哈工大課件——第8章非正弦周期電流電路

1、1傅里葉級(jí)數(shù) 說(shuō)明： 奇、偶函數(shù)與計(jì)時(shí)起點(diǎn)有關(guān)，奇次諧波函數(shù)與計(jì)時(shí)起點(diǎn)無(wú)關(guān) 級(jí)數(shù)收斂快慢與波形光滑程度及接近正弦波程度有關(guān) 當(dāng)存在上述任何一個(gè)條件時(shí)，諧波分析可簡(jiǎn)化如下： a 不必計(jì)算等于零的系數(shù) b 計(jì)算非零系數(shù)時(shí)，積分區(qū)間可減半，同時(shí)積分式乘以2。 線性電路在非正弦周期激勵(lì)時(shí)的穩(wěn)態(tài)分析步驟： * * 本章目次 1 非正弦周期電流和電壓 2 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) 3非正弦周期量的有效值、平均功率 4 非正弦周期電流電路的計(jì)算 隨著科技的發(fā)展，非正弦周期函數(shù)的電流和電壓愈加普遍。本章介紹應(yīng)用傅里葉級(jí)數(shù)和疊加定理分析非正弦周期電流電路的方法，討論非正弦周期電流、電壓有效值和平均功率的計(jì)算，簡(jiǎn)

2、要介紹非正弦周期信號(hào)頻譜的概念和對(duì)稱三相電路中的諧波。 1. 非正弦周期電流的產(chǎn)生 2 ） 非正弦周期電壓源或電流源（例如方波、鋸齒波） 引起的響應(yīng)也是非正弦周期量，如何求響應(yīng)？ 引起的電流便是非正弦周期電流， 解決方法是？ 1 ） 當(dāng)電路中有多個(gè)不同頻率的電源同時(shí)作用，如圖所示 圖 不同頻率電源作用的電路 基本要求：初步了解非正弦信號(hào)產(chǎn)生的原因。 根據(jù)疊加定理，分別計(jì)算不同頻率的響應(yīng)，然后將瞬時(shí)值結(jié)果疊加。 3 ） 有非線性元件引起的非正弦周期電流或電壓。例如，由半波整流，全波整流得到的電壓，電流 非正弦周期電流電路分析方法：諧波分析法 這些非正弦周期函數(shù)首先分解為不同頻率的傅里葉級(jí)數(shù)，然后

3、求解不同頻率的正弦激勵(lì)的響應(yīng)，最后將瞬時(shí)值結(jié)果疊加 。 響應(yīng)也是非正弦周期量，如何求響應(yīng)？ 周期為T ，角頻率為的周期函數(shù) f ( t ) 可表示為 當(dāng)其滿足狄里赫利條件即： 1) f ( t ) 在任何一個(gè)周期內(nèi)，連續(xù)或存在有限個(gè)間斷點(diǎn)； 2) f ( t ) 在任何一個(gè)周期內(nèi)，只有有限個(gè)極大值和極小值； 3) 在任何一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)絕對(duì)值的積分為有界值， f ( t )可以分解為如下的傅里葉級(jí)數(shù) 基本要求：掌握傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式，理解諧波概念。 在電路分析中，一般用傅里葉級(jí)數(shù)的另一種形式。 (8.1)、(8.6)式比較，得 是角頻率, T是 f ( t )的周期。 2諧波分析 將周期函數(shù)

4、分解為恒定分量、基波分量和各次諧 波的方法。 諧波振幅Amk隨角頻率 k變動(dòng)的情形如圖8.3所示 圖中豎線稱為譜線，長(zhǎng)度表示Amk的量值；相鄰兩譜線的間隔等于基波角頻率。這種譜線間具有一定間隔的頻譜稱為離散頻譜。同樣可以畫出相位頻譜，用以表示各次諧波的初相 隨角頻率k變動(dòng)的情形。 恒定分量（直流分量） k =1 基波； 基波振幅 ， 基波初相 k =2,3,等 分別稱為二次，三次諧波，統(tǒng)稱為高次諧波 由于傅里葉級(jí)數(shù)是收斂的，一般諧波次數(shù)越高，振幅越小 求圖所示周期性方波的傅里葉展開(kāi)式，并畫其頻譜。 根據(jù)下式求A0、ak和bk 所給波形在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式： 因?yàn)閍k=0，所以 于是得到 說(shuō)明:

5、 式中引入新的正整數(shù) n 以區(qū)別原來(lái)的正整數(shù) k 。 圖8.4 周期性方波 這一方波的分解情況如圖8.5所示 圖8.5 周期性方波的波形分解 直流分量 基波分量 3 次諧波分量 方波振幅頻譜和相位頻譜如下所示 圖8.6 周期性方波的振幅頻譜和相位頻譜 傅里葉級(jí)數(shù)式 只含有正弦項(xiàng), 不含恒定分量和余弦項(xiàng),因?yàn)楹愣ǚ至亢陀嘞翼?xiàng)都是偶函數(shù). 3.1 f (t)為奇函數(shù)如圖 周期性奇函數(shù) 3. 周期函數(shù)的波形與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 當(dāng)周期函數(shù)的波形具有某種對(duì)稱性質(zhì)時(shí)，利用函數(shù)對(duì)稱性可使系數(shù)A0、ak、bk的確定簡(jiǎn)化。 傅里葉級(jí)數(shù)中只含有余弦項(xiàng)和恒定分量(當(dāng)A00時(shí)), 而沒(méi)有正弦項(xiàng), 這是因?yàn)檎翼?xiàng)都是奇

