高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)重點(diǎn)定點(diǎn)、定值、范圍、最值問題

1、第 2 課時(shí)定點(diǎn)、定值、范圍、最值問題一、選擇題1設(shè)拋物線 y28x 的準(zhǔn)線與 x 軸交于點(diǎn) Q，若過點(diǎn) Q 的直線 l 與拋物線有公共點(diǎn)，則直線 l 的斜率的取值范圍是()A. 1，1B 2,222C1,1D4,4解析Q(2,0)，設(shè)直線 l 的方程為 y k(x 2)，代入拋物線方程，消去y 整理得 k2x2 (4k28)x4k20，由(4k28)2 4k24k2 64(1k2)0，解得 1 k1.答案C2 y2石家莊模擬已知P為雙曲線x1 上的點(diǎn)，點(diǎn) M 滿足 |OM ，2 (2017)C：916|1 取得最小值時(shí)點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為且OM0，則當(dāng) |PMPCPM|()912A.

2、5B. 5C 4D 5解析由 OMPM0，得 OMPM，根據(jù)勾股定理，求 |MP|的最小值可以轉(zhuǎn)化為求 |OP|的最小值，當(dāng) |OP|取得最小值時(shí)， 點(diǎn) P 的位置為雙曲線的頂點(diǎn) ( 3,0)，12而雙曲線的漸近線為4x3y0，所求的距離 d 5 ，故選 B.答案B3已知橢圓x2y2C 的方程為 16m2 1(m0)，如果直線y22 x 與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M 在 x 軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)F，則m 的值為()A2B22C8D2 32222x2解析根據(jù)已知條件得 c16 m ，則點(diǎn) (16m ，216 m )在橢圓 16y2 m21(m 0)上，16 m216m2 16 2m2 1，可得 m

3、 2 2.答案B22xy24若雙曲線 a2b21(a0，b0)的漸近線與拋物線yx 2有公共點(diǎn)，則此雙曲線的離心率的取值范圍是()A3 ， )B(3 ， )C(1,3D (1,3)b解析依題意可知雙曲線漸近線方程為 y x，與拋物線方程聯(lián)立消去 y 得 a2bx x 20.ab2222228a， ab 3a，漸近線與拋物線有交點(diǎn)，a 8 0，求得 bccea3.答案A2x25(2017 寶雞一模 )斜率為 1 的直線 l 與橢圓 4 y 1 相交于 A，B 兩點(diǎn)，則 |AB|的最大值為()45410810A2B.5C.5D.5解析設(shè) A，B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 (x1， 1，(x2， 2，y )

4、y )x24y24，直線 l 的方程為 yxt，由消去 y，y x t得 5x28tx 4(t21)0，84 t2 1則 x1x25t，x1x25.|AB|1 k2 |x1x2|1k2 x1x224x1x2 82 4 t214 2 2 t，254555t4 10 當(dāng) t 0 時(shí)， |AB|max 5 .答案C二、填空題x2y26已知雙曲線 a2b2 1(a 0，b0)的一條漸近線方程是y3x，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線 y216x 的焦點(diǎn)相同，則雙曲線的方程為_解析由條件知雙曲線的焦點(diǎn)為(4,0)，22a b 16，所以ba3，解得a 2， b 2 3，x2y2故雙曲線方程為 4 121.2 2x

5、y答案 4 12122 已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)在橢圓x y1 上，若 A 點(diǎn)坐標(biāo)為 (3,0)，|AM ，且72516| 1PM AM 0，則 |PM|的最小值是 _解析 PM ，AM0AM PM.|PM|2 |AP|2|AM|2|AP|21，橢圓右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn) A 的距離最小，故 |AP|min2，|PM|min 3.答案3平頂山模擬若雙曲線2y2221x 2x (y2)8 (2017)b 1(b 0)的一條漸近線與圓至多有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是_|02|解析雙曲線的漸近線方程為y bx，則有1，解得 b23，則 e21b22 1 b 4，e 1，1e2.答案(1,2三、解答題

6、x2y22 9.如圖，橢圓 E： 22 1(ab0)的離心率是2，點(diǎn) P(0,1)在短軸 CD 上，且 PCPDab 1.(1)求橢圓 E 的方程；(2)設(shè) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P 的動(dòng)直線與橢圓交于A， B 兩點(diǎn)是否存在常數(shù)，使得 OAOB PAPB為定值？若存在， 求 的值；若不存在， 請(qǐng)說明理由解 (1)由已知，點(diǎn) C，D 的坐標(biāo)分別為 (0， b)， (0，b) 又點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (0,1)，且 PCPD 1，1b2 1，于是c2，解得 a2，b 2.a2a2b2 c2.x2y2所以橢圓 E 方程為 4 2 1.(2)當(dāng)直線 AB 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 AB 的方程為 ykx1，A，

