高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)：平面向量教學(xué)研究

1、平面向量教學(xué)研究一、教材分析：（一）教材編寫以實(shí)例為背景，關(guān)注了學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知水平。本教材特別注意知識(shí)的實(shí)際背景和發(fā)生發(fā)展過程，對(duì)涉及到的概念、法則、公式，本教材都力求通過學(xué)生熟悉的實(shí)物、事例、知識(shí)，并由學(xué)生自己觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括得出結(jié)論。比如：1、向量的概念是通過物理中的位移、力的概念引出來的，在分析了位移和力這兩種量都俱有大小、方向這兩個(gè)共同屬性后，概括出了向量的基本特征及概念。2、向量的加法三角形法則是通過讓學(xué)生觀察位移的合成，平行四邊形法則是通過讓學(xué)生觀察力的合成自然得出結(jié)論來的。3、平面向量的正交分解是通過物理學(xué)中力的分解引申出來的。4、向量的數(shù)量積是通過物理學(xué)中力做

2、“功”的概念引申出來的。教材正是注重了向量的這些實(shí)際背景，從學(xué)生熟悉的事例出發(fā)，才使這樣一個(gè)嶄新陌生的概念更加接近學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知水平，使學(xué)生理解起來感覺并不困難。（二）重視學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。新教材對(duì)概念的引入，公式結(jié)論的推導(dǎo)，都盡量以問題的形式出現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、分析、概括得了結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。比如：1、在介紹向量加法運(yùn)算時(shí)，先讓學(xué)生觀察實(shí)例：力與力在拉動(dòng)橡皮條產(chǎn)生的效果與力拉動(dòng)橡皮條產(chǎn)生的效果完全一樣，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生得出的結(jié)論，在這個(gè)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了觀察、猜想、抽象、分析、歸納的思維過程，思維能力得到了鍛煉和提高。2、在推導(dǎo)平面向量基本定理時(shí)，先讓學(xué)生思考平面內(nèi)向量與平面內(nèi)兩個(gè)

3、不共線的向量和的關(guān)系，聯(lián)想到向量加法的平行四邊形法則和向量的數(shù)乘運(yùn)算，通過作圖和推理，得出一定存在兩個(gè)實(shí)數(shù)和，使得，進(jìn)而歸納出平面向量的基本定理。這一過程要求學(xué)生用舊知識(shí)，通過邏輯推理得出新結(jié)論，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力。（三）注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透向量是用一種幾何圖形可用有向線段來表示。向量有方向，可以用來刻劃直線、平面等幾何對(duì)象及它們的位置關(guān)系；向量是一個(gè)有長度的量，可以用來研究與長度、面積、體積有關(guān)的幾何問題。其次，向量有自己的運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)律，可以進(jìn)行加、減、數(shù)乘、數(shù)量積等運(yùn)算，在引入了向量坐標(biāo)后，其運(yùn)算更是轉(zhuǎn)化為了一種數(shù)的運(yùn)算。正是因?yàn)橄蛄烤哂小皵?shù)”與“形”的雙重屬性，才使向量成了“數(shù)

4、形結(jié)合”的橋梁，使得我們可以用代數(shù)方法來研究幾何問題，用幾何觀點(diǎn)來處理代數(shù)問題。本章教材內(nèi)容也很好地體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的思想。二、教學(xué)建議：（一）深刻理解課標(biāo)要求，準(zhǔn)確把握教學(xué)標(biāo)高由于向量是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，因此，教學(xué)中一定要突出重點(diǎn)，抓住關(guān)鍵，讓學(xué)生認(rèn)清概念的本質(zhì)，熟悉運(yùn)算規(guī)律，掌握應(yīng)用的方法和技巧。根據(jù)課標(biāo)要求，在教學(xué)中要力求把握好以下幾個(gè)層次的要求：了解層次：向量的實(shí)際背景；共線向量的概念；向量的線性運(yùn)算性質(zhì)；平面向量的基本定理及意義。理解層次：向量的概念及幾何表示；向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義；共線向量的含義，共線條件的坐標(biāo)表示；平面向量的數(shù)量積的含義及其物理意義。掌握層次：

