shù)。三、 強化訓練：1. 已知（a、b為實數(shù)），且，求的值。2. 若方程有唯一解，求a的所有取值。3. 已知函數(shù)定義在非負整數(shù)集上，且對任意正整數(shù)x，都有。若，求的值。4. 函數(shù)定義在實數(shù)集r上，且對一切實數(shù)x滿足等式設(shè)的一個根是，記中的根的個數(shù)是n，求n的最小值。5. 若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，且關(guān)于點對稱，求證是周期函數(shù)。6. 求數(shù)列的最小項，其中7. 已知的解集為，解不等式8. 設(shè)是定義在上的增函數(shù)，對任意，滿足。（1）求證：當（2）若，解不等式9. 已知，求滿足的的值。10. 求和：參考答案：例1：周期為4，例2：記，則為奇函數(shù)。在上的最小值為-

5、1.例3：在上為增函數(shù)，例4：，換元后研究函數(shù)的單調(diào)性當時；當時例5：（1）構(gòu)造，利用單調(diào)性得：（2） 構(gòu)造遞增函數(shù)，利用解得：例6：（2） （3）例7：構(gòu)造，證明是遞增數(shù)列，故例8：令得例9：例10： （1）當時，代入原方程解得 （2）當時（矛盾） （3）當時 （4）當時強化訓練：1 3234 4015 略6 最小項為789 時；時10 第二講 二次函數(shù)二、 基礎(chǔ)知識：1 二次函數(shù)的解析式（1）一般式：（2）頂點式：，頂點為（3）兩根式：（4）三點式：2二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)（1）的圖像是一條拋物線，頂點坐標是，對稱軸方程為，開口與有關(guān)。（2）單調(diào)性：當時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；時相反。

6、（3）奇偶性：當時，為偶函數(shù)；若對恒成立，則為的對稱軸。（4）最值：當時，的最值為，當時，的最值可從中選?。划敃r，的最值可從中選取。常依軸與區(qū)間的位置分類討論。3三個二次之間的關(guān)聯(lián)及根的分布理論：二次方程的區(qū)間根問題，一般情況需要從三個方面考慮：判別式、區(qū)間端點函數(shù)值的符號；對稱軸與區(qū)間端點的關(guān)系。三、 綜合應用：例1：已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過三點，求的解析式。例2：已知，若時，恒成立，求的取值范圍。例3：集合，若，求實數(shù)的取值范圍。例4：設(shè)滿足條件：（1）當時，（2）當， （3）在r上的最小值為0。求的解析式；求最大的使得存在，只要就有。例5：求實數(shù)的取值范圍，使得對于任意實數(shù)和任意實數(shù)，恒有

7、。例6：已知函數(shù)，方程的兩根是，又若，試比較的大小。例7：設(shè),方程的兩個根滿足，（1）當時，證明；（2）設(shè)的圖像關(guān)于直線對稱，證明四、 強化訓練：1 二次函數(shù)滿足，且又兩個實根，則等于（ ）a . 0 b 3 c. 6 d. 122已知，并且是方程的兩根，則實數(shù)的大小關(guān)系可能是（ ） 3已知函數(shù)上有最大值3，最小值2，則的取值范圍是（ ）4設(shè)函數(shù)，若則的值的符號是_5已知對于一切實數(shù)都成立，則_6已知的值域是r，則實數(shù)的取值范圍是_7函數(shù)的遞增區(qū)間為，則實數(shù)的值是_8設(shè)實數(shù)滿足，則實數(shù)_9若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求區(qū)間。10設(shè),方程的兩個根，若，設(shè)的對稱軸為，求證11已知，求的最小

8、值的表達式，并求的最大值。12是否存在二次函數(shù)，同時滿足： （1）； （2）對于一切都有？若存在，寫出滿足條件的函數(shù)的解析式；若不存在，說明理由。13設(shè),當時，求證：適合的最小實數(shù)a的值為8。14若，求證：方程，（1）有兩個異號實根；（2）正根必小于，負根必大于參考答案：例1：例2： ； 其中例3：，例4：（1）由得：；（2）結(jié)合圖像可以知道：為方程的兩根，從而例5：設(shè)，原不等式化為：恒成立記，則 ， ， 例6：提示： 例7：方法同例6，本題使97年全國高考理可題。強化訓練：1c 2. a 3. c 4. 正 5. 6. 7. 8. 9分析對稱軸：（1）， （2）無解（3）10構(gòu)造可以推出結(jié)論