7、B 的坐標(biāo)分別為 (x1，y1)，(x2， y2)x2y2聯(lián)立 421，得 (2k21)x2 4kx 2 0.ykx1，其判別式(4k)2 8(2k2 1)0，4k2所以， x1 x2 2k2 1，x1x22k2 1. 2y12從而， OA PA x1OBPBxy x1x2(y1 1)(y2 1) (1)(1k2)x1x2k(x1 x2)1 4 k2 2 1 12 2k212.2k211所以，當(dāng) 1 時(shí)， 2k2 1 2 3. 3 為定值此時(shí)， OAPAOBPB當(dāng)直線 AB 斜率不存在時(shí)，直線AB 即為直線 CD， 此時(shí) OA PA OCPCOBPBODPD 2 1 3， 故存在常數(shù) 1，使得

8、 OAPA為定值 3.OBPB210(2016 浙江卷 )如圖，設(shè)橢圓 xa2y21(a1)(1)求直線 ykx1 被橢圓截得的線段長 (用 a，k 表示 )；(2)若任意以點(diǎn) A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3 個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍ykx1，解(1)設(shè)直線 y kx1 被橢圓截得的線段為AM，由 x22得(1a2y 1，2 222a2a k )xkx 0.2故 x10，x22a 2k2，1 a k222因此 |AM|1 x2 2a |k|2 1 k2k .|x|1 a k1(2)假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4 個(gè)，由對(duì)稱性可設(shè) y 軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn) P， Q，滿足 |AP

9、| |AQ|.記直線 AP，AQ 的斜率分別為 k1，k2，且 k1，k2 0， k1k2.22222a |k1 | 1k12a |k2| 1k2由 (1)知 |AP|22，|AQ|2 2，1a k11 a k22a2|k1| 1k122a2|k2| 1 k22故2222，1a k11 a k2所以22222222(k1 k2)11 k2a(21 20.ka )k k 由于 k1 k2，k1，k2 0 得 1k12k22 a2(2a2)k12k220，因此11222 121 1a(a 2)，k1k2因?yàn)槭疥P(guān)于 k1，k2 的方程有解的充要條件是1 a2(a2 2)1，所以 a 2.因此，任意以

10、點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3 個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為 1 a 2，ca212由 e aa得，所求離心率的取值范圍是0，2 .x2 y211(2016 湖南師大附中月考 )設(shè)雙曲線 C：a2b2 1(a 0，b 0)的一條漸近線與拋物線 y2x 的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x0，若 x0 1，則雙曲線 C 的離心率 e的取值范圍是()A. 1，6B( 2， )26C(1， 2)D. 2 ，b2b22b2解析不妨聯(lián)立 y ax與 yx 的方程，消去 y 得a2x x，由 x0 1知a21，c2 a22，故選 C.即21，故 e22，又 e 1，所以 1 ea答案Cx2y212(2017 河南省八

11、市質(zhì)檢 )已知雙曲線 a2b21(a0，b0)的離心率為 2，它的兩條漸近線與拋物線 y22px(p0)的準(zhǔn)線分別交于 A，B 兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)若 AOB 的面積為 3，則拋物線的準(zhǔn)線方程為()Ax 2B x 2Cx1Dx 1c解析因?yàn)?ea2，所以 c2a，b3a，雙曲線的漸近線方程為y 3x，p又拋物線的準(zhǔn)線方程為x 2，聯(lián)立雙曲線的漸近線方程和拋物線的準(zhǔn)線方p3pp3p程得 A 2，2，B 2，2，在AOB 中，|AB|3p，點(diǎn) O 到 AB 的p1p3，所以 p2，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x 1，距離為 ，所以 3p222故選 D.答案 D2213(2017 合肥診斷 )若點(diǎn) O

12、和點(diǎn) F 分別為橢圓 xy 1 的中點(diǎn)和左焦點(diǎn)，點(diǎn) P98 的最小值為 _為橢圓上的任一點(diǎn)，則 OPFP解析 點(diǎn) P 為橢圓 x2 y21上的任意一點(diǎn)，設(shè)， ，98P(x y)(3 x32 2 y2 2)，依題意得左焦點(diǎn) F(1,0)，OP(x，y)，F(xiàn)P(x1，y)，OPFP 22 728x21 x9 223x(x1)yxx9924 .3x3，39159 x9 2225x 2，24，22411 x92 2251 x9 2 2312，即 6OP 12，故最小值為9236，6924FP46.答案6x2y214(2017 衡水中學(xué)高三聯(lián)考 )已知橢圓C： a2b21(ab0)短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)

13、的連線構(gòu)成等邊三角形， 直線 3x4y 6 0 與圓 x2(yb)2a2 相切(1)求橢圓 C 的方程；(2)已知過橢圓 C 的左頂點(diǎn) A 的兩條直線 l 1， l2 分別交橢圓 C 于 M， N 兩點(diǎn)，且 l1l2，求證：直線 MN 過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下求 AMN 面積的最大值解 (1)由題意，得2即 C：x4 y2 1.a 2b，a2，|4b6| a， b1，5(2)由題意得直線 l1，l2 的斜率存在且不為0.1 A(2,0)，設(shè) l1 ：xmy2，l2 ：x my2，xmy2，2 2由 x2 4y2 40， 得 (m 4)y 4my 0，2m2 84m M m24 ，m2 4 .2 8m24m同理， N 4m2 1， 4m2 1 .5m m1 時(shí)， kMN4 m21 ，5m66