5、向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算；平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示；數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式；向量垂直、平行的充要條件；平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；平移公式、夾角公式。（二）夯實(shí)基礎(chǔ)，訓(xùn)練技巧，培養(yǎng)能力。向量這一章涉及的新概念、新運(yùn)算、新公式、新符號(hào)、新定理較多，特別是向量的運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律又很容易與實(shí)數(shù)的運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律相混淆，教學(xué)中應(yīng)特別注重基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)和基本技能的訓(xùn)練，并對(duì)容易出錯(cuò)的知識(shí)板塊，以專題的形式進(jìn)行強(qiáng)化?？梢詫⒈菊禄A(chǔ)知識(shí)進(jìn)行分類歸納為：概念類：向量、相等向量、相反向量、平行向量（共線向量）、向量的模、兩向量的夾角、一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影，向量的坐標(biāo)等。運(yùn)算類：向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)

6、算及其幾何意義、坐標(biāo)表示。結(jié)論類：平面向量的基本定理；兩個(gè)向量平行或垂直的充要條件。應(yīng)用類：用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題，力學(xué)及其它一些實(shí)際問題；體會(huì)向量“數(shù)”“形”的雙重屬性，增強(qiáng)對(duì)向量工具性功能（語言功能、應(yīng)用功能）的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想。比如：對(duì)向量的運(yùn)算可作如下對(duì)比分析：表一：向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)積運(yùn)算的比較實(shí)數(shù)乘積向量的數(shù)量積相同部分運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)不同部分（為單位向量）（除特殊情況外）表二：向量的加法與實(shí)數(shù)的加法比較實(shí)數(shù)的加法向量的加法相同部分表三：向量的數(shù)乘運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算比較實(shí)數(shù)運(yùn)算向量的數(shù)乘運(yùn)算相同部分不同部分（三）引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注向量運(yùn)算的合

7、理性問題這里所說的向量運(yùn)算，不但包括向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積的運(yùn)算，還包括向量的模、向量的夾角運(yùn)算。合理性是指在運(yùn)算中，要密切關(guān)注三個(gè)方面的問題：1、向量運(yùn)算的背景從總體上講，向量運(yùn)算有兩個(gè)層次的背景，一是非坐標(biāo)狀態(tài)下的運(yùn)算；二是坐標(biāo)狀態(tài)下的運(yùn)算。在非坐標(biāo)狀態(tài)下的運(yùn)算，一般是用基向量的思想，用各種運(yùn)算的原始定義進(jìn)行。這就要求學(xué)生有較強(qiáng)基底意識(shí) ，能夠恰當(dāng)?shù)剡x擇基底（基底選擇的原則是：知道模和夾角的兩個(gè)非零向量，可能的情況下盡量選擇從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量）；并具備能迅速地用基向量表示出所要研究的向量的代數(shù)變形和幾何變換能力。例如：1、在中，d是邊bc上的一點(diǎn)，則 。解：因?yàn)?所以（）= 2、在

8、中，ab=2，ac=3，d是邊bc的中點(diǎn)，則 。解：因?yàn)椋?= =2、向量運(yùn)算的先后次序在向量的坐標(biāo)狀態(tài)下，向量的運(yùn)算也要恰當(dāng)?shù)剡x擇運(yùn)算的先后順序，不是什么時(shí)候都是先將坐標(biāo)代入計(jì)算，有時(shí)是在解題的最后幾步才需要代入坐標(biāo)。例如：（1）、若，且滿足，其中，（1）用表示；（2）求的最小值，并求此時(shí)的夾角。（2）、已知向量其中。a，b，c為的內(nèi)角，且a，b，c依次成等差數(shù)列，求的取值范圍。對(duì)這兩個(gè)題，都是在向量坐標(biāo)狀態(tài)下涉及到向量的模的問題，是先將向量的坐標(biāo)求出來再用模的公式呢？還是先將模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積再代入坐標(biāo)運(yùn)算？這是教學(xué)中要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生思考總結(jié)的問題。3、巧妙運(yùn)用題中向量間的特殊關(guān)系（平行共線

