研究生矩陣論課后習(xí)題答案(全)習(xí)題二

1、習(xí)題二12（1）J1222000002（2）0(1)20200322321（3）4235322422304360(4)0610133122解：（1）對(duì)矩陣作初等變換12c1 c31222100c22c10c3c100(1)則該矩陣為Smith 標(biāo)準(zhǔn)型為1化下列矩陣為 Smith 標(biāo)準(zhǔn)型：2000223234;112220000012120r3r022r1100100c3 c2 r1 ( 1)00，00( 1)( 1)2）矩陣的各階行列式因子為D4( )4( 1)4,D3( )( 1)2( 1)2,D2( ) ( 1),D1( ) 1,從而不變因子為1)4()D3()D2()1),d4()D4(

2、)D3()2(1)100(1)0000(3)對(duì)矩陣作初等變換3 223212 234 235322 34242147 263r2 r1片(2 2)32 12 247 2632q ( 2)03 ? ( 2)C32 103213q (1)2003210H ( 25) r2r1 ( 1)000di( ) 1陽)D2-)(Di()故該矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)型為故該矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)型為0000(1)02 20 ( 1)3 222122C103“4 2332222 2 2 12245010212245010012 2 450100101001 0r1r31C3010100 (1)2(1)11(1)2(

3、1)(4)對(duì)矩陣作初等變換23010001436022Cl 1 0（1） 0 2 1 C5000220620C2 3c3002010100101003312200331220000010001C13C20002222r10000C32C20020C3C1002010100100000100001000000101000012c300002C1C402000C40000C2C5000010000000100100000001D5（ ）3（1）2,D4（）1）,D3（ ） D2（ ） D!（ ） 1,于是不變因子為D4（）D3（）1）,d5（）D5（）D4（）2（ 1）在最后的形式中，可求得行列式

4、因子100001000010000（1）00002求下列矩陣的不變:因子:故該矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形為00002（ 1）1001；（2）00；00100010；（3）001543200120120（4）1200.2000解：（1）該矩陣的右上角的2 階子式為 1，故D1( ) D2( ) 1,而D3( ) (2)3 ，所以該 矩陣的不變因子為d1( )d2( )1,d3(2) (2)2 ;（2）當(dāng)0 時(shí)，由于D4( )()4,D3( )()2， D2( ) D1( ) 1，故不變因子為d1() d2( )1，d3()()2,d4( ) ()2當(dāng) 0 時(shí)，由于D4( )()2 2 ，且該 矩陣中

5、右上角的3 階子式為2(),且(2(),D4( ) 1，則 D3( ) 1，故 D2( ) D1( ) 1 ，所以該 矩陣的不變因子為22 d1( ) d2( ) d3( ) 1, d4( ) ()22;(2) 該矩陣的行列式因子為D1( )1,D2(1)(1)2，3)該 矩陣的右上角的 3 階子式為 1，故D1( )D2()D3( ) 1,而D4 ( ) 4233 2 4 5 ，所以該矩陣的不變因子為d1( )d2( ) d3( )1, d4() 4 2 3 3 2 45;(4)該矩陣的行列式因子為D1( ) D2( )D3()1,D4( ) ( 2)4,所以該矩陣的不變因子為d1( ) d

6、2( )d3()41, d4( ) ( 2)4 .3求下列矩陣的初等因子：3231(1)232 3 2 32；2(2)32 2 2 1 2212322 2 1 222解：(1)該矩陣的行列式因子為D1( ) 1,D2()2( 1)( 1)2 ，故初等因子為1,( 1)2 ；故不變因子為d1( )1,d2( ) ( 1)( 1),1316164523731）576；（2）221；（ 3） 2526871114103123411103301234）333；（5）186；（6）00122222141000014求下列矩陣的Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形：解：（ 1）設(shè)該矩陣為 A ，則100E A 010，0

