哈工大課件——第8章非正弦周期電流電路

1、1傅里葉級數 說明： 奇、偶函數與計時起點有關，奇次諧波函數與計時起點無關 級數收斂快慢與波形光滑程度及接近正弦波程度有關 當存在上述任何一個條件時，諧波分析可簡化如下： a 不必計算等于零的系數 b 計算非零系數時，積分區(qū)間可減半，同時積分式乘以2。 線性電路在非正弦周期激勵時的穩(wěn)態(tài)分析步驟： * * 本章目次 1 非正弦周期電流和電壓 2 周期函數分解為傅里葉級數 3非正弦周期量的有效值、平均功率 4 非正弦周期電流電路的計算 隨著科技的發(fā)展，非正弦周期函數的電流和電壓愈加普遍。本章介紹應用傅里葉級數和疊加定理分析非正弦周期電流電路的方法，討論非正弦周期電流、電壓有效值和平均功率的計算，簡

2、要介紹非正弦周期信號頻譜的概念和對稱三相電路中的諧波。 1. 非正弦周期電流的產生 2 ） 非正弦周期電壓源或電流源（例如方波、鋸齒波） 引起的響應也是非正弦周期量，如何求響應？ 引起的電流便是非正弦周期電流， 解決方法是？ 1 ） 當電路中有多個不同頻率的電源同時作用，如圖所示 圖 不同頻率電源作用的電路 基本要求：初步了解非正弦信號產生的原因。 根據疊加定理，分別計算不同頻率的響應，然后將瞬時值結果疊加。 3 ） 有非線性元件引起的非正弦周期電流或電壓。例如，由半波整流，全波整流得到的電壓，電流 非正弦周期電流電路分析方法：諧波分析法 這些非正弦周期函數首先分解為不同頻率的傅里葉級數，然后

3、求解不同頻率的正弦激勵的響應，最后將瞬時值結果疊加 。 響應也是非正弦周期量，如何求響應？ 周期為T ，角頻率為的周期函數 f ( t ) 可表示為 當其滿足狄里赫利條件即： 1) f ( t ) 在任何一個周期內，連續(xù)或存在有限個間斷點； 2) f ( t ) 在任何一個周期內，只有有限個極大值和極小值； 3) 在任何一個周期內，函數絕對值的積分為有界值， f ( t )可以分解為如下的傅里葉級數 基本要求：掌握傅里葉級數的三角形式，理解諧波概念。 在電路分析中，一般用傅里葉級數的另一種形式。 (8.1)、(8.6)式比較，得 是角頻率, T是 f ( t )的周期。 2諧波分析 將周期函數

4、分解為恒定分量、基波分量和各次諧 波的方法。 諧波振幅Amk隨角頻率 k變動的情形如圖8.3所示 圖中豎線稱為譜線，長度表示Amk的量值；相鄰兩譜線的間隔等于基波角頻率。這種譜線間具有一定間隔的頻譜稱為離散頻譜。同樣可以畫出相位頻譜，用以表示各次諧波的初相 隨角頻率k變動的情形。 恒定分量（直流分量） k =1 基波； 基波振幅 ， 基波初相 k =2,3,等 分別稱為二次，三次諧波，統(tǒng)稱為高次諧波 由于傅里葉級數是收斂的，一般諧波次數越高，振幅越小 求圖所示周期性方波的傅里葉展開式，并畫其頻譜。 根據下式求A0、ak和bk 所給波形在一個周期內的表達式： 因為ak=0，所以 于是得到 說明:

5、 式中引入新的正整數 n 以區(qū)別原來的正整數 k 。 圖8.4 周期性方波 這一方波的分解情況如圖8.5所示 圖8.5 周期性方波的波形分解 直流分量 基波分量 3 次諧波分量 方波振幅頻譜和相位頻譜如下所示 圖8.6 周期性方波的振幅頻譜和相位頻譜 傅里葉級數式 只含有正弦項, 不含恒定分量和余弦項,因為恒定分量和余弦項都是偶函數. 3.1 f (t)為奇函數如圖 周期性奇函數 3. 周期函數的波形與傅里葉系數的關系 當周期函數的波形具有某種對稱性質時，利用函數對稱性可使系數A0、ak、bk的確定簡化。 傅里葉級數中只含有余弦項和恒定分量(當A00時), 而沒有正弦項, 這是因為正弦項都是奇

