例談幾何型綜合題的解題策略

1、例談幾何型綜合題的解題策略幾何型綜合題常以動(dòng)態(tài)幾何知識(shí)為背景， 以考察數(shù)學(xué)知識(shí)、 數(shù)學(xué)思想的綜合運(yùn)用能力為目標(biāo)，所涉及的數(shù)學(xué)思想主要有方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等等。近年來(lái)，它常作為中考的壓軸題出現(xiàn)。例題：（年上海中考題）已知：60 ，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，(如圖 ). 為直線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（點(diǎn)、按順時(shí)針排列） ，是的外心.(1)當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：點(diǎn)在的平分線上；(2)當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與不重合）時(shí)，與交于，設(shè)，AC AO y ，求關(guān)于的函數(shù)解析式， 并寫出函數(shù)的定義域；A(3)若點(diǎn)是射線上，時(shí)，是的內(nèi)切圓，當(dāng)?shù)倪吇蚺c相PGC切時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)到點(diǎn)的距離 .HB分

2、析：這類試題一般有三個(gè)小題，第一小題研究幾何背景，O為論證或計(jì)算；第二小題研究運(yùn)動(dòng)中圖形的數(shù)量關(guān)系，建立函MQN數(shù)關(guān)系；第三小題研究圖形不確定性帶來(lái)的分類討論。我們一般可以采用化整為零、建立方程、分類討論三個(gè)步驟，從復(fù)雜的背景中提取解題所需信息，使問(wèn)題逐步解決。一、化整為零要證平分，只要證明到、的距離相等，故作于，于，故。因此只要連結(jié)、，證， 把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究等邊三角形外心的性質(zhì)。這樣，一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題經(jīng)過(guò)分拆，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的基本問(wèn)題，從而尋找到解題的途經(jīng)。解：連、，是等邊的外心，作于，于，故可證，在的平分線上二、建立方程建立幾何圖形間的數(shù)量關(guān)系，特別是動(dòng)態(tài)幾何圖形間的數(shù)量關(guān)系，是這類試題的考

3、察重點(diǎn)，函數(shù)關(guān)系式的建立實(shí)際上是探求兩個(gè)變量與之間未知函數(shù)類型的函數(shù)問(wèn)題，如果我們把1 / 11函數(shù)理解為關(guān)于、的二元方程，不管是何種類型函數(shù)，都可以通過(guò)尋找與之間的等量關(guān)系，建立方程來(lái)解決。而建立等量關(guān)系常見(jiàn)的途經(jīng)有：比例線段、勾股定理、等積原理、線段和差等等。本題要建立y （ AC AO ）與（）之間的函數(shù)關(guān)系，就是建立與之間的方程，所涉及的線段有、三條，因此常要尋找第四條線段，根據(jù)題意只有是已知線段，故可以優(yōu)先考慮，因此只要證.解：，又ABAO故（ ）ACAP三、分類討論分類討論是這類試題的重點(diǎn)內(nèi)容之一， 不僅考察數(shù)學(xué)知識(shí)的把握能力， 還考察動(dòng)態(tài)圖形的認(rèn)知能力，對(duì)同學(xué)來(lái)說(shuō)，是難點(diǎn)之一。不

4、過(guò)，分類討論也是有規(guī)律可循，比如這類試題所涉及的分類討論知識(shí)主要是等腰三角形的底邊不確定、直角三角形的直角不確定、圖形的位置不確定（最常見(jiàn)是直線、射線與線段變化引起的） 、相似三角形的對(duì)應(yīng)邊不確定等等。在分類討論時(shí)首先要注意分類標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，其次要做到不重不漏。本題的第一小題、 第二小題考察點(diǎn)在射線上的運(yùn)動(dòng)， 而第三小題則考察在直線上的運(yùn)動(dòng)，由此帶來(lái)分類討論。解：，可得、當(dāng)與相切時(shí)，（）當(dāng)與重合時(shí)(如圖 )， 234 3（）當(dāng)與重合時(shí)(如圖 )，3、當(dāng)與相切時(shí)（如圖），PAID (P)CA OQBOIDMQ2 / 11BNMNA(P)IDC OB幾何型綜合題不管試題如何變化，都是以日常學(xué)習(xí)中的基Q

