湖南師大附中高三第5次月考數(shù)學(xué)文

1、湖南師大附中2013屆高三月考試卷(五)數(shù)學(xué)（文科）(考試范圍：高中文科數(shù)學(xué)全部內(nèi)容)一選擇題：本大題共9小題，每小題5分，共45分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1. 設(shè)集合， ，則= （ a ） a b c d【解析】利用數(shù)軸易知選a.2等差數(shù)列中，則 （ c ）a16 b21c20d31【解析】由，可求得.3.給出如下四個(gè)命題： 若“且”為假命題，則、均為假命題；若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為則三點(diǎn)共線; “xr，x211”的否定是 “xr，x211”; 在中，“”是“”的充要條件其中正確的命題的個(gè)數(shù)是 （ d ）a1 b 4 c 3 d2【解析】若“且”為假命題，則、至少有一

2、個(gè)為假命題，所以錯(cuò)；若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則數(shù)列為等差數(shù)列，所以對(duì)；“xr，x211”的否定是 “xr，x211，則雙曲線c的離心率e的取值范圍是 （ c ） a.(1，) b. (，+) c. (1，) d. (，+)【解析】聯(lián)立雙曲線漸近線和拋物線方程，消去y得：，由x0知，即，故，又e 1，所以1 e ，故選b.8.在約束條件下，若目標(biāo)函數(shù)的最大值不超過4，則實(shí)數(shù)的取值范圍 （ d ）a b c d 【解析】作出可行域，即知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值.由得9. 已知，實(shí)數(shù)a、b、c滿足0，且0abc，若實(shí)數(shù)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，那么下列不等式中，不可能成立的是 （ d ） aabbccdc

3、【解析】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)0，且，所以不可能成立.二填空題：本大題共7個(gè)小題，考生作答6小題，每小題5分，共30分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上（一）選做題：從下列兩題中任意選做一題，若兩題全做，則只按第9題記分10（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）極坐標(biāo)方程為的圓與參數(shù)方程為 的直線位置關(guān)系是_ _相交_.【解析】.圓心（0,1）到直線的距離小于半徑1.11（優(yōu)選法選做題）下列五個(gè)函數(shù)：，中，不是單峰函數(shù)的是_【解析】根據(jù)單峰函數(shù)的定義知是單峰函數(shù).（二）必做題（1116題）12定義運(yùn)算，復(fù)數(shù)z滿足則復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)為p_（2，-1） .【解析】設(shè)，則即，所以在復(fù)平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)為p（2，-1）.13已

4、知，若對(duì)，使，則的范圍 .【解析】若對(duì)，；使，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，由，得.314一個(gè)三棱錐的三視圖是三個(gè)直角三角形，如圖所示，則該三棱錐的外接球表面積為（ a ）42a 左視圖主視圖b c 俯視圖d【解析】由三視圖復(fù)原幾何體，幾何體是底面是直角三角形，一條側(cè)棱垂直底面直角頂點(diǎn)的三棱錐；把它擴(kuò)展為長方體，兩者有相同的外接球，它的對(duì)角線的長為球的直徑，即該三棱錐的外接球的表面積為：.15已知m是面積為1的abc內(nèi)的一點(diǎn)（不含邊界），若mbc，mca和mab的面積分別為，則的最小值是 3 .【解析】由已知可得，.16對(duì)于定義域和值域均為的函數(shù)，定義，n=1，2，3，滿足的點(diǎn)稱為f的階周期點(diǎn)（1）

5、設(shè)則f的階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是_1_;（2）設(shè)則f的階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是_4_ .【解析】（1）得；（2）當(dāng)，即時(shí)，.由得;當(dāng),即時(shí)，由，得；同理可得另兩個(gè)周期點(diǎn).三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17(本題滿分12分)已知a，b，c是的三個(gè)內(nèi)角，a，b，c對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)平面向量，.（）求角a的值；（）若，設(shè)角b的大小為，的周長為，求的最大值.解析（），且 ，即 （3分） a，b，c是的三個(gè)內(nèi)角， 即，又 （6分）（）由，及正弦定理得 （8分）+ （10分），即時(shí)， （12分）18(本題滿分12分)某同學(xué)利用國慶節(jié)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，對(duì)25，55歲的人群隨

6、機(jī)抽取n人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳生活的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：組數(shù)分組低碳族的人數(shù)占本組的頻率第一組1200.6第二組195p第三組1000.5第四組a0.4第五組300.3第六組150.3（1）補(bǔ)全頻率分布直方圖，并求n,a,p的值；（2）從年齡段在的“低碳族”中采用分層抽樣抽取6人參加戶外低碳體驗(yàn)生活，其中選取2人作為領(lǐng)隊(duì)，求選取的2名領(lǐng)隊(duì)中恰有1人年齡在歲的概率。解：（1）第二組的頻率為1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）5=0.3所以高為 （2分）頻率直方圖如下：第一組的

