相似三角形的判定+性質(zhì)+經(jīng)典例題分析

1、_相似形（一）板塊一、課前回顧一、比例性質(zhì)1.基本性質(zhì) : acadbc （兩外項(xiàng)的積等于兩內(nèi)項(xiàng)積）bd2.反比性質(zhì)： acbd( 把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換 )bdac3. 合比性質(zhì) ： aca bc d （分子加（減）分母, 分母不變）bdbd4. 等比性質(zhì)：（分子分母分別相加，比值不變 . ）如果 acem (b d fn 0) ，那么 acema bdfnbdfnb談重點(diǎn) ： (1) 此性質(zhì)的證明運(yùn)用了“設(shè)k 法”，這種方法是有關(guān)比例計(jì)算，變形中一種常用方法(2) 應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母是否為零(3) 可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立5.

2、 黃金分割：1 內(nèi)容2 尺規(guī)作圖作一條線段的黃金分割點(diǎn)經(jīng)典例題回顧：例題 1已知 a、 b、c 是非零實(shí)數(shù)，且abcdk ，求 k 的值 .bcdacdbadabc例題 2已知 111，求 yx 的值。xyx yxy板塊二、新課講解知識點(diǎn)一、相似形的概念概念： 具有相同形狀的圖形叫相似圖形 談重點(diǎn)：相似圖形強(qiáng)調(diào)圖形形狀相同 ，與它們的 位置、顏色、大小無關(guān)相似圖形不僅僅指平面圖形 ，也包括 立體圖形相似的情況精品資料_我們可以這樣理解相似形：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形 可以看作是由 另一個(gè)圖形放大或縮小得到的若兩個(gè)圖形形狀與大小都相同，這時(shí)是相似圖形的一種特例全等形 知識點(diǎn)二、平行線分線段成比

3、例定理定理： 三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例，如圖：l 1 l 2 l 3。則 ABDE ， ABDE ， BCEF ，BCEFACDFACDF推論： 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例。定理： 如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。4 推論：如果一條直線平行于三角形的一條邊，截其它兩邊 ( 或其延長線 ) ，那么所截得的三角形與原三角形相似推論4 的基本圖形有三種情況，如圖其符號語言：DE BC， ABC ADE；知識點(diǎn)三、相似三角形的判定判定定理1：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似符號語

4、言：拓展延伸： （ 1）有一組銳角對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形相似。（ 2）頂角或底角對應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形相似。例題精講【重難點(diǎn)高效突破】例題 1 如圖，直線DE分別與 ABC的邊 AB、 AC的反向延長線相交于D、 E，由 ED BC可以推出ADAE嗎？請說明理由。 （用兩種方法說明）BDCEEDABC例題 2（射影定理） 已知：如圖，在 ABC中， BAC=90， AD BC于 D.A求證：（ 1） AB2BD BC ；（ 2） AD 2BD CD ；（ 3） AC 2CD CBBDC例題 3 如圖， AD是 RtABC斜邊 BC上的高， DEDF，且 DE和 DF分別交 AB、 AC于

5、E、 F. 則 AFBE 嗎？說ADBD說你的理由 .精品資料_例題 4 如圖，在平行四邊形 ABCD中，已知過點(diǎn)B 作 BECD于 E, 連接 AE，F(xiàn) 為 AE上一點(diǎn)，且 BFE=C（ 1）求證： ABF EAD；B（ 2）若 AB=4， BAE=30，求 AE的長；A（ 3）在（ 1）（ 2）條件下，若 AD=3，求 BF 的長。FDCE【即時(shí)訓(xùn)練 】一、選擇題1如圖， ABC經(jīng)平移得到 DEF，AC、 DE交于點(diǎn) G，則圖中共有相似三角形（）A 3 對 B 4 對 C 5 對D 6 對2如圖，已知 DE BC， EF AB，則下列比例式中錯(cuò)誤的是（）A ADAE B CEEA C DE

6、ADD EFCF .ABACCFFBBCBDABCB3. 在矩形 ABCD中， E、 F 分別是 CD、 BC上的點(diǎn)，若 AEF=90，則一定有（）A ADE AEF B.ECF AEFC.ADE ECFD.AEF ABF4、如圖，直線 l1 l 2， AFFB=2 3，BC CD=2 1，則 AE EC是（）A.5 2B.4 1C.2 1 D.3 2ADGBECF（1 題圖）（2 題圖）（ 3 題圖）（ 4 題圖）5. 如圖，E 是平行四邊形ABCD的邊 BC的延長線上的一點(diǎn)， 連結(jié) AE交 CD于 F，則圖中共有相似三角形 （）A.1 對 B.2對C.3對 D.4對(5 題圖 )(6題圖

7、)(7題圖 )( 8題圖 )6.ABC中， DE BC，且 AD DB=2 1，那么 DE BC等于（）A.2 1B.1 2C.2 3D.3 27.如圖，P是 RtABC的斜邊BC上異于 B、C 的一點(diǎn)，過點(diǎn) P 做直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似，滿足這樣條件的直線共有（） A.1條B.2條C.3條D.4條8.如圖，已知 DE BC， EF AB，則下列比例式中錯(cuò)誤的是（）A. ADAEB.CEEAC.DEADD.EFCFABACCFFBBCBDABCB9. 下列說法：其中正確的是 ( )所有的等腰三角形都相似；所有的等邊三角形都相似；精品資料_所有等腰直角三角形都相似；所有的直角三