5、 本知識(shí)為背景，或讓幾個(gè)背景疊加，或讓靜態(tài)的幾何關(guān)系運(yùn)動(dòng)MN起來(lái)，在運(yùn)動(dòng)中探求圖形不變的位置或數(shù)量關(guān)系。因此，這類問(wèn)題的解決是以具有扎實(shí)的基本功為前提的，因此只要平時(shí)注重基本知識(shí)、基本圖形的積累與總結(jié)，再合理運(yùn)用解題策略，就可以達(dá)到事半功倍的效果。附習(xí)題：( 年上海中考 )操作： 將一把三角尺放在邊長(zhǎng)為的正方形上，并使它的直角頂點(diǎn)在對(duì)角線上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)，另一邊與射線相交于點(diǎn)探究 ：設(shè)、兩點(diǎn)間的距離為（）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，線段與線段之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你觀察得到結(jié)論；（）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)， 設(shè)四邊形的面積為，求與之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（）當(dāng)點(diǎn)在線段上滑動(dòng)時(shí)，是否可能

6、成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使成為等腰三角形的點(diǎn)的位置，并求出相應(yīng)的的值；如果不可能，試說(shuō)明理由、（年上海中考）在中，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心作半圓，與邊相切于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，作，交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)。（ 1） 如圖，求證：；（ 2） 設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（ 3） 當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng) .3 / 11FBBPDCE OA CA圖 8圖 9（備用圖）（備用圖）圖、（年上海中考）在中，22 ，的半徑為，如圖所示若點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)、不重合），設(shè) x ，的面積為y（）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（）以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作，求當(dāng)與相切時(shí)，的面積圖、（年黃浦中考

7、模擬卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，邊在軸的正半軸，分別與邊、相切于、( 切點(diǎn)、不在邊、的端點(diǎn)) ，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn).(1) 求邊的長(zhǎng)和的面積；(2) 設(shè)，寫出與的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；(3) 探索與能否相似？若能相似，請(qǐng)求出FY的值，同時(shí)判斷此時(shí)與邊的位置關(guān)系，并證明之；若不能相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4) 當(dāng)與內(nèi)切時(shí)，與邊相切于點(diǎn)，請(qǐng)寫出切點(diǎn)、的坐標(biāo) ( 不必寫出計(jì)算過(guò)程 ).4 / 11BDPAOECX、（年上海中考）已知在梯形中，且，（）如圖，為上的一點(diǎn)，滿足求證；求的長(zhǎng)（）如果點(diǎn)在邊上移動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)、不重合），且滿足，交直線于點(diǎn)，同時(shí)交直線于點(diǎn)，那么當(dāng)點(diǎn)在

8、線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng)時(shí)，寫出的長(zhǎng)（不必寫出解題過(guò)程）、（年浦東中考模擬卷）已知： 如圖，點(diǎn)在的邊上，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的與的邊分別相交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)的距離為， （ 1） 求證：線段是線段與的比例中項(xiàng)；（ 2） 求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（ 3） 如果以線段為直徑的圓與直線相切，求線段的長(zhǎng)、（年奉賢中考模擬卷）如圖，在中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，分別從點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)， 另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，關(guān)于直線對(duì)稱的圖形是設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）（

9、）設(shè)四邊形的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；（）是否存在時(shí)刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（）通過(guò)觀察、畫圖或折紙等方法，猜想是否存在時(shí)刻，使得？若存在，請(qǐng)估計(jì)的值在括號(hào)中的哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)（；）；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由、（年盧灣中考模擬卷）如圖，已知在矩形ABCD 中， AD8cm ， CD4cm ，點(diǎn) E 從點(diǎn) D 出發(fā)，沿線段DA 以每秒 cm 的速度向點(diǎn)A 方向移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F 從點(diǎn) C 出發(fā)，沿射線CD 方向以每秒cm 的速度移5 / 11動(dòng)，當(dāng) B、 E、F 三點(diǎn)共線時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng). 設(shè)點(diǎn) E 移動(dòng)的時(shí)間為 t （秒），（）求證：BCF CDE ；（

