關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生思維訓(xùn)練的探討

1、思維是人類的一種重要活動(dòng)。人們對于它的研究、探討在不斷地發(fā)展進(jìn)步，甚至創(chuàng)造出了可以模仿人的思維活動(dòng)的電腦。在理論上取得的成果也頗豐，對于思維生理機(jī)能的揭示，還有從各個(gè)不同的角度對思維進(jìn)行的分類，（例如，有的把它分為形象思維有和抽象思維；有的把它分為求同思維和求異思維；有的認(rèn)為思維是聚斂的和發(fā)散型的；有的認(rèn)為思維有正向和逆向之分等），這些對于思維的進(jìn)一步研究，都有十分重要的價(jià)值。本人多年從事基礎(chǔ)教育，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維活動(dòng)進(jìn)行了一定的探討，把學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維活動(dòng)作了分層次劃分。我認(rèn)為，不妨把他們的思維活動(dòng)劃分成單向單步思維、單向多步思維和多向多步思維。他們在掌握數(shù)學(xué)知識實(shí)

2、現(xiàn)課程目標(biāo)的過程中，總是由最簡單的單向單步思維過渡到單向多步思維，乃至于發(fā)展到多向多步思維。我們知道，數(shù)學(xué)是訓(xùn)練學(xué)生思維的廣播操。新課標(biāo)要求我們把訓(xùn)練學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想作為一項(xiàng)重要的工作來抓，因此我們要根據(jù)學(xué)生思維形成和發(fā)展的規(guī)律，對他們進(jìn)行有計(jì)劃，有目的的訓(xùn)練，由量變到質(zhì)變，在實(shí)現(xiàn)認(rèn)知目標(biāo)，情感目標(biāo)和能力目標(biāo)的同時(shí)，逐步實(shí)現(xiàn)思維應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)形成創(chuàng)造性思維的能力。一、注重單向單步思維的訓(xùn)練，形成牢固的思維基礎(chǔ)我們在實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生的思維方向基本上是明確的，當(dāng)他們遇到一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)問題時(shí)，在大腦里立即產(chǎn)生一個(gè)單向的思維個(gè)體，而解決問題又只需一步完成，我們把這種從一個(gè)知識點(diǎn)到另

3、一個(gè)知識點(diǎn)，單方向，單步驟的思維稱為單向單身思維。簡要表示如下：起點(diǎn)（知識點(diǎn)） 終點(diǎn)（知識點(diǎn)） 例如，應(yīng)用“同位角相等，兩直線平行”、 ，思維就是單向單步思維。單向單步思維是連續(xù)性思維的基礎(chǔ)，是思維的最小單元，思維的目的性明確，時(shí)間短。前人對這種思維非常重視，他們總是力圖把所有數(shù)學(xué)知識都濃縮在這一個(gè)個(gè)的單向單步思維單元里，由“因”到“果”，由“題設(shè)”到“結(jié)論”，總結(jié)出了許多公理、定理、公式，便于人們記憶，成為后人思維向前延伸的基石。思維的源泉是知識和信息。學(xué)生的單向單步思維就是對已有的人類思維成果的學(xué)習(xí)，包括簡單的重復(fù)，探索性的驗(yàn)證，創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)。作為教師，主要是根據(jù)不同的情形，不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容

4、，抓好這種思維品質(zhì)的培養(yǎng)。1.使他們的單向單步思維具有完備性。在教學(xué)中對照目標(biāo)，啟發(fā)討論逐步的實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，做到有問有答，有布置有檢查，及時(shí)補(bǔ)充他們思維過程中的缺陷，克服半途而廢或弄個(gè)一知半解的壞毛病。例如學(xué)習(xí)等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形ABCD（ADBD）同一底角上的兩個(gè)角相等，使學(xué)生不僅知道B=C，而且要知道A=D。2.使他們的單向單步思維具有準(zhǔn)確性。在教學(xué)中為了達(dá)到目標(biāo)，要一步一個(gè)腳印，腳踏實(shí)地。只有每個(gè)單向單步思維的準(zhǔn)確性，才能保證整個(gè)連續(xù)性思維的準(zhǔn)確性，不然的話，思維的結(jié)果是錯(cuò)誤的沒有意義。例如，當(dāng)a=4時(shí)， ，算術(shù)平方根不能為負(fù)數(shù)，錯(cuò)誤的原因在哪里呢？ ，而不是 ，結(jié)果功虧一簣。3.使他們

