例談幾何型綜合題的解題策略

1、例談幾何型綜合題的解題策略幾何型綜合題常以動態(tài)幾何知識為背景， 以考察數(shù)學(xué)知識、 數(shù)學(xué)思想的綜合運用能力為目標(biāo)，所涉及的數(shù)學(xué)思想主要有方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等等。近年來，它常作為中考的壓軸題出現(xiàn)。例題：（年上海中考題）已知：60 ，點是射線上的一點，(如圖 ). 為直線上一動點，以為邊作等邊三角形（點、按順時針排列） ，是的外心.(1)當(dāng)點在射線上運動時，求證：點在的平分線上；(2)當(dāng)點在射線上運動（點與不重合）時，與交于，設(shè)，AC AO y ，求關(guān)于的函數(shù)解析式， 并寫出函數(shù)的定義域；A(3)若點是射線上，時，是的內(nèi)切圓，當(dāng)?shù)倪吇蚺c相PGC切時，請直接寫出點到點的距離 .HB分

2、析：這類試題一般有三個小題，第一小題研究幾何背景，O為論證或計算；第二小題研究運動中圖形的數(shù)量關(guān)系，建立函MQN數(shù)關(guān)系；第三小題研究圖形不確定性帶來的分類討論。我們一般可以采用化整為零、建立方程、分類討論三個步驟，從復(fù)雜的背景中提取解題所需信息，使問題逐步解決。一、化整為零要證平分，只要證明到、的距離相等，故作于，于，故。因此只要連結(jié)、，證， 把問題轉(zhuǎn)化為研究等邊三角形外心的性質(zhì)。這樣，一個復(fù)雜的問題經(jīng)過分拆，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的基本問題，從而尋找到解題的途經(jīng)。解：連、，是等邊的外心，作于，于，故可證，在的平分線上二、建立方程建立幾何圖形間的數(shù)量關(guān)系，特別是動態(tài)幾何圖形間的數(shù)量關(guān)系，是這類試題的考

3、察重點，函數(shù)關(guān)系式的建立實際上是探求兩個變量與之間未知函數(shù)類型的函數(shù)問題，如果我們把1 / 11函數(shù)理解為關(guān)于、的二元方程，不管是何種類型函數(shù)，都可以通過尋找與之間的等量關(guān)系，建立方程來解決。而建立等量關(guān)系常見的途經(jīng)有：比例線段、勾股定理、等積原理、線段和差等等。本題要建立y （ AC AO ）與（）之間的函數(shù)關(guān)系，就是建立與之間的方程，所涉及的線段有、三條，因此常要尋找第四條線段，根據(jù)題意只有是已知線段，故可以優(yōu)先考慮，因此只要證.解：，又ABAO故（ ）ACAP三、分類討論分類討論是這類試題的重點內(nèi)容之一， 不僅考察數(shù)學(xué)知識的把握能力， 還考察動態(tài)圖形的認(rèn)知能力，對同學(xué)來說，是難點之一。不

4、過，分類討論也是有規(guī)律可循，比如這類試題所涉及的分類討論知識主要是等腰三角形的底邊不確定、直角三角形的直角不確定、圖形的位置不確定（最常見是直線、射線與線段變化引起的） 、相似三角形的對應(yīng)邊不確定等等。在分類討論時首先要注意分類標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，其次要做到不重不漏。本題的第一小題、 第二小題考察點在射線上的運動， 而第三小題則考察在直線上的運動，由此帶來分類討論。解：，可得、當(dāng)與相切時，（）當(dāng)與重合時(如圖 )， 234 3（）當(dāng)與重合時(如圖 )，3、當(dāng)與相切時（如圖），PAID (P)CA OQBOIDMQ2 / 11BNMNA(P)IDC OB幾何型綜合題不管試題如何變化，都是以日常學(xué)習(xí)中的基Q