10、）求 t 的取值范圍；AED（）連結(jié) BE ，當(dāng) t 為何值時(shí)， BECBFC ？FBC答案：、圖圖圖（）解：證明如下：過(guò)點(diǎn)作，分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，那么四邊形和四邊形都是矩形，和都是等腰直角三角形（如圖） ，而，又，（）由（）得，2 x ，2 x ，222 x 2 x 2得 1 1 （2 x ） 1 2 22224 1 1 （2x ）（2 x ） 1 342 x 1222226 / 111四邊形 2x 即 1 2x （2 ）22（）可能成為等腰三角形當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，這時(shí)，是等腰三角形，此時(shí)當(dāng)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，且時(shí)，是等腰三角形（如圖）此時(shí)，2x ，2 ，2 2 x 222 2 x （

11、2 x ）2 x22當(dāng) 22x 時(shí)，得、（）證明：連結(jié)OD25（.1）證明：連結(jié)AP切半圓于 D，ODAPED90又ODOE，ODEOED90ODE90OEDEDAPEA，又AAADEAEPODCB（ ）2ACOAOD3OD3 xOE,同理可得： AD4 xx555ADEAEPAPAEy8 x464165x2yAEAD84xy25x55xx55( x0)7 / 11(3)由題意可知存在三種情況但當(dāng) E在C點(diǎn)左側(cè)時(shí)顯然大于所以不合舍去當(dāng) x 5時(shí) AP AB(如圖） 4延長(zhǎng)，交于HDO BE易證 DHEDJEHD6 x,PBEPDH905PFBPHD1PBPB 2AP66 x12 x5 5當(dāng) x

12、 5時(shí) P點(diǎn)在 B點(diǎn)的右側(cè)4延長(zhǎng) DO , PE交于點(diǎn) H同理可得DHEEJDPBFPDH1BP26 xBP12 x55AP42 2、（）過(guò)點(diǎn)作于， 2 2， S AOC1 AH CO 4 x2即（ ）（）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，圓與圓相交，不合題意；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，在中，AO 2AH 2OH 24| 2x |2x24x8圓的半徑為，圓的半徑為，當(dāng)圓與圓外切時(shí)， (x 1) 2 x2 4x 8當(dāng)圓與圓內(nèi)切時(shí)，(x1) 2x 24x8解得7 ， S AOC 1766解得7 ， S AOC 122、（）過(guò)作軸，垂足為，在中，得到，由勾股定理可得3 ，由于，可得，在中由勾股定理可得（或（， 5 3 ）、（

13、，）由距離公式得）8 / 111 3S ABC 2,（）在中分別與邊、相切于、又，可設(shè)， ，過(guò)作交于，在中，EHCEEH516 x即10，得（16x）ABCA168在中，F(xiàn)DFEDBEHy即xy 10 x5（16 x）8整理得 8 80 ( )3 3() 假如與相似，, 又只能與，與是對(duì)應(yīng)角 AD= ACx16，x=，解得（舍去） ，BDDF10y當(dāng)時(shí)，與邊相切證明：當(dāng)時(shí)，求得的半徑23 ，過(guò)作，垂足為，連接、 、有 S ABCS PABS PACS PBC即 403110 23116 2 31 14PQ ，解得， 23 222與邊相切（）（，3 ），（，），（ 57 ， 253 ） .77、

14、（）證明： ， 在梯形中， 解：設(shè)，則，由，得ABPD，即25 xAPDCx，解得，則的長(zhǎng)為2或（ ） 解 ： 類 似 （ ） ， 易 得 ， ABAP2x， 得PD 即5 x2 yDQ9 / 11y1x25x2 ，22或5 、（）證明：， BCAC ACOC AC 2BCOC ，即是與的比例中項(xiàng)（）解：作，垂足為點(diǎn)，3 y3 當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，在中， AC 2AH 2CH 2 ， y x y 122y3 y 2xy 1y22 3y3 4所求的函數(shù)解析式為y 定義域?yàn)?x2 3 2 3x當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，x23 ， y3 ，解析式顯然也成立3（ 3） 設(shè)以為直徑的圓與直線相切于點(diǎn)，連結(jié)，得，即 y 3PD 又 1 ， 1 y x y3y x y 3x 222243x 整理，得3x263x403x636243433315，即3315 x633、（）由題意知， 1 PCCQ 6t 224t 2與關(guān)于直線對(duì)稱， 12t 248t (0 t4)（）設(shè)存在時(shí)刻，使得，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖，若，則，又，從而 QMQD