5、的單向單步思維具有活潑性。在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)啟迪學(xué)生思維的環(huán)境，利用他們的好奇心，求知欲，根據(jù)學(xué)生不同的思維基礎(chǔ)，設(shè)立不同的思維目標(biāo)，激發(fā)他們的積極思考。包括采用現(xiàn)代化的教學(xué)手段，把學(xué)生按座位分成學(xué)習(xí)小組或按能力分成學(xué)習(xí)小組，調(diào)動(dòng)他們思維的積極性。盡量避免思維簡單的重復(fù)，力爭思維去探索性的驗(yàn)證，鼓勵(lì)思維去創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)。使他們每一個(gè)人對自己的思維成果充滿信心。二、注重單向多步思維的訓(xùn)練，加快學(xué)生思維的速度隨著單向單步思維的發(fā)展，便產(chǎn)生了單向多步思維。學(xué)生在明確的目標(biāo)導(dǎo)向下，頭腦里的思維個(gè)體為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)幾步才能完成，思維活動(dòng)從一個(gè)知識點(diǎn)到解決問題完畢要經(jīng)過幾個(gè)知識點(diǎn)，我們把這種單方向的，多步驟的思維稱為單

6、向多步思維。簡要表示如下：起點(diǎn)（知識點(diǎn)）知識點(diǎn)1知識點(diǎn)2終點(diǎn)（知識點(diǎn)）例如：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式1234ab如圖，已知1=2 求證：3=4證明：1=2ab3=4都屬于單向多步思維。單向多步思維是單向單步思維的有機(jī)結(jié)合，連續(xù)的單向單步思維便形成了單向多步思維。單向單步思維和單向多步思維既有區(qū)別又沒有明顯的界線。隨著學(xué)生思維能力的提高，思維的步幅將發(fā)生變化。以前是單向多步思維的，后來變成了單向單步思維。例如做多項(xiàng)式乘法 ，兩步完成，掌握了這個(gè)結(jié)果之后，便只需 一步了。從中使我們認(rèn)識到：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程是一個(gè)不斷擴(kuò)大思維幅度的過程。根據(jù)單向單步思維與單向多步思維的關(guān)系，我們便能清楚的認(rèn)識到如何

7、開展啟發(fā)式教學(xué)。當(dāng)我們提出的問題學(xué)生不能作答時(shí)，要考慮思維幅度是否過大，啟發(fā)教學(xué)就是逐步縮短思維的步幅，使其距離記憶在腦中的知識點(diǎn)近一些，直到他們能回答時(shí)為止。例如，計(jì)算（a+b-c）2思維過程：（a+b-c）2=（a+b）-c）2=（a+b）2-2(a+b)c+c2=a+b2+c2+2ab-2ac-2bc當(dāng)學(xué)生不能作答時(shí)，啟發(fā)他們，你能把三項(xiàng)和的平方看著兩項(xiàng)和的平方嗎，例如（a+b）-c）2或a+（b-c）2，其中的（a+b）或(b-c)當(dāng)成一個(gè)整體后，會運(yùn)用完全平方公式計(jì)算嗎，逐步縮短思維的步幅，直到他們能夠答出結(jié)果，達(dá)到了啟而得發(fā)的目的。ABDC在教學(xué)中，我們要抓好學(xué)生課堂知識的形成性評

8、價(jià)，及時(shí)找出學(xué)生思維過程中的障礙，幫助他們掃除思維過程中的攔路虎，深刻揭示各知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，使其在單向多步思維過程中各單向單步思維能緊密銜接，不是出現(xiàn)盲點(diǎn)、空白、斷裂帶，而是暢通無阻，直達(dá)終點(diǎn)。例如，勾股定理，在RtABC中，是一些特殊的成比例的線段的關(guān)系。作CDAB， , 于是 利用符合特殊條件的切割線的性質(zhì)也可得到，如圖 ， 是 的切線 ，即 從而深刻揭示出這些知識的相互關(guān)系，使學(xué)生能夠融合貫通。完成任何一個(gè)思維過程都能起到很強(qiáng)的遷移的作用。在教學(xué)中抓好思維定勢的訓(xùn)練。要求學(xué)生，除了記住公理、定理、公理外，還要多記住一些數(shù)學(xué)常識：幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和為 ，則每個(gè)非負(fù)數(shù)為 ；三個(gè)連續(xù)自然數(shù)之積