7、人數(shù)為，頻率為，所以由題意可知，第二組的頻率為0.3，所以第二組的人數(shù)為第四組的頻率為，所以第四組的人數(shù)為，所以 （6分）（2）因?yàn)闅q年齡段的“低碳族”與歲年齡段的“低碳族”的比值為60:30=2:1，所以采用分層抽樣法抽取6人，歲中有4人， 歲中有2人. （8分）設(shè)歲中的4人為歲中的2人為，則選取2人作為領(lǐng)隊(duì)的情況有：共15種，其中恰有1人年齡在 歲的情況有：，共8種. （11分）所以選取的2名領(lǐng)隊(duì)中恰有1人年齡在歲的概率為 （12分）19(本題滿分12分)如圖，三棱錐中，.abdc（）證明：；（）求直線ac與平面abd所成的角的正弦值.解析：（）在中， ， （2分） 又，且 ，又 （6分）

8、（）在三角形中， ， 由（1）可知： （8分） 在中， ， 在中，故 （10分）設(shè)點(diǎn)c到平面abd的距離為h，ca與平面abd所成的角為 即ac與平面abd所成的角的正弦值為 （12分）20(本題滿分13分)已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足：；（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求成立的正整數(shù) n的最小值.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q，依題意，有，解之得或；（4分）又單調(diào)遞增，.6分）（2）依題意，, （8分） ， ，-得， （10分）即為，當(dāng)n4時(shí)，；當(dāng)n5時(shí)，.使成立的正整數(shù)n的最小值為5. （13分）21(本題滿分13分)為了使“神州七號(hào)”飛船的返回倉順利返回地面

9、，及時(shí)將航天員救出，地面指揮中心在返回倉預(yù)計(jì)到達(dá)區(qū)域安排了三個(gè)救援點(diǎn)a、b、c（如圖）.其中點(diǎn)b在點(diǎn)a的正東方向，且與點(diǎn)a相距6km；點(diǎn)c在點(diǎn)b的北偏東30方向，且與點(diǎn)b相距4km.某一時(shí)刻，返回倉于點(diǎn)p著陸，并同時(shí)發(fā)出著陸信號(hào).由于b、c兩地比a地距著陸點(diǎn)p遠(yuǎn)，因此在救援點(diǎn)a收到信號(hào)4s后，b、c兩個(gè)救援點(diǎn)才同時(shí)接受到返回倉的著陸信號(hào)，已知該信號(hào)的傳播速度為1km/s.（1）試確定返回倉的著陸點(diǎn)p相對(duì)于救援點(diǎn)a的位置；（2）若返回倉在著陸點(diǎn)p的正上方某處發(fā)出信號(hào)，那么救援點(diǎn)a與b收到信號(hào)的時(shí)間差變大還是變小？說明你的理由.pcba【解】（1）以ab所在直線為x軸，線段ab的垂直平分線為y軸，

10、建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)a(3，0)，b(3，0). （2分）過點(diǎn)c作x軸的垂線，垂足為d，由已知，|bc|4，cbd60.則|bd|4cos602，|cd|4sin60，所以c(5，). 因?yàn)閨pb|pc|，所以點(diǎn)p在線段bc的垂直平分線上.因?yàn)橹本€bc的斜率為tan60，線段bc的中點(diǎn)為(4，).abcpdxyoe所以線段bc的垂直平分線方程為是，即.因?yàn)閨pb|pa|4，所以點(diǎn)p在以a、b為焦點(diǎn)的雙曲線左支上，且雙曲線方程為.（4分）由，即(11x32)(x8)0. 因?yàn)閤0，所以x8，點(diǎn)p(8，).過點(diǎn)p作x軸的垂線，垂足為e，則|ae|5，|pe|.所以|pa|10，tanpae，即pa

11、e60.故著陸點(diǎn)p位于救援點(diǎn)a的北偏西30，且與點(diǎn)a相距10km. （8分）（2）設(shè)返回倉在著陸點(diǎn)p的正上方點(diǎn)m處發(fā)出信號(hào)，|pm|h，|pa|a，|pb|b，如圖.abmp則 . 故救援點(diǎn)a與b收到信號(hào)的時(shí)間差變小. （13分）22 (本題滿分13分)已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在處取得極值，不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，證明不等式解：（1）函數(shù)的定義域是且（1分）當(dāng)時(shí)，從而，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，若，則，從而；若，則，從而，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. （4分）（2）由（1）可知，函數(shù)的極值點(diǎn)是，若，則.若在上恒成立，即在上恒成立，只需在上恒成立. （6分）令，則，易知為函數(shù)在內(nèi)唯一的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，故，即=，故只要即可.所以b的取值