含參變量無窮積分一致收斂性的判斷技巧與應(yīng)用

1、第 21 卷 第 8 期牡丹江大學(xué)學(xué)報Vol.21 No.82012 年 8 月Journal of Mudanjiang UniversityAug. 2012文章編號：1008-8717（2012）08-0119-04含參變量無窮積分一致收斂性的判斷技巧與應(yīng)用劉 紅 玉（隴南師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系, 甘肅 成縣 ）摘 要：在探討各類數(shù)學(xué)分析教材中關(guān)于含參變量無窮積分的定義和判斂方法的基礎(chǔ)上,通過幾個常見問題 的分析解答,歸納出含參變量無窮積分一致收斂性的判斷的若干技巧,并討論了含參變量無窮積分在學(xué)習(xí)和實踐中的 應(yīng)用價值.關(guān)鍵詞：含參變量反常積分；一致收斂性；類比；探索式教學(xué)中圖分類號：G6

2、42 文獻標(biāo)識碼：A含參變量無窮積分是分析學(xué)中的重要內(nèi)容，但在教學(xué)的過程中學(xué)生很難掌握.一致收斂是含參變量無窮積分的一 個重要性質(zhì).有效地判別含參變量無窮積分的一致收斂對進一步研究含參變量無窮積分的性質(zhì)起著重要的作用.本文 對含參變量無窮積分的一致收斂性的判斷方法做了總結(jié)并指出了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)注意的問題，以便學(xué)生平時學(xué) 習(xí)或考研時參考.反常積分包括無窮區(qū)間積分和無界函數(shù)反常積分兩種形式.本文只討論在區(qū)間 a,+ )上的無窮區(qū)間+ b無窮積分 a f (x,u)dx .對于 f (x,u)dx ，以及無界函數(shù)的反常積分，可以類似地得到相應(yīng)的結(jié)果.一、含參變量無窮積分一致收斂性的判斷方法的歸納

3、和總結(jié)1利用定義判斷若 a+ f (x,u)dx 對 u I 逐點收斂，要證明 a+ f (x,u)dx 在 I 上一致收斂，即要證明 A+ f (x,u)dx 在 I上一致收斂于 0 （當(dāng) A + 時）即： 0, A0 0, 當(dāng) A A0 時有A+ f (x,u)dx 0,A 0, A A 及 u I ，使得+ f (x,u )dx .00101A1012利用 Cauchy 準(zhǔn)則判斷+ af (x,u)dx 在 I 上一致收斂的充要條件是 0, A0 A0 時，有 a, 當(dāng) A AAA12 f (x,u)dx 判斷一致收斂的 M 判別法， Abel 與 Dirichlet 判別法也是根據(jù) C

4、auchy 準(zhǔn)則證明出來的.3Weierstass 判別法（ M 判別法）設(shè) a+ f (x,u)dx 在 u I 上收斂，如果（1） f (x,u) F (x)(x a,u I ) ，（2） a+ F (x)dx 收斂，則 a+ f (x,u)dx 關(guān)于 u I 一致收斂.收稿日期：2012-05-20作者簡介：劉紅玉（1980），女，甘肅清水人，講師，研究方向：數(shù)學(xué)分析和概率統(tǒng)計的教學(xué)和研究。 119使用 M 判別法，關(guān)鍵在于將被積函數(shù)的絕對值 f (x,u) 適當(dāng)?shù)胤糯?，以找出函?shù) F(x) （優(yōu)函數(shù)），使得f (x,u) F (x)(x a,u I ) 且 a+ F (x)dx 收斂.