5、 本知識為背景，或讓幾個背景疊加，或讓靜態(tài)的幾何關(guān)系運動MN起來，在運動中探求圖形不變的位置或數(shù)量關(guān)系。因此，這類問題的解決是以具有扎實的基本功為前提的，因此只要平時注重基本知識、基本圖形的積累與總結(jié)，再合理運用解題策略，就可以達(dá)到事半功倍的效果。附習(xí)題：( 年上海中考 )操作： 將一把三角尺放在邊長為的正方形上，并使它的直角頂點在對角線上滑動，直角的一邊始終經(jīng)過點，另一邊與射線相交于點探究 ：設(shè)、兩點間的距離為（）當(dāng)點在邊上時，線段與線段之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你觀察得到結(jié)論；（）當(dāng)點在邊上時， 設(shè)四邊形的面積為，求與之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（）當(dāng)點在線段上滑動時，是否可能

6、成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使成為等腰三角形的點的位置，并求出相應(yīng)的的值；如果不可能，試說明理由、（年上海中考）在中，是邊上的一個動點，以點為圓心作半圓，與邊相切于點，交線段于點，作，交射線于點，交射線于點。（ 1） 如圖，求證：；（ 2） 設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（ 3） 當(dāng)時，求線段的長 .3 / 11FBBPDCE OA CA圖 8圖 9（備用圖）（備用圖）圖、（年上海中考）在中，22 ，的半徑為，如圖所示若點在上運動（與點、不重合），設(shè) x ，的面積為y（）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（）以點為圓心，長為半徑作，求當(dāng)與相切時，的面積圖、（年黃浦中考

7、模擬卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點在原點，邊在軸的正半軸，分別與邊、相切于、( 切點、不在邊、的端點) ，的延長線與的延長線相交于點.(1) 求邊的長和的面積；(2) 設(shè)，寫出與的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；(3) 探索與能否相似？若能相似，請求出FY的值，同時判斷此時與邊的位置關(guān)系，并證明之；若不能相似，請說明理由；(4) 當(dāng)與內(nèi)切時，與邊相切于點，請寫出切點、的坐標(biāo) ( 不必寫出計算過程 ).4 / 11BDPAOECX、（年上海中考）已知在梯形中，且，（）如圖，為上的一點，滿足求證；求的長（）如果點在邊上移動（點與點、不重合），且滿足，交直線于點，同時交直線于點，那么當(dāng)點在

8、線段的延長線上時，設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng)時，寫出的長（不必寫出解題過程）、（年浦東中考模擬卷）已知： 如圖，點在的邊上，以點為頂點的與的邊分別相交于點和點（點在點的左邊），設(shè)點與點的距離為， （ 1） 求證：線段是線段與的比例中項；（ 2） 求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（ 3） 如果以線段為直徑的圓與直線相切，求線段的長、（年奉賢中考模擬卷）如圖，在中，動點從點出發(fā)沿邊向點以每秒個單位長的速度運動，動點從點出發(fā)沿邊向點以每秒個單位長的速度運動，分別從點，同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)端點時， 另一點也隨之停止運動在運動過程中，關(guān)于直線對稱的圖形是設(shè)運動時間為（秒）（

9、）設(shè)四邊形的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；（）是否存在時刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（）通過觀察、畫圖或折紙等方法，猜想是否存在時刻，使得？若存在，請估計的值在括號中的哪個時間段內(nèi)（；）；若不存在，請簡要說明理由、（年盧灣中考模擬卷）如圖，已知在矩形ABCD 中， AD8cm ， CD4cm ，點 E 從點 D 出發(fā)，沿線段DA 以每秒 cm 的速度向點A 方向移動，同時點F 從點 C 出發(fā)，沿射線CD 方向以每秒cm 的速度移5 / 11動，當(dāng) B、 E、F 三點共線時，兩點同時停止運動. 設(shè)點 E 移動的時間為 t （秒），（）求證：BCF CDE ；（

