分塊矩陣的初等變換及應用_百度文庫.

1、十研究創(chuàng)新題解：1.分塊矩陣的初等變換分塊矩陣的初等變換與初等矩陣吳云在1997年8月的工科數學上的分塊矩陣的初等變換一文中提到定義1分塊矩陣的行（列初等變換是指：（1）交換兩行（列的位置；（2） 第1行（列的各個元素分別左乘（右乘該行（列的一個.階.|左 （右保秩因子H ；（3）第1行（列的各個元素分別左乘（右乘一個階.1矩陣K后加到 第J行（A）定義2對應于分塊矩陣的初等分塊矩陣是指：iE KIt*bPP瓦j*（1）m）=耳（E沖iLO E.B |E O 1 = -Hf EH（2）H 丨=d或“）=h1殆其中H為第i行(列的一個左(右保秩因子；I I瓦XI*:I*(1人丿M)耳 1眄K*i

2、h*IIill(2或W戲M=(弘初等分塊矩陣與通常的初等矩陣類似，但由于矩陣乘法不滿足交換律，故需要分為左、右兩 種.直接驗算可得：定理1(1交換的第i行與第j行，相當于左乘一個m階初等分塊矩陣,其中.中的元素為h (i階單位矩陣，為h (j階單位矩陣，當fMi且fMj時，-為h ( f階單位矩陣；交換. 的第i列與第j列相當于右乘 一個n階初等分塊矩陣，其中.為1 (i階單位矩陣，為1 (j階單位矩陣，當工 i且fMj時，為1 ( f階單位矩陣；(2的第i行的每一個元素左乘一個矩陣H相當于左乘一個m階分塊矩陣尸中H為h ( i階方陣；的第i列的每一個元素右乘一個矩陣H,相當于舛仃；右乘一個n

3、階初等到變換矩陣町(n 其中H為1 ( i階方陣；(3的第j行的每個元素分別左乘一個h ( iXh ( j矩陣K后加到第i行，相當于左乘一個初等分塊矩陣-;第j列的每一個元素分別右乘1( j X1 ( i矩陣K后加到第i列，相當于右乘.定理2設A為方陣，則分塊矩陣施行第一種行初等變換后，對應的行列式為其中h(i,j=h(ih(j-l+h(i+l+l(i,j=l(ih(j-l+l(i+l+h(jh(i+h(i+j+h(j-l,+l(jl(i+l(i+j+l (j-l,施行第二種初等變換后 式的值不變.,對應的行列式為| H | | A |;施行第三種初等變換后，對應的行列證明：丹卜叫皿7 3 訂

4、沖顯然成立下證/ 所在的第1行逐次與它相鄰的行交換，移至 前,共進行h ( i-1+ h ( i +1+ h ( j -1次交換兩行，第2行逐次與它相鄰的行交換，移至前，同樣進行r相同次交換兩行，依此類推，把-所在的行移至所在的行前，共進行h ( i h ( i -1+ h ( i +1+ h ( j -1次交換兩行，然后把移至適當的位置，同理共進行h ( j h ( i + h ( i +1+ h ( j -1次交換兩行，所以交換兩行的總次數為h；同理川3所以有A巴M川川艸或制定理3分塊矩陣進行初等變換后，秩不變.證明：對于(1,相當于對 進行若干次行(列的交換，故命題成立；對于(2,根據定

5、義1,顯然成立；對于(3,相當于進行若干次把行(列乘以一個倍數后加到另一行(列,故命題成立定理4(1設A , E的行數均為m,則矩陣方程AX =B ,當；(A = - -( A , B =m時有唯一解，當 ( A = ( A , B m時有無窮多解，當( A ( A, B時無解；(2設A , B的列數均為n ,則矩陣方程XA =B ,當-(A =入品：；打：涇二* 時有唯一解，當：(A= n有無窮多解，當.(A ； 時無解證明：(1 設 ；(A = -( A, B m ,則存在可逆矩陣P , Q,使耳 H&= P 一 QO O其中，為f階單位矩陣為f階方陣，設則有:=B所以為AX =B的解，其