9、。11同例2解法1213，所以a的最小值為814略福鼎一中高一年段數(shù)學培優(yōu)教材 高一數(shù)學備課組第三講 三角恒等變換一、 基礎(chǔ)知識：1 三角的恒等變化：要注意公式間的內(nèi)在聯(lián)系和特點，審題時要善于觀察差異，尋找聯(lián)系，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化；要熟悉公式的正用和、逆用和變形應用。化簡三角函數(shù)式可以采用“切化弦”來減少函數(shù)種類，采用“配方法”和“降次公式”來逐步降低各項次數(shù)，并設(shè)法去分母、去根號、利用特殊值來向目標靠攏。 2 常見的變形公式： 3 通過對角的變換推出萬能公式和半角公式以及和差與積的互化公式。如常見的角的拆并有等二、 綜合應用：例1：已知角的終邊上一點，則的弧度數(shù)為_ 已知，則_ 函數(shù)的最大值是_ 化簡

10、_例2：已知，求的取值范圍。例3：求的值。例4：已知其中是適合的常數(shù)，試問取何值時，的值恒為定值？例5：求值：例6：已知；（1）求證：；（2）求的最大值，并求當取得最大值時的值。例7：已知，且，求證：例8：已知當時，不等式恒成立，求的取值范圍。三、 強化練習：1.若角滿足條件，則在（ ）a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限2.以下命題正確的是( )（a）都是第一象限角，若，則 （b）都是第二象限角，若，則 （c）都是第三象限角，若，則 （d）都是第四象限角，若，則3.若，則等于 （a） （b） （c） （d）4.在（0，）內(nèi)，使成立的的取值范圍是 （a）（，） （b）（，）

11、（c）（，） （d）（，）5.設(shè)是一個鈍角三角形的兩個銳角，則下列四個不等式中不正確的是 （a） （b） （c） （d）6.已知，則的值為( ) a0 b1 c. d以上都不對7.在abc中，已知a、b、c成等差數(shù)列，則_8.已知點p(，tan)在第一象限，則在0，2)內(nèi)的取值范圍是_9.的值為 10.已知，求的值。11.已知cos(-)=,sin(-)= ,0,求cos(+)之值.12.求值：13.是否存在銳角，使得；同時成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由。參考答案：例1：; ; ; 例2：法1：法2：例3：多種方法。（構(gòu)造對偶式）設(shè)例4：恒為定值，考慮到（提示：本題也可以用賦值法：

12、令）例5：1 （本題要總結(jié)公式 例6：（2）例7：例8：令則，令則 故原不等式化為強化練習： 1. b 2. d 3. c 4. c 5. d 6. a 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 存在福鼎一中高一年段數(shù)學培優(yōu)教材 高一數(shù)學備課組第四講 三角函數(shù)四、 基礎(chǔ)知識：1 函數(shù)的對稱軸方程為，對稱中心坐標是；的對稱軸方程為，對稱中心坐標是的對稱中心坐標是，它不是軸對稱圖形。2 求三角函數(shù)最值的常用方法： 通過適當?shù)娜亲儞Q，把所求的三角式化為的形式，再利用正弦函數(shù)的有界性求其最值。 把所求的問題轉(zhuǎn)化為給定區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問題。 對于某些分式型的含三角函數(shù)的式子的最值問題（如

13、）可利用正弦函數(shù)的有界性來求。 利用函數(shù)的單調(diào)性求。五、 綜合應用：1 已知函數(shù)是以5為最小正周期的奇函數(shù)，且，則對銳角，當時，_2 已知則的最大值是_3 函數(shù)取最小值的的集合為_4 函數(shù)的最大值和最小值的和為_.5 函數(shù)的最大值為_6 函數(shù)的最大值是_7 函數(shù)有最大值2，最小值，求的最小正周期。8 已知函數(shù)的定義域是，值域是，求的值。9 已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，求的值。10 已知是常數(shù)，且的最小正周期為2，并且當時，取最大值為2。 （1）求表達式； （2）在區(qū)間上是否存在的圖象的對稱軸？若存在，求出其方程；若不存在，說明理由。11 已知函數(shù)是r上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點對稱，且在區(qū)間上是單

14、調(diào)函數(shù)，求的值。12已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線xyo-1對稱，當時，函數(shù)，其圖象如圖所示.（1）求函數(shù)在的表達式；（2）求方程的解.三、強化訓練：1有四個函數(shù)，其中周期為，且在上是增函數(shù)的函數(shù)個數(shù)是（ ） 2設(shè)函數(shù)（為實常數(shù)）在區(qū)間上的最小值是,則的值是（ ） 3的圖像中一條對稱軸方程是（ ）4定義在r上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x) = f (x+2)，當x3，4時，f(x) = x2，則（ ）af (sin) f (cos) cf (sin1) f (cos)5將函數(shù)y=f(x)sinx的圖象向右平移個單位后，再作關(guān)于x軸對稱的曲線，得到函數(shù) y=12sin2x, 則f(x)是 （