7、0(1)2(3)故 A 的初等因子為(1)2(3)，則 A 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形為3000 1 10 0 12）設(shè)該矩陣為 A ，則100EA010，00(1)3故 A 的初等因子為（ 1）3 ， 從而 A 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形為110 0 1 1 ；001100EA01000(1)( 2 1)故 A 的初等因子為1,i,i,從而 A 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形為1000i0J00i（4）設(shè)該矩陣為 A ，則100EA00,002故 A 的初等因子為2從而 A 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形為000001J000（5）設(shè)該矩陣為A，則100EA01000(1)2故 A 的初等因子為,(1)2，

8、從而 A 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形為(6)設(shè)該矩陣為A，則E A該矩陣的各階行列式因子為Di( ) D2(則不變因子為di( ) d2(故初等因子為000011 ；001123401 2300120001)D3()1,D4()(1)4,)d3()1,d4()(1)4,則A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為5設(shè)矩陣(1)4,110 001100011.0001故A的特征值為11,5.屬于特征值 1 1的特征向量為 1 (1,0,0) T ,屬于 2 3 5 的特征向量為 設(shè)P 1, 2, 3則 A P P 1 .,故A5 P 5P 16.設(shè)矩陣A2(2,1,2)T, 3(1, 2,1)T.121100012

9、,050,021005441 4 54 3 54 1440 3 54 4 54440 4 543 542 1 12 1 2 ，1 1 2求 A 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形 J，并求相似變換矩陣P ，使得1P 1AP J .解 :(1) 求 A 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形J.211100IA21201011200 ( 1)故其初等因子為1,(1)2，故 A 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形100J011.001(2)求相似變換矩陣 P. 考慮方程組111x1(I A)X 0, 即 2 22x20,111x3解之 ,得10X1 0 ,X21.11其通解為k1k1X1 k2 X2=k2Jk1 k2其中ki,k2

10、為任意常數(shù)考慮方程組111x1k1222x2k21111x3k1k21 1 1k1111k12 2 2k20002k1k21 1 1k1 k20002k1k2故當(dāng) 2k1 k20 時(shí),方程組有解 .取 k11,k22 ,解此方程組 ,得0X3 01則相似變換矩陣100P X1,X2,X3 0101117設(shè)矩陣試計(jì)算 2A8 3A5 A A2 4I .解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為fA()I A 3 21,由于2 8 3 5424(32021)f( )(243710)其中 f( )2 54 3 5 2914.且A32A I O,故348262A8 3A5 A4 A2 4I=24A2 37A 10I09

11、561061348證明：任意可逆矩陣A的逆矩陣A 1可以表示為 A的多項(xiàng)式證明:設(shè)矩陣A的特征多項(xiàng)式為fA()I Anna11na22 Lan 1an則Ana1An 1a2An 2 Lan 1Aan IO,即A(An1 a1An 2區(qū) n 3a?ALan1I)anI ,因?yàn)锳可逆,故an ( 1)n A 0,則11 n 1n 2n 3A(AaiAa?AL an J)an9設(shè)矩陣2 1A,13試計(jì)算(A4 5A3 6A2 6A 8I) 1 .解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為fA( ) | I A 2 57,則A2 2A 7I O,而7)( 2 1)1,A 5A 6A 6A 8I

12、) (A I )-231 110.已知3階矩陣A的三個(gè)特征值為11，2，試將A2n表示為A的二次式.解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為fA( ) I A (1)(1)(2),則設(shè)2n2f( )g( ) a bc,由 f (1)0, f( 1)0, f (2)0,得abc1,abc1,2n4a2bc2.解之，得a 3(22n 1)，b ,c(22n 4),33因此311422(1) 020 ；( 2)57511167411.求下列矩陣的最小多項(xiàng)式：(3)n階單位陣In ； (4)2)( 2511)A2n aA bA cI -(22n 1)A2 (22n 4)I33a。qa2a3a1a。a3a2(5)Ba2a3aaasa2a1a31 1解:設(shè)A 02 0，則11 131110 0I A02002 0111020 ( 2)故該矩陣的最小多項(xiàng)式為(2)2.n階方陣A，其元素均為1 ；422設(shè)A575,則674IA (2)( 2 511),故該矩陣有三個(gè)不同的特征值因此其最小多項(xiàng)式為(3) n階單位陣In的最小多項(xiàng)式為 m()因?yàn)镮 A n1( n),