6、中 ,是任意的當苗朋(A = ( A, B =血時，A = P ( OQ , B =(呵 巧,顯然，AX =B有唯一解：-;當 ( A ( A , B時，AX =B無解同理可證(2成立(當( A = 蟲小( ,- 1n時,X=P定義3對于任意的u , v ,如果：（=.（,=巾加（ ,人，則稱為極大元.定理5分塊矩陣可以用分塊矩陣的初等變換對角化的充要條件是它有一個極大元證明：充分性不妨設為極大元（否則可以通過第一種分塊矩陣的初等變換把極大元移 到第一行，第一列交叉位置由定理4,存在可逆矩陣P , Q,使/ A1令K =- pLf凡Pl其中幾,州為適當階數的任意矩陣.則ra atr/ K“I+

7、雞=pL4人所以4第一行左乘K加到第二行,得_同理,令KAi=-/A.1 胡0則L K+ I =0,所以的第一列右乘K后加到第二列（如先進行列變換,再進行行變換,得 + 1 ,故兩種運算順序結果相同必要性反證法，不妨設（ 壬涇烝（:I或:（ ,則由定理4,H =- 4或I 丁 =- 1無解,從而不存在K ,使 對角化.同理,當mnk （兒|工巾M （斗，人:或巾皿（叫，人工工曲減（人時,不存在使-A K =A 或- =*% 成立.定理5表明：并不是所有的2X2分塊矩陣都可以用分塊矩陣初等變換對角化，如果分塊矩陣沒有極大元，則需分得更細，才能對角化.定理6矩陣的一種分塊方法：可以用分塊矩陣的初等

8、變換對角化的充分條件是存在s -1行且存在t -1列有極大元.證明：用數學歸納法.當s =t =1時,只有一塊，命題成立；設s We, t(0其中B=(1從而求得，C=，D=i00、010f-1 G .00L，c10 - ij1B然后對A進行廣義初等變換，即:f fi D Ef E RDA0 ;0 C 0B 4 L ,C r ”k 0E0(B DF+Le o A-BJ DCL 1、0 E0d0i301024(1ai5fFgT -DC0a0-10- A = 000如果用其它方法來求解將會變得很繁瑣，用分塊矩陣的初等變換發(fā)來求解就顯的比 較簡單、利用分塊矩陣初等變換求行列式的值宋玉英在2002年0

9、4期的蘭州教育學院學報上的 用廣義初等變換”法求分塊矩陣”的逆矩陣一文中提到F A R例3設P=& 口丿是一個分塊方陣，其中a是r階可逆陣，求|P|.解：由推論及定理7的（3:若A與D可乘，則|P|=|AD-ACAB|;又若A與C可交換（即AC=CA,則|P|=|AD-CB|.例,其中 a（求|A|解：D =1 = C D由于A,C可交換，所以=|（ad-bcl|=（ad-bc例5設A,B,C和D是n階方陣試證明D證兩次利用定理4的（1,得A BC DD CD CJ=（-1）A Bn:n=（-1） （-1）B A=B /三、利用分塊矩陣的初等變換求矩陣的秩史永銓在2002年02期淮南師范學院學

10、報上的分塊矩陣初等變換及其應用一文中提到：矩陣的秩有以下初等性質設A與E分別是r Xs與p Xq矩陣，則：r (A + r (B并且當A (或B是方陣且非異時，或者C =0時上式的等號成立A B例6.設A是m Xn陣的非異順序主子陣,A 8則 rn = r (A + r (D - CA，B人 D 1 沖創(chuàng) H 1證：丫 屮仃丄 _ C d= a D CAlHA Bl A R 1而A是非異陣，由以上性質知r工_=_ C創(chuàng)r (A + r ( D考情解讀B例7.設n階方陣A =( Q 為反對稱矩陣 證明：r2必為偶數(1：對n用歸納法n =1,2是命題顯然成立設階數小于n時命題為真則對n階及對稱矩

11、陣A,將A分塊成4 C %A =，其中A =0不妨設引丄f01* C/ - 4_1 co -陰 J_ ff Di =_丿=r (A + r作函數圖象有兩種基本方法：一是描點法，二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換.C 4=2+ r ( D - BA C但D - B A C為階數比A低的反對稱矩陣，由歸納假設r ( D - BA C為偶數，故r (A為偶數.四、分塊矩陣的初等變換在矩陣分解中的應用例8設A =( a 是n階方陣,它的順序主子式全不為零證明：存在非異下三角形矩陣B與非異上三角形矩陣C,使A=BC證：對n用歸納法n =1時顯然成立心設當n -1時,結論成立,則對n ,將A分塊成A =-嘰有A ” 1 =B C其中B I C 分別是n -1階非異%由歸納假設對