6、函數。 即 時，函數關于原點對稱， 3.2 f (t)為偶函數，即 函數對稱于縱軸，如圖 周期性偶函數 3.3 f(t)為鏡像對稱函數如圖 上下半波鏡像對稱的函數 展開式中只有奇次諧波。計算奇次諧波系數，只需計算半個周期內積分 即 ，A0=0 解 f (t)=-f(-t)，A0=0，ak=0，只需求 bk f(t)=-f(tT/2)，展開式中只有奇次諧波 存在兩個對稱條件，可在T /4內積分，并乘以4 三角波的振幅頻譜如圖所示 三角波的頻譜圖 其諧波振幅與k 2成反比 補充8.1 求圖所示三角波的傅里葉展開式 代入 f ( t )的波形圖 f ( t )的傅里葉級數 下面是幾種常見周期函數的傅

7、里葉級數 f ( t )的波形圖 f ( t )的傅里葉級數 幾種常見周期函數的傅里葉級數 1當給出函數 f ( t ) 在一個周期內的表達式，便可以直接代入上式計算有效值。 補充8.2 計算圖示方波的有效值 解 寫出所給波形在一個周期內的表達式 有效值：周期量的有效值等于其瞬時值的方均根值，即 基本要求：透徹理解非正弦周期量有效值和平均功率的定義。 2正弦級數形式求有效值 代入式 得 根據： 分別稱為基波、二次諧波的有效值 式(8.17)表明任意周期量的有效值等于它的恒定分量、基波分量與各諧波分量有效值的平方和的平方根，與各次諧波初相無關。 設一端口網絡的端口電壓、電流取關聯(lián)參考方向，則其輸

8、入的瞬時功率為 ? p=u i 其平均功率就是瞬時功率在一周期內的平均值，即 平均功率 已知周期電流 ，求其有效值。 式中 Uk 、I k分別為第 k 次諧波電壓和電流的有效值， 為第 k 次諧波電壓與電流間的相位差 非正弦周期電流電路的平均功率等于恒定分量、基波分量和各次諧波分量分別產生的平均功率之和。同時說明：不同頻率的電壓和電流不產生平均功率。 已知某無獨立電源的一端口網絡的端口電壓、電流為 求一端口網絡輸入的平均功率。 ? N + u ? i 補充8.3 圖示電路中，已知 u=100cos(t/s?45?)+50cos(2t/s)+25cos(3t/s+45?)V , i=80cos(

9、t/s)+20cos(2t/s)+10cos(3t/s)mA。 (1)求一端口網絡N的電壓u和電流i的有效值。 (2)求一端口網絡N消耗的平均功率。 (3)求各頻率時N的輸入阻抗。 補充8.4 求圖（a）負載吸收的功率, 電流波形如圖（b）所示 + - u i V 10 負載網絡 T i t （a） （b） 1) 把給定的非正弦周期性激勵分解為恒定分量和各諧波分量。 2) 分別計算電路在上述恒定分量和各諧波分量單獨作用下的響應。求恒定分量響應要用計算直流電路的方法；求各次諧波分量的響應，則要應用計算正弦電流電路的方法（相量法）。 其中，電感、電容對k次諧波的電抗分別為 XL1為基波感抗 XC1為基波容抗 3) 根據疊加定理，把恒定分量和各諧波分量的響應相量轉化為瞬時表達式后進行疊加。 基本要求：熟練掌握用疊加定理分析非正弦周期電流電路的方法。 圖示電路中 . (1)求電流源的端電壓u及其有效值；(2) 求電流源發(fā)出的平均功率。 (a) 直流分量作用，電路模型如圖(b)所示 （b） 交流分量作用相量模型如圖(c)所示。節(jié)點法求電流源端電壓相量 （c） 電流源的端電壓及其有效值分別為 電流源發(fā)出的平均功率 補充8.5 圖(a) 所示電路，電源電壓 求各支路電流和電源發(fā)出的平均功率；在 支路串一電磁式儀表，計算該表讀數。 u(t) R1 R2