2021_2022學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章解三角形2三角形中的幾何計算學(xué)案含解析北師大版必修5202103151223

1、2三角形中的幾何計算 關(guān)鍵能力合作學(xué)習(xí)類型一求線段長度問題(直觀想象)1.(2020鎮(zhèn)江高一檢測)已知ABC中,AB=2,BC=3,CA=4,則BC邊上的中線AM的長度為()A.B.C.2D.2.在ABC中,A=105,B=30,a=,則B的角平分線的長是()A.B.2C.1D.3.如圖所示,在四邊形ABCD中,ADCD,AD=10,AB=14,BDA=60,BCD=135,求BC的長.【解析】1.選A.延長AM至D,使MD=AM,連接BD,CD,如圖所示:由題意知四邊形ABDC是平行四邊形,且滿足AD2+BC2=2(AB2+AC2),即32+(2AM)2=2(22+42),解得AM=,所以B

2、C邊上的中線AM的長度為.2.選C.設(shè)B的角平分線的長為BD.易知ACB=180-105-30=45,BDC=180-15-45=120.在CBD中,有=,可得BD=1.3.在ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,設(shè)BD=x,則有142=102+x2-210xcos 60,所以x2-10x-96=0,所以x1=16,x2=-6(舍去),所以BD=16.在BCD中,由正弦定理知=,所以BC=sin 30=8.1.三角形的高的計算公式在ABC中,邊BC,CA,AB對應(yīng)的邊長分別為a,b,c,邊上的高分別記為ha,hb,hc,則ha=bsin C=csin B,hb=

3、csin A=asin C,hc=asin B=bsin A.2.求線段長度問題的解題策略在平面幾何中,求線段的長度往往歸結(jié)為求三角形的邊長,求三角形邊長一般會涉及正弦、余弦定理及勾股定理,恰當(dāng)?shù)剡x擇或構(gòu)造三角形是解這類問題的關(guān)鍵.【補(bǔ)償訓(xùn)練】 (2020福州高一檢測)在ABC中,AB=2,C=,則AC+BC的最大值為()A.4B.3C.2D.【解析】選A.在ABC中,AB=2,C=,則ABC外接圓直徑2R=4,AC+BC=4sin B+4sin A=4sin+4sin A=4sin(A+),其中sin =,cos =,由于0A,0,所以0A+b,則B等于()A.B.C.D.(2)如圖,在AB

4、C中,D是AC邊上的點,且AB=AD=BD,BC=2BD,則sin C的值是.【解析】(1)選A.根據(jù)正弦定理知asin Bcos C+csin Bcos A=b等價于sin Acos C+sin Ccos A=,即sin(A+C)=.因為ab,所以A+C=,所以B=.(2)設(shè)AB=x,則AD=x,BD=x,BC=x.在ABD中,由余弦定理得cos A=,則sin A=.在ABC中,由正弦定理得=,解得sin C=.答案:類型三平面幾何中的面積及最值問題(數(shù)學(xué)運算、邏輯推理)角度1三角形面積求解問題【典例】(2020啟東高一檢測)在ABC中,AB=1,AC=,BC=2,D為ABC所在平面內(nèi)一點

5、,且=2+,則BCD的面積為()A.2B.C.D.【思路導(dǎo)引】由題意作圖得矩形,利用三角形面積公式求解即可.【解析】選D.由題可作如圖所示的矩形,則易知BCA=,則BCD=,則sinBCD=,所以SBCD=BCDCsinBCD=23=.(2020泰安高一檢測)在ABC中,已知A=60,b=16,SABC=220,那么a等于()A.20B.41C.49D.51【解析】選C.由于A=60,b=16,SABC=220,則SABC=bcsin A=220,解得c=55.在ABC中,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=2 041,解得a=49或a=-49(舍去).角度2三角形面積最值問題【

6、典例】已知ABC的外接圓半徑為R,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sin B,求ABC面積的最大值.【思路導(dǎo)引】依據(jù)題設(shè)條件寫出面積的表達(dá)式,然后求最值.【解析】由正弦定理得a2-c2=(a-b)b,即a2+b2-c2=ab.由余弦定理得cos C=,因為C(0,),所以C=.所以S=absin C=2Rsin A2Rsin B=R2sin Asin B=R2sin Asin=R2sin A=R2(sin Acos A+sin2A)=R2=R2.因為A,所以2A-,所以sin,所以S,所以面積S的最大值為R2.1.公式(1)三角形面積公式

7、S=ah.(2)三角形面積公式的推廣S=absin C=bcsin A=casin B.(3)S=r(a+b+c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑).2.求三角形面積取值問題的解題策略一般先求出面積與三角形的邊(或角)之間的函數(shù)關(guān)系式(注意消元),再利用三角函數(shù)的有界性、二次函數(shù)等方法來求面積的最值.1.(2020西安高一檢測)在ABC中,a,b,c分別為A,B,C的對邊,如果a,b,c成等差數(shù)列,B=30,ABC的面積為,那么b=()A.B.1+C.D.2+【解析】選B.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B,又面積SABC=acsin B=ac=,即a

8、c=6.因為a,b,c成等差數(shù)列,所以a+c=2b,代入上式可得b2=4b2-12-6,整理得b2=4+2,解得b=1+.2.(2020南昌高一檢測)在ABC中,已知B=45,C=60,a=2(+1),則ABC的面積S=.【解析】A=180-45-60=75,=,=,所以b=4,S=absin C=6+2.答案:6+23.已知圓O的半徑為,在它的內(nèi)接ABC中,有2(sin2A-sin2C)=(a-b)sin B成立,求ABC面積S的最大值.【解析】因為ABC的外接圓的半徑R=,由已知條件得(2R)2(sin2A-sin2C)=2Rsin B(a-b),所以a2-c2=ab-b2,所以cos C

9、=,因為C(0,),所以C=,A+B=.所以S=absin C=ab=4R2sin Asin B=2sin Asin=2sin A=2(sin Acos A+sin2A)=2=sin+1.所以當(dāng)2A-=,即A=時,面積S取得最大值+1.課堂檢測素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若A=120,c=2b,則cos C=()A.B.C.D.【解析】選C.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得a2=b2+4b2+2b2=7b2,故a=b,故cos C=.2.ABC的兩邊長分別為2,3,其夾角的余弦值為,則其外接圓的直徑為()A.B.C.D.9【解析】選B.設(shè)另一條邊的邊長為x,則x2=22+32-223,所以x2=9,所以x=3.設(shè)cos =,則sin =,所以2R=.3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)(2020丹陽高一檢測)在ABC中,若AB=3,BC=,AC=4,則AC邊上的高為()A.B.C.D.3【解析】選B.由題意可知,cos A=,所以sin A=.又因為SABC=ABACsin A=ACh,所以h=,即AC邊上的高為.4.如圖,在四邊形ABCD