6、函數(shù)。 即 時(shí)，函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 3.2 f (t)為偶函數(shù)，即 函數(shù)對(duì)稱于縱軸，如圖 周期性偶函數(shù) 3.3 f(t)為鏡像對(duì)稱函數(shù)如圖 上下半波鏡像對(duì)稱的函數(shù) 展開(kāi)式中只有奇次諧波。計(jì)算奇次諧波系數(shù)，只需計(jì)算半個(gè)周期內(nèi)積分 即 ，A0=0 解 f (t)=-f(-t)，A0=0，ak=0，只需求 bk f(t)=-f(tT/2)，展開(kāi)式中只有奇次諧波 存在兩個(gè)對(duì)稱條件，可在T /4內(nèi)積分，并乘以4 三角波的振幅頻譜如圖所示 三角波的頻譜圖 其諧波振幅與k 2成反比 補(bǔ)充8.1 求圖所示三角波的傅里葉展開(kāi)式 代入 f ( t )的波形圖 f ( t )的傅里葉級(jí)數(shù) 下面是幾種常見(jiàn)周期函數(shù)的傅

7、里葉級(jí)數(shù) f ( t )的波形圖 f ( t )的傅里葉級(jí)數(shù) 幾種常見(jiàn)周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 1當(dāng)給出函數(shù) f ( t ) 在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式，便可以直接代入上式計(jì)算有效值。 補(bǔ)充8.2 計(jì)算圖示方波的有效值 解 寫出所給波形在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式 有效值：周期量的有效值等于其瞬時(shí)值的方均根值，即 基本要求：透徹理解非正弦周期量有效值和平均功率的定義。 2正弦級(jí)數(shù)形式求有效值 代入式 得 根據(jù)： 分別稱為基波、二次諧波的有效值 式(8.17)表明任意周期量的有效值等于它的恒定分量、基波分量與各諧波分量有效值的平方和的平方根，與各次諧波初相無(wú)關(guān)。 設(shè)一端口網(wǎng)絡(luò)的端口電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向，則其輸

8、入的瞬時(shí)功率為 ? p=u i 其平均功率就是瞬時(shí)功率在一周期內(nèi)的平均值，即 平均功率 已知周期電流 ，求其有效值。 式中 Uk 、I k分別為第 k 次諧波電壓和電流的有效值， 為第 k 次諧波電壓與電流間的相位差 非正弦周期電流電路的平均功率等于恒定分量、基波分量和各次諧波分量分別產(chǎn)生的平均功率之和。同時(shí)說(shuō)明：不同頻率的電壓和電流不產(chǎn)生平均功率。 已知某無(wú)獨(dú)立電源的一端口網(wǎng)絡(luò)的端口電壓、電流為 求一端口網(wǎng)絡(luò)輸入的平均功率。 ? N + u ? i 補(bǔ)充8.3 圖示電路中，已知 u=100cos(t/s?45?)+50cos(2t/s)+25cos(3t/s+45?)V , i=80cos(

9、t/s)+20cos(2t/s)+10cos(3t/s)mA。 (1)求一端口網(wǎng)絡(luò)N的電壓u和電流i的有效值。 (2)求一端口網(wǎng)絡(luò)N消耗的平均功率。 (3)求各頻率時(shí)N的輸入阻抗。 補(bǔ)充8.4 求圖（a）負(fù)載吸收的功率, 電流波形如圖（b）所示 + - u i V 10 負(fù)載網(wǎng)絡(luò) T i t （a） （b） 1) 把給定的非正弦周期性激勵(lì)分解為恒定分量和各諧波分量。 2) 分別計(jì)算電路在上述恒定分量和各諧波分量單獨(dú)作用下的響應(yīng)。求恒定分量響應(yīng)要用計(jì)算直流電路的方法；求各次諧波分量的響應(yīng)，則要應(yīng)用計(jì)算正弦電流電路的方法（相量法）。 其中，電感、電容對(duì)k次諧波的電抗分別為 XL1為基波感抗 XC1為基波容抗 3) 根據(jù)疊加定理，把恒定分量和各諧波分量的響應(yīng)相量轉(zhuǎn)化為瞬時(shí)表達(dá)式后進(jìn)行疊加。 基本要求：熟練掌握用疊加定理分析非正弦周期電流電路的方法。 圖示電路中 . (1)求電流源的端電壓u及其有效值；(2) 求電流源發(fā)出的平均功率。 (a) 直流分量作用，電路模型如圖(b)所示 （b） 交流分量作用相量模型如圖(c)所示。節(jié)點(diǎn)法求電流源端電壓相量 （c） 電流源的端電壓及其有效值分別為 電流源發(fā)出的平均功率 補(bǔ)充8.5 圖(a) 所示電路，電源電壓 求各支路電流和電源發(fā)出的平均功率；在 支路串一電磁式儀表，計(jì)算該表讀數(shù)。 u(t) R1 R2