10、）求 t 的取值范圍；AED（）連結(jié) BE ，當(dāng) t 為何值時， BECBFC ？FBC答案：、圖圖圖（）解：證明如下：過點作，分別交于點，交于點，那么四邊形和四邊形都是矩形，和都是等腰直角三角形（如圖） ，而，又，（）由（）得，2 x ，2 x ，222 x 2 x 2得 1 1 （2 x ） 1 2 22224 1 1 （2x ）（2 x ） 1 342 x 1222226 / 111四邊形 2x 即 1 2x （2 ）22（）可能成為等腰三角形當(dāng)點與點重合，點與點重合，這時，是等腰三角形，此時當(dāng)點在邊的延長線上，且時，是等腰三角形（如圖）此時，2x ，2 ，2 2 x 222 2 x （

11、2 x ）2 x22當(dāng) 22x 時，得、（）證明：連結(jié)OD25（.1）證明：連結(jié)AP切半圓于 D，ODAPED90又ODOE，ODEOED90ODE90OEDEDAPEA，又AAADEAEPODCB（ ）2ACOAOD3OD3 xOE,同理可得： AD4 xx555ADEAEPAPAEy8 x464165x2yAEAD84xy25x55xx55( x0)7 / 11(3)由題意可知存在三種情況但當(dāng) E在C點左側(cè)時顯然大于所以不合舍去當(dāng) x 5時 AP AB(如圖） 4延長，交于HDO BE易證 DHEDJEHD6 x,PBEPDH905PFBPHD1PBPB 2AP66 x12 x5 5當(dāng) x

12、 5時 P點在 B點的右側(cè)4延長 DO , PE交于點 H同理可得DHEEJDPBFPDH1BP26 xBP12 x55AP42 2、（）過點作于， 2 2， S AOC1 AH CO 4 x2即（ ）（）當(dāng)點與點重合時，圓與圓相交，不合題意；當(dāng)點與點不重合時，在中，AO 2AH 2OH 24| 2x |2x24x8圓的半徑為，圓的半徑為，當(dāng)圓與圓外切時， (x 1) 2 x2 4x 8當(dāng)圓與圓內(nèi)切時，(x1) 2x 24x8解得7 ， S AOC 1766解得7 ， S AOC 122、（）過作軸，垂足為，在中，得到，由勾股定理可得3 ，由于，可得，在中由勾股定理可得（或（， 5 3 ）、（

13、，）由距離公式得）8 / 111 3S ABC 2,（）在中分別與邊、相切于、又，可設(shè)， ，過作交于，在中，EHCEEH516 x即10，得（16x）ABCA168在中，F(xiàn)DFEDBEHy即xy 10 x5（16 x）8整理得 8 80 ( )3 3() 假如與相似，, 又只能與，與是對應(yīng)角 AD= ACx16，x=，解得（舍去） ，BDDF10y當(dāng)時，與邊相切證明：當(dāng)時，求得的半徑23 ，過作，垂足為，連接、 、有 S ABCS PABS PACS PBC即 403110 23116 2 31 14PQ ，解得， 23 222與邊相切（）（，3 ），（，），（ 57 ， 253 ） .77、

14、（）證明： ， 在梯形中， 解：設(shè)，則，由，得ABPD，即25 xAPDCx，解得，則的長為2或（ ） 解 ： 類 似 （ ） ， 易 得 ， ABAP2x， 得PD 即5 x2 yDQ9 / 11y1x25x2 ，22或5 、（）證明：， BCAC ACOC AC 2BCOC ，即是與的比例中項（）解：作，垂足為點，3 y3 當(dāng)點與點不重合時，在中， AC 2AH 2CH 2 ， y x y 122y3 y 2xy 1y22 3y3 4所求的函數(shù)解析式為y 定義域為0x2 3 2 3x當(dāng)點與點重合時，x23 ， y3 ，解析式顯然也成立3（ 3） 設(shè)以為直徑的圓與直線相切于點，連結(jié)，得，即 y 3PD 又 1 ， 1 y x y3y x y 3x 222243x 整理，得3x263x403x636243433315，即3315 x633、（）由題意知， 1 PCCQ 6t 224t 2與關(guān)于直線對稱， 12t 248t (0 t4)（）設(shè)存在時刻，使得，延長交于點，如圖，若，則，又，從而 QMQD