關于數(shù)學教學中學生思維訓練的探討

1、思維是人類的一種重要活動。人們對于它的研究、探討在不斷地發(fā)展進步，甚至創(chuàng)造出了可以模仿人的思維活動的電腦。在理論上取得的成果也頗豐，對于思維生理機能的揭示，還有從各個不同的角度對思維進行的分類，（例如，有的把它分為形象思維有和抽象思維；有的把它分為求同思維和求異思維；有的認為思維是聚斂的和發(fā)散型的；有的認為思維有正向和逆向之分等），這些對于思維的進一步研究，都有十分重要的價值。本人多年從事基礎教育，在初中數(shù)學教學中，對于學生學習數(shù)學的思維活動進行了一定的探討，把學生學習數(shù)學的思維活動作了分層次劃分。我認為，不妨把他們的思維活動劃分成單向單步思維、單向多步思維和多向多步思維。他們在掌握數(shù)學知識實

2、現(xiàn)課程目標的過程中，總是由最簡單的單向單步思維過渡到單向多步思維，乃至于發(fā)展到多向多步思維。我們知道，數(shù)學是訓練學生思維的廣播操。新課標要求我們把訓練學生的思維，培養(yǎng)學生的數(shù)學思想作為一項重要的工作來抓，因此我們要根據(jù)學生思維形成和發(fā)展的規(guī)律，對他們進行有計劃，有目的的訓練，由量變到質(zhì)變，在實現(xiàn)認知目標，情感目標和能力目標的同時，逐步實現(xiàn)思維應達到的目標形成創(chuàng)造性思維的能力。一、注重單向單步思維的訓練，形成牢固的思維基礎我們在實施數(shù)學教學活動中，學生的思維方向基本上是明確的，當他們遇到一個簡單的數(shù)學問題時，在大腦里立即產(chǎn)生一個單向的思維個體，而解決問題又只需一步完成，我們把這種從一個知識點到另

3、一個知識點，單方向，單步驟的思維稱為單向單身思維。簡要表示如下：起點（知識點） 終點（知識點） 例如，應用“同位角相等，兩直線平行”、 ，思維就是單向單步思維。單向單步思維是連續(xù)性思維的基礎，是思維的最小單元，思維的目的性明確，時間短。前人對這種思維非常重視，他們總是力圖把所有數(shù)學知識都濃縮在這一個個的單向單步思維單元里，由“因”到“果”，由“題設”到“結(jié)論”，總結(jié)出了許多公理、定理、公式，便于人們記憶，成為后人思維向前延伸的基石。思維的源泉是知識和信息。學生的單向單步思維就是對已有的人類思維成果的學習，包括簡單的重復，探索性的驗證，創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)。作為教師，主要是根據(jù)不同的情形，不同的學習內(nèi)容

4、，抓好這種思維品質(zhì)的培養(yǎng)。1.使他們的單向單步思維具有完備性。在教學中對照目標，啟發(fā)討論逐步的實現(xiàn)目標，做到有問有答，有布置有檢查，及時補充他們思維過程中的缺陷，克服半途而廢或弄個一知半解的壞毛病。例如學習等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形ABCD（ADBD）同一底角上的兩個角相等，使學生不僅知道B=C，而且要知道A=D。2.使他們的單向單步思維具有準確性。在教學中為了達到目標，要一步一個腳印，腳踏實地。只有每個單向單步思維的準確性，才能保證整個連續(xù)性思維的準確性，不然的話，思維的結(jié)果是錯誤的沒有意義。例如，當a=4時， ，算術平方根不能為負數(shù)，錯誤的原因在哪里呢？ ，而不是 ，結(jié)果功虧一簣。3.使他們

5、的單向單步思維具有活潑性。在教學中創(chuàng)設啟迪學生思維的環(huán)境，利用他們的好奇心，求知欲，根據(jù)學生不同的思維基礎，設立不同的思維目標，激發(fā)他們的積極思考。包括采用現(xiàn)代化的教學手段，把學生按座位分成學習小組或按能力分成學習小組，調(diào)動他們思維的積極性。盡量避免思維簡單的重復，力爭思維去探索性的驗證，鼓勵思維去創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)。使他們每一個人對自己的思維成果充滿信心。二、注重單向多步思維的訓練，加快學生思維的速度隨著單向單步思維的發(fā)展，便產(chǎn)生了單向多步思維。學生在明確的目標導向下，頭腦里的思維個體為實現(xiàn)目標幾步才能完成，思維活動從一個知識點到解決問題完畢要經(jīng)過幾個知識點，我們把這種單方向的，多步驟的思維稱為單

6、向多步思維。簡要表示如下：起點（知識點）知識點1知識點2終點（知識點）例如：在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式1234ab如圖，已知1=2 求證：3=4證明：1=2ab3=4都屬于單向多步思維。單向多步思維是單向單步思維的有機結(jié)合，連續(xù)的單向單步思維便形成了單向多步思維。單向單步思維和單向多步思維既有區(qū)別又沒有明顯的界線。隨著學生思維能力的提高，思維的步幅將發(fā)生變化。以前是單向多步思維的，后來變成了單向單步思維。例如做多項式乘法 ，兩步完成，掌握了這個結(jié)果之后，便只需 一步了。從中使我們認識到：學生學習數(shù)學知識的過程是一個不斷擴大思維幅度的過程。根據(jù)單向單步思維與單向多步思維的關系，我們便能清楚的認識到如何

