21平面幾何名定理.

1、W楚水實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義 21平面幾何名定理第111頁四個(gè)重要定理:梅涅勞斯（Menelaus）定理（梅氏線） ABC的三邊BC CA AB或其延長(zhǎng)線上有點(diǎn) P、Q R,貝U P、Q R共線的BP CQ AR：充要條件是PC Q直塞瓦（Ceva）定理（塞瓦點(diǎn)）RQ ABC的三邊BC CA AB上有點(diǎn)P、Q R,貝U AP、BQ CR共點(diǎn)的充要條件是BPCQ AR托勒密（Ptolemy）定理DA四邊形的兩對(duì)邊乘積之和等于其對(duì)角線乘積的充要條件是該四邊形內(nèi)接 于一圓。A西姆松（Simson）定理（西姆松線）從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三 角形的外接圓上。例題講解

2、1.設(shè)AD ABC的邊AE _ 2AFBC上的中線，直線 CF交AD于F。求證：ED FB。BD AF CE 3=A3. D E、F 分別在 ABC 的 BC CA AB邊上，DC FE EA , AD BE、CF交成 LMN求 Salmi。4. 以 ABC各邊為底邊向外作相似的等腰 BCE CAF ABG求證： AE、BF、CG相交于一點(diǎn)。2 .過 ABC的重心 G的直線分別交 AB AC于E、F,5. 已知 ABC 中，/ B=2/ C。求證：AC2=aB+AB- BG6. 已知正七邊形 AiAAAAAgAt。求證：A蠹3 A1A號(hào)PE1AB于E,延長(zhǎng)ED交AC延長(zhǎng)線于F。!. ABC的B

3、C邊上的高AD的延長(zhǎng)線交外接圓于 P,作求證：BC- EF=BF- CE+BE CRN分成的比為 AM AC=CN CE=k且 B M&正六邊形ABCDEF勺對(duì)角線AC CE分別被內(nèi)分點(diǎn) MN 共線。求 k。( 23-IMO-5 )CA AB的距離，以Ra、Rb、RC表示O到A求證:(1) a R a b d b+c d c； R a c d b+b de；a+R)+R: 2(d a+db+dc)。9.。為ABC內(nèi)一點(diǎn)，分別以 da、db、dc表示O到BC B C的距離。H、G O三點(diǎn)共線，且 HG=2GO (歐10.AABC中，H G O分別為垂心、重心、外心。求證: 拉線)E、F、G H為

4、切點(diǎn)，EG FH的延長(zhǎng)線交于 P。11.O01和OO 2與 ABC的三邊所在直線都相切,求證：PA1BC12.如圖，在四邊形DF交BC于 G求證:ABCD中，對(duì)角線AC平分/ BAD在CD上取一點(diǎn)/ GACM EACE, BE與AC相交于F,延長(zhǎng)D例題答案:AE1.分析：CEF截 ABEDDCCEFA（梅氏定理）評(píng)注：也可以添加輔助線證明:A B、D之一作CF的平行線。2.分析：連結(jié)并延長(zhǎng)AG交BC于M貝U M為BC的中點(diǎn)。BEDEGlA ABM 盹AG MD_GM OB（梅氏定理）CF AG MD_DGFS ACW fa gm DC（梅氏定理）BE CF GM （EB+ DQ GM VMD.

5、云 KA= AG- MD= 2GM -IVID =1評(píng)注：梅氏定理3.梅氏定理4. 塞瓦定理5. 分析：過 A作BC的平行線交 ABC的外接圓于 D,連結(jié)BC。貝U CD=DA=AB AC=BD由托勒密定理，AC BD=AD BC+CD AB評(píng)注：托勒密定理6.評(píng)注：托勒密定理7.評(píng)注:西姆松定理（西姆松線）8.評(píng)注:面積法9.評(píng)注:面積法10.評(píng)注：同一法11.證明：連結(jié)BD交AC于Ho對(duì) BCD用CG BH DE - - =塞瓦定理，可得GE HD EC因?yàn)锳H是/ BAD的角平分線，由角平分線定理,BH AB CG AB DE ,= .=1可得 HD A.D，故 GB AD EC o過C作AB的平行線交AG的延長(zhǎng)線于I，過C作AD的平行線交AE的延長(zhǎng) 線于J oCG_ CI DE_ AD 則苗忑転ETCI AB 所以AB AD = 1CJ ，從而 CI=CJo