5、則 a+ f (x,u)dx 關(guān)于 u 在 I 上一致收斂.在判別函數(shù)項級數(shù)(函數(shù)列)一致收斂時，需要對某些表達式進行適當(dāng)放大，從而達到判別函數(shù)項級數(shù)(函數(shù)列)一 致收斂，這種方法叫放大法.值得注意的是上面說的是判別含參變量無窮積分的一致收斂常用的三個判別法則.從這三 個法則我們可以看出無論是用哪一個定理，要實現(xiàn)對含參變量無窮積分一致收斂的判別，均要對一定的表達式進行 有效的放大.放大法的技巧有以下幾種：a. 利用已知不等式進行放大如利用柯西不等式: (ab f (x)g(x)dx)2 ab f 2 (x)dxab g 2 (x)dx 進行放大b. 通過求最大值進行放大 c. 利用 Taylo

6、r 公式等進行變形后放大 d. 利用遞推的方法進行放大 e. 確界法 f. 利用 Abel 變換進行放大利用 Cauchy 收斂準(zhǔn)則證明含參變量無窮積分的一致收斂性時一個重要的問題是將“片斷” AA12 f (x,u)dx進行變形，這種變形的一個重要方法是利用 Abel 變換.M 判別法，使用比較方便，但適用面較窄。特別若所討論積分本身一致收斂，同時又是條件收斂時，顯然，M 判別法，對于這種情況是無能為力的.只好用下面的判別法.證明：含參變量積分 0+cos x2ydx在 y + 上一致收斂.例11 + x2cos x2 y1+ 1證明對 y + ，有無窮積分 0dx 收斂，故含參變量積分x2

7、+11 + x21+ x220+cos x ydx 在 y + 上一致收斂.21 + xcos x2 y1+ 1但我們也可以這樣做，但無窮積分 0dx 收斂嗎？不收斂.x2+ 1x2x2+ cos xy例2 證明：含參變量積分 1dx在 y + 上一致收斂.x2+ y2cos xy1+ 1證明對 y + ，有無窮積分 1dx 收斂，故含參變量積分x2+ y2x2x2+ cos xy dx 在 y + 上一致收斂.1 x2 + y 2M 判別法得的結(jié)論是絕對一致收斂，但并不是所有絕對收斂的積分都能用 M 判別法來判斷.112積分 1+ e( x)dx 在 0 1，只要 = (0,1) ，便知 2

8、x1121 = e( x) F(x)(x 1) 故 1+ F (x)dx 發(fā)散，所以沒有優(yōu)函數(shù). 2下面證明該積分一致收斂.1( x1)2問題在于： 0, 找 A0 1，使得 A A0 時有A+ edx 1，積分（1） 1（充分大），使因此對于 0,，對任意 A成立，剩下的問題只在于找 A得 A A 時，對于 0,， + eu2du 0, 當(dāng) 0, A0 0 ，使得 A A0 時積分（2） 0 ，使得 h(x,u) M ， 則積分 a+ f (x,u)dx 在 I 上一致收斂（ Abel 判別法）或者（將條件 1）減弱，將條件 2）加強）使得 g(x,u), h(x,u) 滿足 Dirichl

9、et 條件1） aA g(x,u)dx 一致有界。即： M 0, aA g(x,u)dx M2） h(x,u) 當(dāng) u 固定時，對 x 單調(diào)，當(dāng) x + 時， h(x,u) 一致收斂 0 ，則積分 a+ f (x,u)dx 在 I 上一致收斂（ Dirichlet 判別法）例 4 證明含參量積分 0+ 1 + xu dx 在 0,+ )上一致收斂.證法 1 （ 用 Abel 判別法）首先對任意固定的 y 0 ， 原積分是 0+sin x2dx 收斂的 . 又因為u1 + x0+ sin x2 dx = 0+ sin tdt 收斂，與 u 無關(guān)，故 u 0,+ )時是一致收斂的.其次對任意固定的

10、 u 0 ，11+ xu2t是 x 單調(diào)函數(shù)，且1 1.由 Abel 判別法知 0+sin x2dx 在 0,+ )上一致收斂.1uu+ x1 + x證法 2 （ Dirichlet 判別法 ） 將含參量積分 + sin x2 dx 改寫為 + 01 + xu010A x sin x2 dx=cos x20A 1 ， u 0,+ ) . 對任意固定的 u 0 ，211 0(x + ) 故當(dāng) x + 時，1關(guān)于 u 一致收斂x(1 + xu )xx(1 + xu )2于 0 .由 Dirichlet 判別法知 + sin x dx 在 0,+ )上一致收斂.01 + xux sin x21dx

