高考數(shù)學(xué)必備—高考數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題—第4煉 函數(shù)值域的求法

1、高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家第4煉 求函數(shù)的值域 作為函數(shù)三要素之一，函數(shù)的值域也是高考中的一個(gè)重要考點(diǎn)，并且值域問題通常會滲透在各類題目之中，成為解題過程的一部分。所以掌握一些求值域的基本方法，當(dāng)需要求函數(shù)的取值范圍時(shí)便可抓住解析式的特點(diǎn)，尋找對應(yīng)的方法從容解決。一、基礎(chǔ)知識：1、求值域的步驟：（1）確定函數(shù)的定義域（2）分析解析式的特點(diǎn)，并尋找相對應(yīng)的方法（此為關(guān)鍵步驟）（3）計(jì)算出函數(shù)的值域2、求值域的常用工具：盡管在有些時(shí)候，求值域就像神仙施法念口訣一樣，一種解析式特點(diǎn)對應(yīng)一個(gè)求值域的方法，只要掌握每種方法并將所求函數(shù)歸好類即可操作，但也要掌

2、握一些常用的思路與工具。（1）函數(shù)的單調(diào)性：決定函數(shù)圖像的形狀，同時(shí)對函數(shù)的值域起到?jīng)Q定性作用。若為單調(diào)函數(shù)，則在邊界處取得最值（臨界值）。（2）函數(shù)的圖像（數(shù)形結(jié)合）：如果能作出函數(shù)的圖像，那么值域便一目了然（3）換元法：的解析式中可將關(guān)于的表達(dá)式視為一個(gè)整體，通過換元可將函數(shù)解析式化歸為可求值域的形式。（4）最值法：如果函數(shù)在連續(xù)，且可求出的最大最小值，則的值域?yàn)?注：一定在連續(xù)的前提下，才可用最值來解得值域3、常見函數(shù)的值域：在處理常見函數(shù)的值域時(shí)，通?？梢酝ㄟ^數(shù)形結(jié)合，利用函數(shù)圖像將值域解出，熟練處理常見函數(shù)的值域也便于將復(fù)雜的解析式通過變形與換元向常見函數(shù)進(jìn)行化歸。（1）一次函數(shù)（）

3、：一次函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，圖像為一條直線，所以可利用邊界點(diǎn)來確定值域（2）二次函數(shù)（）：二次函數(shù)的圖像為拋物線，通?？蛇M(jìn)行配方確定函數(shù)的對稱軸，然后利用圖像進(jìn)行求解。（關(guān)鍵點(diǎn)：拋物線開口方向，頂點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi)）例： 解： 對稱軸為： （3）反比例函數(shù)： （1）圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱（2）當(dāng) 當(dāng)（4）對勾函數(shù)： 解析式特點(diǎn)：的系數(shù)為1；注：因?yàn)榇祟惡瘮?shù)的值域與相關(guān)，求的值時(shí)要先保證的系數(shù)為，再去確定的值例：，并不能直接確定，而是先要變形為，再求得 極值點(diǎn)： 極值點(diǎn)坐標(biāo)： 定義域： 自然定義域下的值域：（5）函數(shù)： 注意與對勾函數(shù)進(jìn)行對比 解析式特點(diǎn)：的系數(shù)為1； 函數(shù)的零點(diǎn)： 值域： （5）指數(shù)函數(shù)（

4、）：其函數(shù)圖像分為與兩種情況，可根據(jù)圖像求得值域，在自然定義域下的值域?yàn)?（6）對數(shù)函數(shù)（）其函數(shù)圖像分為與兩種情況，可根據(jù)圖像求得值域，在自然定義域下的值域?yàn)椋?）分式函數(shù)：分式函數(shù)的形式較多，所以在本節(jié)最后會對分式函數(shù)值域的求法進(jìn)行詳細(xì)說明（見附）二、典型例題：將介紹求值域的幾種方法，并通過例題進(jìn)行體現(xiàn)1、換元法：將函數(shù)解析式中關(guān)于的部分表達(dá)式視為一個(gè)整體，并用新元代替，將解析式化歸為熟悉的函數(shù)，進(jìn)而解出值域（1）在換元的過程中，因?yàn)樽詈笫且眯略鉀Q值域，所以一旦換元，后面緊跟新元的取值范圍（2）換元的作用有兩個(gè)： 通過換元可將函數(shù)解析式簡化，例如當(dāng)解析式中含有根式時(shí)，通過將根式視為一個(gè)