15、 ） acosx b2cosxcsinxd2sinx 6曲線和直線在y軸右側(cè)的交點按橫坐標從小到大依 次記為p1，p2，p3，則|p2p4|等于 （ ） a b2 c3 d47設(shè)，恒有成立，且，則實數(shù)m的值為 a b c1或3 d3或18使函數(shù)是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)的的一個值是_9已知函數(shù)的最大值為，其最小正周期為。（）求實數(shù)a與的值。（）寫出曲線的對稱軸方程及其對稱中心的坐標。參考答案：例1：例2： 2例3：例4：例5：1例6：例7：例8：或例9：例10：（1） （2）的對稱方程為，由 故存在。例11：03高考天津卷例12：（1）當時，當時 強化練習：1 c 2 c 3 c 4 c 5 b

16、 6. a 7. d8. 9. （1） 。y的最小正周期t=。 =1。， a=1。（2）由（）知a=1，=1，。曲線y=f(x)的對稱軸方程為。對稱中心的坐標為。福鼎一中高一年段數(shù)學培優(yōu)教材 高一數(shù)學備課組第五講 平面向量（1）六、 基礎(chǔ)知識：1向量的運算： 加法：設(shè)則 減法：設(shè)則 實數(shù)與向量的積： 向量與的關(guān)系； 設(shè)則 向量的數(shù)量積： 是與的夾角）； 設(shè)則2向量的關(guān)系： 不等關(guān)系： （注意等號的條件） 設(shè) 則 3平面向量的基本定理：如果是同一平面內(nèi)的不共線向量，那么對于這個平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使。 相關(guān)結(jié)論：如果是同一平面內(nèi)的不共線向量，且，則 點o、a、b、c在同一平面內(nèi)，

17、a、b、c共線的充要條件是：4常用公式： 中，m為bc邊的中點，g為重心， 則七、 綜合應用：例1：求證：三角形的三條中線交于一點。例2：設(shè)外心為o，取點m，使，求證m是的垂心，且此三角形的外心、垂心、重心在一條直線上。例3：在三角形abc中，點m分所成的比為2，點n分所成的比為，設(shè)線段cm和bn交于點p，直線ap和bc的交點為q，且，用表示例4：已知o為內(nèi)一點，設(shè)且，試用表示。例5：（1）已知三個頂點a、b、c及平面內(nèi)一點p，若，則點p在（ ）a 內(nèi)部 b 外部 c 在直線ab上 d 在直線ac上（2）o是平面上一 定點，a、b、c是平面上不共線的三個點，動點p滿足 則p的軌跡一定通過abc

18、的（ ）a外心b內(nèi)心c重心d垂心（3）在四邊形abcd中，設(shè)，若，則該四邊形一定是（ ） a 矩形 b 正方形 c 菱形 d等腰梯形三、強化訓練：1 已知a、b、c三點在同一直線上，o在直線外，且存在實數(shù)，使成立，求點c分所成的比及的值。2 若p分有向線段所成的比為，則有。3 已知，當為何值時：（1）與平行？平行時是否同向？（2）與垂直？4如圖，在平行四邊形abcd中,設(shè)以為基底表示5 設(shè)o為內(nèi)一點，且滿足，求6中，m是ab的中點，e是cm的中點，延長ae交bc于f，作mhaf，求證：bh= hf =fc。7如圖，在平面斜坐標系，平面上任一點p關(guān)于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：若，其中分別為與

19、x軸y軸同方向的單位向量，則p點斜坐標為.若p點斜坐標為（2，2），求p到o的距離|po|；8已知向量的對應關(guān)系用表示。（1）證明：對任意向量及常數(shù)，恒有成立； （2）設(shè)，求向量的 坐標。 （3）求使為常數(shù))的向量的坐標。參考答案：例1：略例2：三點共線。說明：外心為o，取點m，使成立的充要條件是 m為的垂心abco例3：例4： 如圖建立直角坐標系： 設(shè) 例5：（1）d （2）b （3）a 強化練習：1 2略3（1）反向（2）45 367（2）（3）福鼎一中高一年段數(shù)學培優(yōu)教材 高一數(shù)學備課組第六講 平面向量（2）例1：（1）點p是的外心，且，則角c的大小為_（2）在中，其中g(shù)為的重心，則的形

20、狀是_（3）設(shè)的外心為o，h是它的垂心，求證：（4）已知o為所在平面內(nèi)的一點，且滿足，求證：點o是的垂心。（5）o為所在平面內(nèi)的一點，則o為的垂心的充要條件是：例2：已知向量，且與之間有關(guān)系式：，其中k0 （1）證明： ；（2）試用k表示 例3：已知平面上的三個向量的模均為，它們相互之間的夾角都是，（1） 求證：（2）若，求的取值范圍。例4：已知向量，存在實數(shù)，使得向量且，（1）試將表示為得函數(shù)；（2）求得最小值。例5已知向量 （1）向量是否共線？（2）求函數(shù)的最大值。例6：在rtabc中，已知， bc=a，若長為2a的線段pq以點a為中點，問的夾角取何值時的值最大？并求出這個最大值.強化訓練：1已知滿足，則的形狀是（ ）a 等邊三角形