7、開展啟發(fā)式教學。當我們提出的問題學生不能作答時，要考慮思維幅度是否過大，啟發(fā)教學就是逐步縮短思維的步幅，使其距離記憶在腦中的知識點近一些，直到他們能回答時為止。例如，計算（a+b-c）2思維過程：（a+b-c）2=（a+b）-c）2=（a+b）2-2(a+b)c+c2=a+b2+c2+2ab-2ac-2bc當學生不能作答時，啟發(fā)他們，你能把三項和的平方看著兩項和的平方嗎，例如（a+b）-c）2或a+（b-c）2，其中的（a+b）或(b-c)當成一個整體后，會運用完全平方公式計算嗎，逐步縮短思維的步幅，直到他們能夠答出結(jié)果，達到了啟而得發(fā)的目的。ABDC在教學中，我們要抓好學生課堂知識的形成性評

8、價，及時找出學生思維過程中的障礙，幫助他們掃除思維過程中的攔路虎，深刻揭示各知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，使其在單向多步思維過程中各單向單步思維能緊密銜接，不是出現(xiàn)盲點、空白、斷裂帶，而是暢通無阻，直達終點。例如，勾股定理，在RtABC中，是一些特殊的成比例的線段的關系。作CDAB， , 于是 利用符合特殊條件的切割線的性質(zhì)也可得到，如圖 ， 是 的切線 ，即 從而深刻揭示出這些知識的相互關系，使學生能夠融合貫通。完成任何一個思維過程都能起到很強的遷移的作用。在教學中抓好思維定勢的訓練。要求學生，除了記住公理、定理、公理外，還要多記住一些數(shù)學常識：幾個非負數(shù)之和為 ，則每個非負數(shù)為 ；三個連續(xù)自然數(shù)之積

9、能被3整除；對稱軸平行于y軸的拋物線與x軸交點間的距離是 = = （a是二次項系數(shù)，是判別式）等，就能不斷提高單向多步思維的速度。三、注重多向多步思維的訓練，提高學生思維的敏捷度數(shù)學知識的發(fā)展，出現(xiàn)了多方面的因素影響一個結(jié)論的時候，便要同時加以考慮，在大腦里產(chǎn)生了多方向，多步驟的思維稱為多向多步思維。例如：方程 ,有兩個正根，求p、q的取值范圍。思維過程： 類似的，多方向的思維，在幾何證明中，不勝枚舉。這些多方向的思維，有時會相互交替，相互影響，錯綜復雜，進展緩慢；有時即使牽涉到的知識點再多，但條理清楚，相互促進，進展順利。根據(jù)這種情形，在教學中，我們要抓緊階段性評價和綜合性評價，幫助學生認清

10、自己的思維的抗干擾能力如何。我們知道，部分學生在形成性評價過程中表現(xiàn)得還較好，但一進入階段性評價或綜合性評價，就錯誤百出，甚至不能動筆。一是隨著時間的增長不斷遺忘，二是思維抗干擾的能力太弱。例如，計算： 錯原式= 錯原式=(x+y)+(x-y)(x+y)-(x-y)=2x 2y，是形式的干擾，造成錯誤；是思維定勢的干擾，本不必分解因式，分解因式后沒有計算完畢，半途而廢?？芍苯佑嬎悖航猓涸? 因此，我們要采用類比，對比等形式的教學，提高他們思維的抗干擾能力。在教學中，我們要抓好知識的系統(tǒng)化傳授，幫助學生理清思維的脈絡，以便多向多步思維順利發(fā)展。解決問題快速準確。例如對一次函數(shù)的有關知識進行歸類

11、，系統(tǒng)化：一、不同條件下待定系數(shù)k,b；二、自變量取值范圍的變化在圖象上的反映，有的是直線，有的是射線，有的是線段或若干點；三是兩個一次函數(shù)圖像間的位置關系：平行、相交、關于X軸、y軸或原點對稱。幫助他們深刻理解，系統(tǒng)的掌握這部分知識。在教學中，我們要加強對學生多方向思維引導的同時，提高有效思維，抑制無效思維，從而提高思維的效率。例如，已知一元二次方程 （a0），在什么情況下（1）兩根均為正數(shù)；（2）兩根均為負數(shù)；（3）一根正一根負。一般情況，要考慮，兩根之和，兩根之積。引導學生通過分析，得到第三種情形不要考慮， ，= ， 因此，再遇到類似的問題，便不再考慮了，從而簡化了思維過程。在教學中，我們要加強一題多解的訓練，擴大學的思路，也就是增大學生的思維方向。例如。計算 ： ，按照所學的方法，一步一步的施行乘法運算，再合并同類項，得出結(jié)果后，提請他們思考，有沒有其它方法？思維過程：原式= 顯然，既簡單又明了。使學生在完