5、整體，換元后即可“消滅”根式，達(dá)到簡化解析式的目的 化歸：可將不熟悉的函數(shù)轉(zhuǎn)化為會求值域的函數(shù)進(jìn)行處理（3）換元的過程本質(zhì)上是對研究對象進(jìn)行重新選擇的過程，在有些函數(shù)解析式中明顯每一項(xiàng)都是與的某個(gè)表達(dá)式有關(guān)，那么自然將這個(gè)表達(dá)式視為研究對象。（4）換元也是將函數(shù)拆為兩個(gè)函數(shù)復(fù)合的過程。在高中階段，與指對數(shù)，三角函數(shù)相關(guān)的常見的復(fù)合函數(shù)分為兩種 ：此類問題通常以指對，三角作為主要結(jié)構(gòu)，在求值域時(shí)可先確定的范圍，再求出函數(shù)的范圍 ：此類函數(shù)的解析式會充斥的大量括號里的項(xiàng)，所以可利用換元將解析式轉(zhuǎn)為的形式，然后求值域即可。當(dāng)然要注意有些解析式中的項(xiàng)不是直接給出，而是可作轉(zhuǎn)化：例如可轉(zhuǎn)化為，從而可確定

6、研究對象為 例1：函數(shù)的值域是（ ）A. B. C. D. 思路：解析式中只含一個(gè)根式，所以可將其視為一個(gè)整體換元，從而將解析式轉(zhuǎn)為二次函數(shù)，求得值域即可。解：的定義域?yàn)?令 ，則 的值域?yàn)槔?（1）函數(shù)的值域?yàn)椋?）A. B. C. D. （2）函數(shù)的值域?yàn)開（3）函數(shù)的值域?yàn)開思路：（1）本題可視為的形式，所以可將指數(shù)進(jìn)行換元，從而轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)值域問題：令，則，所以可得 （2）如前文所說，將視為一個(gè)整體令，則可將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得值域解：令 的值域?yàn)?（3）所求函數(shù)為的形式，所以求得的范圍，再取對數(shù)即可。對進(jìn)行變形可得：，從而將視為一個(gè)整體，即可轉(zhuǎn)為反比例函數(shù)，從而求得范圍解：定義域：

7、 令 答案：（1）B （2） （3） 例3：已知函數(shù)，則的值域?yàn)椋?）A. B. C. D. 思路：依題意可知，所以可將視為一個(gè)整體換元，從而將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)值域，但本題要注意的是的定義域，由已知的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?，解得：，而不?解： 的定義域?yàn)?，且，解得：令，則 ，即的值域?yàn)榇鸢福篊2、數(shù)形結(jié)合：即作出函數(shù)的圖像，通過觀察曲線所覆蓋函數(shù)值的區(qū)域確定值域，以下函數(shù)常會考慮進(jìn)行數(shù)形結(jié)合（1）分段函數(shù)：盡管分段函數(shù)可以通過求出每段解析式的范圍再取并集的方式解得值域，但對于一些便于作圖的分段函數(shù)，數(shù)形結(jié)合也可很方便的計(jì)算值域。（2）的函數(shù)值為多個(gè)函數(shù)中函數(shù)值的最大值或最小值，此時(shí)需將

8、多個(gè)函數(shù)作于同一坐標(biāo)系中，然后確定靠下（或靠上）的部分為該 函數(shù)的圖像，從而利用圖像求得函數(shù)的值域（3）函數(shù)的解析式具備一定的幾何含義，需作圖并與解析幾何中的相關(guān)知識進(jìn)行聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合求得值域，如：分式直線的斜率；被開方數(shù)為平方和的根式兩點(diǎn)間距離公式例4：（1）設(shè)函數(shù)定義域?yàn)?，對給定正數(shù)，定義函數(shù)則稱函數(shù)為的“孿生函數(shù)”，若給定函數(shù)，則的值域?yàn)椋?）A. B. C. D. （2）定義為中的最小值，設(shè)，則的最大值是_思路：（1）根據(jù)“孿生函數(shù)”定義不難發(fā)現(xiàn)其圖像特點(diǎn)，即以為分界線，圖像在下方的圖像不變，在上方的圖像則變?yōu)?，通過作圖即可得到的值域?yàn)椋?）本題若利用的定義將轉(zhuǎn)為分段函數(shù)，則需要對三個(gè)