9、能被3整除；對稱軸平行于y軸的拋物線與x軸交點(diǎn)間的距離是 = = （a是二次項(xiàng)系數(shù)，是判別式）等，就能不斷提高單向多步思維的速度。三、注重多向多步思維的訓(xùn)練，提高學(xué)生思維的敏捷度數(shù)學(xué)知識的發(fā)展，出現(xiàn)了多方面的因素影響一個(gè)結(jié)論的時(shí)候，便要同時(shí)加以考慮，在大腦里產(chǎn)生了多方向，多步驟的思維稱為多向多步思維。例如：方程 ,有兩個(gè)正根，求p、q的取值范圍。思維過程： 類似的，多方向的思維，在幾何證明中，不勝枚舉。這些多方向的思維，有時(shí)會相互交替，相互影響，錯(cuò)綜復(fù)雜，進(jìn)展緩慢；有時(shí)即使?fàn)可娴降闹R點(diǎn)再多，但條理清楚，相互促進(jìn)，進(jìn)展順利。根據(jù)這種情形，在教學(xué)中，我們要抓緊階段性評價(jià)和綜合性評價(jià)，幫助學(xué)生認(rèn)清

10、自己的思維的抗干擾能力如何。我們知道，部分學(xué)生在形成性評價(jià)過程中表現(xiàn)得還較好，但一進(jìn)入階段性評價(jià)或綜合性評價(jià)，就錯(cuò)誤百出，甚至不能動(dòng)筆。一是隨著時(shí)間的增長不斷遺忘，二是思維抗干擾的能力太弱。例如，計(jì)算： 錯(cuò)原式= 錯(cuò)原式=(x+y)+(x-y)(x+y)-(x-y)=2x 2y，是形式的干擾，造成錯(cuò)誤；是思維定勢的干擾，本不必分解因式，分解因式后沒有計(jì)算完畢，半途而廢?？芍苯佑?jì)算：解：原式= 因此，我們要采用類比，對比等形式的教學(xué)，提高他們思維的抗干擾能力。在教學(xué)中，我們要抓好知識的系統(tǒng)化傳授，幫助學(xué)生理清思維的脈絡(luò)，以便多向多步思維順利發(fā)展。解決問題快速準(zhǔn)確。例如對一次函數(shù)的有關(guān)知識進(jìn)行歸類

11、，系統(tǒng)化：一、不同條件下待定系數(shù)k,b；二、自變量取值范圍的變化在圖象上的反映，有的是直線，有的是射線，有的是線段或若干點(diǎn)；三是兩個(gè)一次函數(shù)圖像間的位置關(guān)系：平行、相交、關(guān)于X軸、y軸或原點(diǎn)對稱。幫助他們深刻理解，系統(tǒng)的掌握這部分知識。在教學(xué)中，我們要加強(qiáng)對學(xué)生多方向思維引導(dǎo)的同時(shí)，提高有效思維，抑制無效思維，從而提高思維的效率。例如，已知一元二次方程 （a0），在什么情況下（1）兩根均為正數(shù)；（2）兩根均為負(fù)數(shù)；（3）一根正一根負(fù)。一般情況，要考慮，兩根之和，兩根之積。引導(dǎo)學(xué)生通過分析，得到第三種情形不要考慮， ，= ， 因此，再遇到類似的問題，便不再考慮了，從而簡化了思維過程。在教學(xué)中，我們要加強(qiáng)一題多解的訓(xùn)練，擴(kuò)大學(xué)的思路，也就是增大學(xué)生的思維方向。例如。計(jì)算 ： ，按照所學(xué)的方法，一步一步的施行乘法運(yùn)算，再合并同類項(xiàng)，得出結(jié)果后，提請他們思考，有沒有其它方法？思維過程：原式= 顯然，既簡單又明了。使學(xué)生在完