9、、垂直關(guān)系、相等、相反向量等），簡化運(yùn)算過程例如：已知向量，若，則與的夾角為 。分析：此題最容易想到的思路是用待定系數(shù)法先求出的坐標(biāo)，再用夾角坐標(biāo)公式求解，但再計(jì)算的坐標(biāo)時(shí)，才發(fā)現(xiàn)運(yùn)算量很大。如果細(xì)心觀察，發(fā)現(xiàn)與共線且反向，且于是由條件得到，很容易得到，與的夾角為。還有另一種思考：由條件可得，由于發(fā)現(xiàn)與共線且反向，如設(shè)與的夾角為，則與的夾角為，所以，不難求出，（四）突出向量的實(shí)際背景，將抽象問題具體化向量有著豐富的實(shí)際背景，在教學(xué)中，通過讓學(xué)生感知向量這些熟悉的實(shí)際背景，將抽象問題具體化，可以幫助學(xué)生更加直觀地理解概念、運(yùn)算及其它結(jié)論的本質(zhì)內(nèi)涵。 例如，在講向量加法運(yùn)算的時(shí)候，以位移的合成和力

10、的合成為背景，在講到向量的數(shù)量積的時(shí)候，以物理學(xué)中力做“功”為背景等。（五）突出向量的工具性，增強(qiáng)學(xué)生自覺應(yīng)用向量意識(shí)。向量作為高中教材的一部分，其重要功能主要有兩個(gè)方面：一是向量的語言功能；二是向量的應(yīng)用功能。向量的語言功能是指：向量不但是刻畫物體位置、物理量（如力、位移、速度等）、幾何圖形性質(zhì)的重要工具，同時(shí)也是刻畫代數(shù)中量與量關(guān)系的重要工具。因此向量具有幾何、代數(shù)雙重語言功能，是一種重要的數(shù)學(xué)語言。在用向量解決實(shí)際問題時(shí)，必須實(shí)現(xiàn)向量語言和其它數(shù)學(xué)語言的相互轉(zhuǎn)化，這往往是學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)用過程中的難點(diǎn)，同時(shí)也是解決問題的關(guān)鍵。教學(xué)中必須及早地滲透向量語言，消除學(xué)生對(duì)向量語言的陌生感、神秘感。比

11、如：1、用向量證明：平行四邊形abcd的兩條對(duì)角線的平方和等于四邊形四條邊的平方和。證明：，=故結(jié)論成立。證明過程實(shí)質(zhì)上就是將幾何學(xué)語言轉(zhuǎn)化為向量語言，再用向量知識(shí)推導(dǎo)得出相應(yīng)結(jié)論，再將結(jié)論轉(zhuǎn)化為幾何語言的過程。2、用向量構(gòu)造函數(shù)已知平面向量，（1）存在實(shí)數(shù)和，使得，且，試求函數(shù)關(guān)系式。（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，寫出它的單調(diào)區(qū)間。分析：本題求的過程（略），實(shí)質(zhì)上就是將向量語言通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算和垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言的過程。向量的應(yīng)用功能：在高中數(shù)學(xué)中主要是指用向量解決與長度、角度有關(guān)的幾何問題，處理幾何中的平行或垂直關(guān)系，這在立體幾何中應(yīng)用尤其廣泛。在教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握用向量解決此類問題的思路、方法、步驟，并加強(qiáng)運(yùn)算能力的培養(yǎng)。同時(shí)還要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)