9、式子兩兩比較，比較繁瑣，故考慮進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，將三個(gè)解析式的圖像作在同一坐標(biāo)系下，則為三段函數(shù)圖像中靠下的部分，從而通過數(shù)形結(jié)合可得的最大值點(diǎn)為與在第一象限的交點(diǎn)，即，所以 答案：（1）A （2） 2例5：已知函數(shù)，設(shè)，（其中表示中的較大值，表示中的較小值）記的值域?yàn)椋闹涤驗(yàn)?，則_思路：由的定義可想到其圖像特點(diǎn)，即若將的圖像作在同一坐標(biāo)系中，那么為圖像中位于上方的部分，而為圖像中位于下方的部分。對配方可得：，其中，故的頂點(diǎn)在頂點(diǎn)的上方。由圖像可得：褐色部分為的圖像，紅色部分為的圖像，其值域與的交點(diǎn)有關(guān)，即各自的頂點(diǎn)，所以的值域，的值域。從而 答案：例6：（1）函數(shù)的值域?yàn)開（2）函數(shù)的值域?yàn)開

10、思路：（1）函數(shù)為分式，但無法用“變形+換元”的方式進(jìn)行處理，雖然可以用導(dǎo)數(shù)，但求導(dǎo)后需對分子的符號進(jìn)行進(jìn)一步研究。那么換一個(gè)視角，從分式的特點(diǎn)可聯(lián)想到直線的斜率，即是與定點(diǎn)連線的斜率，那么只需在坐標(biāo)系中作出在的圖像與定點(diǎn)，觀察曲線上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率的取值范圍即可解：所求函數(shù)是與定點(diǎn)連線的斜率設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立為增函數(shù) 設(shè)曲線上兩點(diǎn) 定點(diǎn) （2）思路：，所以可視為點(diǎn)到點(diǎn)距離和的取值范圍。結(jié)合圖形可利用對稱性求出其最小值，且當(dāng)動點(diǎn)向軸兩側(cè)運(yùn)動時(shí)，其距離和趨向無窮大，進(jìn)而得到值域。解：為動點(diǎn)到點(diǎn)距離和，即 作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn) （等號成立條件：共線）當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?小煉有話說：本題在選擇點(diǎn)時(shí)要

11、盡量讓更少的點(diǎn)參與進(jìn)來簡化問題，所以要抓住兩個(gè)距離共同的特點(diǎn)（例如本題中都抓住含根式中的，所以找到了一個(gè)共同的動點(diǎn)）答案：（1） （2）3、函數(shù)單調(diào)性：如果一個(gè)函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則由定義域結(jié)合單調(diào)性（增、減）即可快速求出函數(shù)的值域（1）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法與結(jié)論： 增增增 減減減 增減 若函數(shù)的符號恒正或恒負(fù)，則減 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：復(fù)合函數(shù)可拆成，則若的單調(diào)性相同，則單調(diào)遞增；若的單調(diào)性相反，則單調(diào)遞減 利用導(dǎo)數(shù)：設(shè)圖像不含水平線的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則單增； 單減（2）在利用單調(diào)性求值域時(shí)，若定義域有一側(cè)趨近于或，則要估計(jì)當(dāng)或時(shí)，函數(shù)值是向一個(gè)常數(shù)無限接近還是也趨近于或（即函數(shù)圖象是否有水平漸近線），

12、；同樣若的定義域摳去了某點(diǎn)或有一側(cè)取不到邊界，如，則要確定當(dāng)時(shí)，的值是接近與一個(gè)常數(shù)（即臨界值）還是趨向或（即函數(shù)圖象是否有豎直漸近線），這樣可以使得值域更加準(zhǔn)確例7：（1）函數(shù)的值域?yàn)椋?）A. B. C. D. （2）函數(shù)的值域?yàn)椋?）A. B. C. D. （3）函數(shù)的值域?yàn)開思路：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，含有雙根式，所以很難依靠傳統(tǒng)的換元解決問題，但的導(dǎo)數(shù)較易分析出單調(diào)性，所以考慮利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間，從而求得最值 令即解不等式： 在單調(diào)減，在單調(diào)遞增 的值域?yàn)?小煉有話說：本題還可以利用換元解決，但利用的是三角換元：觀察到被開方數(shù)的和為常數(shù)，所以想到，從而可設(shè)，由可知，所以原函數(shù)的值