11、. 由于x(1 + xu )1是 x 單調(diào)函數(shù)且x(1 + xu )5 Dini 定理121設(shè) f (x,u) 在 D = a x , u 上連續(xù)且不變號， (u) = a+ f (x,u)dx 在 , 上連續(xù)，則 a+ f (x,u)dx 關(guān)于 u 在 I 上一致收斂.數(shù)學(xué)分析2中己經(jīng)指出級數(shù)與無窮積分的斂散性及其性質(zhì)基本上是平行的，其定理在一般教科書中都能找到；同 樣函數(shù)項級數(shù)與含參變量反常積分的一致收斂判別法及其性質(zhì)基本上是平行的，有下面的定理。6設(shè) f (x,u) 必為區(qū)域 R = a x b,1 u +上的非負(fù)函數(shù)，如果 f (x,u) 在區(qū)間 1,+ )上關(guān)于 u+ 為單調(diào)減函數(shù)，

12、那么含參變量積分 + f (x,u)du 與函數(shù)項級數(shù) f (x, n) 在區(qū)間 a,b上具有相同的一致收斂1n=1性3.7 若 f (x,u) 在 a,+ )U 上連續(xù) ， u0 為 U 的一個聚點 ， a+ f (x,u)dx 在 U u0 上收斂 ， 而a+ f (x,u0 )dx 發(fā)散，則 a+ f (x,u)dx 在U 上不一致收斂.可以利用函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性判別某些含參變量積分的性質(zhì)和一致收斂，也可以利用積分的便利條件判斷 某些函數(shù)項級數(shù)的一致收斂.二、拓展應(yīng)用含參量無窮積分 0+ ueux dx 在閉區(qū)間 0,+b上不一致收斂，而 0+ ueux2 dx 在閉區(qū)間 0,+b上

13、一致收斂4.這兩個含參量無窮積分在形式上相差無幾,但一致收斂性卻截然不同.下面我們類比的方法討論二者一致收斂性質(zhì)的 差異.含參量無窮積分 + ueux dx 當(dāng) u 0,3時考慮變上限積分 M ueux dx 可以做出曲線：其中每一條曲線標(biāo)顯00+ M的 u 值為含參量無窮積分 0 ueux dx 中對應(yīng)的參量 u 的值,橫坐標(biāo)表示的是變上限積分 0 ueux dx 中 M 的取值,縱坐標(biāo)表示積分 0M ueux dx 的值.可以得出：對于任意的 u 0,3,積分 0+ ueux dx 收斂;但是對于不同的 u 0,3,積分 0+ ueux dx 的收斂 步調(diào)卻不一致.含參量無窮積分 0+ u

14、eux2 dx 當(dāng) u 0,3時考慮變上限積分 0M ueux dx 可以做出曲線：其中每一條曲線標(biāo) 顯的 u 值為含參量無窮積分 0+ ueux2 dx 中對應(yīng)的參量 u 的值,橫坐標(biāo)表示的是變上限積分 0m ueux2 dx 中 M 的取 值,縱坐標(biāo)表示積分 0m ueux2 dx 的值.可以得出：對于任意的 u 0,3,積分 0+ ueux2 dx 收斂;對于不同的 u 0,3,積分 0+ ueux2 dx 收斂情況保持步調(diào)一致.從上面兩個例子的對比可以看出含參量無窮積分的一致收斂性的直觀表現(xiàn)是反常積分關(guān)于參變量的同 步收斂.含參量積分的致收斂性的判別與函數(shù)項級數(shù)有許多類似的地方，同時也要注意到利用積分自身的特點，如變量+ cos x22+ cos t