實驗曲線的繪制

1、用最小二乘法繪制實驗曲線 在做各種實驗中，可以獲得大量的數(shù)據。 一般的，我們都會在實驗之后，將這些實驗數(shù) 據進行某種處理，然后用圖形來描繪實驗結果。 用圖形來描繪要比提供一大堆枯燥的數(shù)據直 觀明了得多。 但是，因為實驗本身會受到各種具體因素的影響。比如：實驗儀器設備的精度、原材料 因素、工作人員的水平以及溫度等的影響，使得實驗數(shù)據測得的數(shù)據總會或多或少的帶有誤 差。也就是說，這些實驗數(shù)據本身就不精確。所以在繪制實驗曲線的時候，如果是按點點通 過將這些數(shù)據點連成曲線，那么這種看起來似乎很精確的方法恰恰是不符合實際情況的，因 而是不可取的。 正確的方法應該是用一條光滑的曲線，以適當?shù)姆绞絹肀平@些

2、數(shù)據點。因為曲線并不 通過每個數(shù)據點，所以可以彌補由于誤差造成的數(shù)據點的跳動 用一系列數(shù)據點(Xi, yi)(i=1，2，m)，所要繪制的曲線 y f (x)，用什么樣 的表尊來評價這條曲線是否處于較為合理的狀態(tài)呢？通常把數(shù)據點的坐標值與曲線上對應 的坐標之差 作為評判的標準。在這里： i f (Xi) yi 式中i成為殘差；f (Xi)為理論值；y為相應的實測值。 m 常用的評價方法是：使殘差的平方和-2達到最小。這也就是常說的“最小二乘法” i 1 用最小二乘法來繪制實驗曲線，其實質也就是要找一個經驗方程y f (x)來描述這些數(shù)據 點，并使每個點的 f(Xi)和yi之差的平方和為最小。所

3、以，第一步首先要根據數(shù)據點的分 布情況進行預測，該經驗方程可能是屬于什么類型。比如說是線性函數(shù)， 還是二次函數(shù)或其 他階次的多項式曲線。 用最小二乘法擬合直線 設有測得的數(shù)據點(Xi，yJ(i 1,2, ,m)，根據這些數(shù)據點的分布情況，預測到他們之 間呈線性關系，并設該線性方程為一般形式y(tǒng) aiX a2。于是，我們可以按最小二乘法的 原理建立起下面的式子: m 2 i i i (aiXia2 yi)2 i i a1和a2的函數(shù)，即 其中Xi, yi為測得的已知數(shù)據點的值，故這個方程可以看成是關于 是, 有兩個未知數(shù)ai和a2。這兩個未知數(shù)也就是我們預測的線性方程中的系數(shù)和常數(shù)項。 上式可改寫

4、成函數(shù)形式為: f總） (ai Xi a2 yi)2 根據最小二乘法的要求，要使 i2達到最小值。也就是要求ai和a2為何值時，該函 數(shù)f （ai，a2）能取得極小值。這是 個二元函數(shù)求極小值的條件的問題，其條件為: f (ai,a2) ai f (ai,a2) a2 2 即： 2 (aiXi a2 yi) (aiXi a2 yi) Xi 展開整理后的: ai ai Xi 2 Xi a2 m yi a2 Xi Xi yi 上式寫成矩陣形式為: Xi 2 Xi ai yi Xi a2 Xi yi 可以看出，現(xiàn)行方程組可以有唯一解。 這樣，求解該方程組可的未知系數(shù) ai和a2的值, 從而使得線性函

5、數(shù)表達式y(tǒng) aiX a2唯一確定，并可根據該表達式繪出圖形。 用最小二乘法擬合二次以上多項式曲線 設有二次多項式為: 2 yaiX a?x a3，那么，我們可以類似的建立起一個多項式的 線性方程組如下: 2 xi xi m a1 3 2 xi xi xi a2 4 3 2 xi xi xi a3 對于 n 次多項式： y a1xn a2x n1 yi yixi 2 yi xi an xan 1 xm a1 yi 2 xix a2 yi xi n1n n xixi an yixi (n+1) x (n+1) 的方陣，有 n+1 個未知數(shù)， 1給出全部數(shù)據點 (xi,yi )(i1,2, ,m)

6、，并確定所需階次 n。 可以相應地建立起線性方程組為： n n 1 xixi n 1 n xixi 2n 2n 1 xixi 由上式表示的線性方程組中，系數(shù)矩陣為 即 ai(i 1,2, ,n 1) ，常數(shù)項由 n+1 個，所以線性方程組有唯一解。 我們可以用高斯校園 法求解除方程組中的全部未知數(shù)：a1,a2, ,an 1。從而使得所設知n次多項式為已知。然 后可以根據該多項式，使用差值的方法計算出繪圖用數(shù)據點。 對于階次 n 的取值，一般不要超過 7。過高的階次不僅會增加運算工作量，并且還會使曲線 產生不必要的抖動。具體的取值可以根據實際情況而定，以擬合處最為理想的曲線為準則。 解題過程 下

7、面，我們總結歸納一下最小二乘法解題編成的思路和步驟。 2按照下式，建立系數(shù)增廣矩陣： n xi n1 xi n1 xi n xi xi 2 xi m xi yi yi xi 2n 2n 1 n1 n n xi2n xi2n xin 1 xin yi xin 設該增廣矩陣為 P,它是- 個( n+1) x (n+2)的矩陣，其中每個兀素的賦值式為 pj ,k nj xi k (j 1,2, ,n 1;k 1,2, ,n 1) j1 xi yi ( j 1,2, ,n 1;k n 2) 3用高斯消元法解線性方程組 將增廣矩陣P化為上三角矩陣Q，使對角線上元素全為1 1 q1,2 q1, 3 0 1 q2, 3 0 0 1 q1,n q1,n 1 q1,n 2 q2 ,nq2,n 1 q2,n 2 1qn,n 1 1 qn, n 2 qn 1,n 2 然后用追趕法解出全部未知