13、域轉(zhuǎn)化為求的值域，從而有，由可求得。由此題可知：含雙根式的函數(shù)若通過變形可得到被開方數(shù)的和為常數(shù)，則可通過三角換元轉(zhuǎn)為三角函數(shù)值域問題（2）思路：函數(shù)的定義域?yàn)?，從而發(fā)現(xiàn)，所以函數(shù)的解析式為，觀察可得為增函數(shù)，且時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)樾捰性捳f：本題中函數(shù)的定義域?qū)馕鍪降幕営袠O大的促進(jìn)作用。所以在求函數(shù)的值域時(shí)，若發(fā)現(xiàn)函數(shù)解析式較為特殊，則先確定其定義域 本題也可用換元法，設(shè)后即可將函數(shù)轉(zhuǎn)為二次函數(shù)求值域，但不如觀察單調(diào)性求解簡便。（3）思路：先確定函數(shù)的定義域：，為分式且含有根式，求導(dǎo)則導(dǎo)函數(shù)較為復(fù)雜。觀察分子分母可知：且關(guān)于單減，且關(guān)于單增，即單減，所以為減函數(shù)，由可知的值域?yàn)?小煉有

14、話說：在函數(shù)單調(diào)性的判斷中有“增+增增”，那么如果一個(gè)函數(shù)可表示為兩個(gè)函數(shù)的乘法，例如，則當(dāng)均為增（減）函數(shù)，且恒大于0，才能得到為增（減）函數(shù)答案：（1）D （2）B （3）4、方程思想：本方法是從等式的角度觀察函數(shù)，將其視為一個(gè)含參數(shù)的關(guān)于的方程。由函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系可知，對于值域中的任一值，必能在定義域中找到與之對應(yīng)的。這個(gè)特點(diǎn)反應(yīng)在方程中，即為若在值域中，則關(guān)于的方程在時(shí)只要有一個(gè)根。從而將求值域問題轉(zhuǎn)化為“取何值時(shí)，方程有解”的問題。利用方程的特點(diǎn)即可列出關(guān)于的條件，進(jìn)而解出的范圍即值域例8：（1）函數(shù)的值域?yàn)椋?）A. B. C. D. （2）函數(shù)的值域?yàn)開思路：（1）觀察分式特點(diǎn)可發(fā)

15、現(xiàn)若將去掉分母后可構(gòu)造為一個(gè)關(guān)于的二次方程（其中為參數(shù)）： ，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以的取值要求只是讓方程有解即可，首先對最高次?shù)系數(shù)是否為0進(jìn)行分類討論：當(dāng)，方程為，無解；當(dāng)時(shí)，二次方程有解的條件為，即得到關(guān)于的不等式，求解即可解：由可得: 函數(shù)的定義域?yàn)?的取值只需讓方程有解即可當(dāng)時(shí)，不成立，故舍去當(dāng)時(shí)， 即： 綜上所述：函數(shù)的值域?yàn)樾捰性捳f： 對于二次分式，若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t可像例8這樣通過方程思想，將值域問題轉(zhuǎn)化為“取何值時(shí)方程有解”，然后利用二次方程根的判定得到關(guān)于的不等式從而求解，這種方法也稱為“判別式法” 若函數(shù)的定義域不是，而是一個(gè)限定區(qū)間（例如），那么如果也想按方程的思想

16、處理，那么要解決的問題轉(zhuǎn)化為：“取何值時(shí)，方程在有根”，對于二次方程就變?yōu)榱烁植紗栴}，但因?yàn)橹灰匠逃懈托?，會按根的個(gè)數(shù)進(jìn)行比較復(fù)雜的分類討論，所以此類問題通常利用分式的變形與換元進(jìn)行解決（詳見附）（2）本題不易將函數(shù)變?yōu)閮H含或的形式，考慮去分母得：則的取值只要讓方程有解即可。觀察左側(cè)式子特點(diǎn)可想到俯角公式，從而得到，可知方程有解的條件為：，解出的范圍即為值域解：的定義域?yàn)?且 ，即，其中 因?yàn)樵摲匠逃薪?小煉有話說：本題除了用方程思想，也可用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解決，把分式視為連線斜率的問題，從而將問題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與單位圓上點(diǎn)連線斜率的取值范圍。作圖求解即可。本類型運(yùn)用方程思想處理的局限性在于輔角

17、公式與的取值相關(guān)，不過因?yàn)?，所以均能保證只要在中，則必有解。但如果本題對的范圍有所限制，則用方程的思想不易列出的不等式，所以還是用數(shù)形結(jié)合比較方便答案：（1）D （2） 以上為求值域的四種常見方法，與求函數(shù)的理念息息相關(guān)，有些函數(shù)也許有多種解法，或是在求值域的過程中需要多種手段綜合在一起解決。希望你再遇到函數(shù)值域問題時(shí)，能迅速抓住解析式的特點(diǎn)，找到突破口，靈活運(yùn)用各種方法處理問題。例9：已知函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 思路：本題可視為的復(fù)合函數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)?，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知應(yīng)取遍所有的正數(shù)（定義域可不為），即若函數(shù)的值域?yàn)?，則，由二次函數(shù)的圖像可知，當(dāng)時(shí)，

18、可滿足以上要求。所以解得 答案：C例10：在計(jì)算機(jī)的算法語言中有一種函數(shù)叫做取整函數(shù)（也稱高斯函數(shù)），表示不超過的最大整數(shù)，例如：，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?）A. B. C. D. 思路：按的定義可知，若要求出，則要將確定里面的范圍，所以若求的值域，則要知道的范圍。觀察到為偶函數(shù)，所以只需找到的值域即可，即成立，所以為奇函數(shù)，只需確定的范圍即可。對中的分式進(jìn)行分離常數(shù)可得：，當(dāng)時(shí)，從而，所以，由。即，可得，再利用偶函數(shù)性質(zhì)可得時(shí)，。當(dāng)時(shí)，所以，綜上所述：的值域?yàn)榇鸢福築小煉有話說：（1）本題在處理值域時(shí)，函數(shù)奇偶性的運(yùn)用大量簡化了運(yùn)算。首先判斷出所求函數(shù)為偶函數(shù)，所以關(guān)于軸對稱的兩部分值域相

19、同，進(jìn)而只需考慮的情況。另外從解析式的特點(diǎn)判斷出為奇函數(shù)，從而只需計(jì)算的范圍，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)推出的范圍。所以在求函數(shù)值域時(shí)，若能通過觀察或簡單的變形判斷出函數(shù)具備奇偶的性質(zhì)，則解題過程能夠達(dá)到事半功倍的效果。（2）本題在判斷的奇偶性時(shí)，由很難直接看出之間的聯(lián)系，但通過“通分”即可得到，奇偶性立即可見；在求的范圍時(shí)，利用的形式，分式較為復(fù)雜，分子分母均含變量，不易確定其范圍。但通過“分離常數(shù)”得到則非常便于求其范圍。由以上的對比可知，在判斷奇偶性或者分式的符號時(shí)，通常一個(gè)大分式較為方便；在求得分式函數(shù)值域時(shí)，往往通過“分離常數(shù)”的手段簡化分式中的分子，從而便于求得范圍附：分式函數(shù)值域的求法：

20、 分式函數(shù)也是高中所學(xué)函數(shù)的一個(gè)重要分支，求解分式函數(shù)的值域也考查了學(xué)生分式變形的能力以及能否將分式化歸為可求值域的形式，學(xué)會求分式函數(shù)值域也是處理解析幾何中范圍問題的重要工具。求分式函數(shù)值域的方法很多，甚至也可以考慮對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，但相對計(jì)算量較大，本節(jié)主要介紹的方式為如何通過對分式函數(shù)進(jìn)行變形，并用換元的方式將其轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)進(jìn)行求解。一、所用到的三個(gè)函數(shù)（其性質(zhì)已在前文介紹）1、反比例函數(shù)： 2、對勾函數(shù)： 3、函數(shù)： 注意與對勾函數(shù)進(jìn)行對比二、分式函數(shù)值域的求法請看下面這個(gè)例子：求的值域思路：此函數(shù)可看為的結(jié)果再加上3所得，故可利用反比例函數(shù)求出的范圍，再得到值域解： 問題不難，但觀察可發(fā)現(xiàn)：，所以當(dāng)遇到的函數(shù)為，總可以將分子的每一項(xiàng)均除以分母，從而轉(zhuǎn)化為進(jìn)行求解。由此得到第一個(gè)結(jié)論：對于形如的函數(shù)，總可以變換成轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)進(jìn)行求解。注：如果在分式中，分子的表達(dá)式可將一部分構(gòu)造為分母的形式，則可用這部分除以分母與分式分離得到常數(shù)，從而使得分式中的分子變