8、角形都相似.A. B.C.D.二、解答題1、如圖，ABC中， BD是角平分線，過D作 DE AB交 BC于點(diǎn) E， AB=5cm， BE=3cm，求 EC的長 .2. 如圖，在梯形 ABCD中， AD BC， BAD=90，對角線 BD DC.(1) ABC與 DCB相似嗎？請說明理由 .(2) 如果 AD=4， BC=9，求 BD的長 .3. 已知：如圖，在正方形 ABCD中， P 是 BC上的點(diǎn)，且 BP=3PC，Q是 CD的中點(diǎn) . ADQ與 QCP是否相似？為什么？4. 如圖，已知 AD為 ABC的角平分線， AD的垂直平分線交BC的延長線于點(diǎn)E，交 AB與 F，試判定 BAE與 AC

9、E是否相似，并說明理由。AFBEDC5. 如圖，在矩形ABCD中， AB=5cm，BC=10cm，動(dòng)點(diǎn) P 在 AB邊上由 A 向 B 作勻速運(yùn)動(dòng)， 1 分鐘可到達(dá) B 點(diǎn)；動(dòng)點(diǎn)Q在 BC邊上由 B 向 C 作勻速運(yùn)動(dòng)， 1 分鐘可到達(dá) C 點(diǎn)，若 P、 Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，問經(jīng)過多長時(shí)間，恰好有PQ BD？CQ BPDA6. 已知：如圖所示， D 是 AC上一點(diǎn)， BE AC， AE分別交 BD、BC于點(diǎn) F、 G， 1= 2. 則 BF是 FG、EF 的比例中項(xiàng)嗎？請說明理由 .精品資料_7. 如圖， CD是 Rt ABC的斜邊 AB上的高， BAC的平分線分別交 BC、CD于點(diǎn) E、 F.

10、AC?AE=AF?AB嗎？說明理由 .8. 如圖， AD是 RtABC斜邊 BC上的高， DE DF，且 DE和 DF分別交 AB、AC于 E、F. 則 AFBE 嗎？說說ADBD你的理由 .相似形（二）板塊二、新課講解知識點(diǎn) 1相似三角形的判定判定定理 (2) ：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似判定定理 (3) ：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似知識點(diǎn) 2直角三角形相似的判定在直角三角形中，斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似知識點(diǎn) 3 相似三角形中的基本圖形AAACAEEDEDDDC BADBBC BC BCA 型， X 型交錯(cuò)型旋轉(zhuǎn)型母子形例題精講【重難點(diǎn)高效突破】例題 1如圖

11、在 4 4 的正方形方格中， ABC和 DEF的頂點(diǎn)都在長為1 的小正方形頂點(diǎn)上（ 1）填空： ABC=_， BC=_（ 2）判定 ABC與 DEF是否相似？并說明理由。A例題 2.如圖，在 ABC中，已知 BD、 CE是 ABC的高，求證： ADE ABC。ED精品資料CB_例題 3 如圖，已知AB BD， CD BD， AB=6cm， CD=4cm， BD=14cm，點(diǎn) P 在 BD上由 B 點(diǎn)向 D 點(diǎn)移動(dòng)，當(dāng)BP等于多少時(shí)， ABP與 CPD相似？ACBPD例題 4. 已知：如圖，在 ABC中， C 90， P是 AB上一點(diǎn)，且點(diǎn) P 不與點(diǎn) A 重合，過點(diǎn) P 作 PEAB交 AC于

12、E，點(diǎn) E 不與點(diǎn) C重合，若 AB 10， AC 8，設(shè) AP x，四邊形 PECB的周長為 y，求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式例題 5 在三角形 ABC中， AB=AC， AD BC于點(diǎn) D， DE AC于點(diǎn) E，M為 DE的中點(diǎn)， AM與 BE相交于點(diǎn) N，延長 AM交 BC于點(diǎn) G， AD與 BE相交于點(diǎn) F，A求證：（ 1） DEAD ;CE=CD（ 2） BCE ADM；（ 3） AM BE.ENFMBDGC【隨堂演練】A 組1下列命題中正確的是（）三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似二邊對應(yīng)成比例且一個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似一個(gè)銳角對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形相似一個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)等腰

13、三角形相似A、B、C、D、2如圖， D、E 分別是 AB、AC上兩點(diǎn)， CD與 BE 相交于點(diǎn)O，下列條件中不能使ABE和ACD相似的是（）A. B= CB. ADC= AEBC. BE=CD，AB=ACD. AD AC=AEAB3如圖， 在正方形網(wǎng)格上有6 個(gè)斜三角形： ABC， BCD， BDE， BFG， FGH， EFK.其中中，與三角形相似的是（）(A) (B)(C)(D)4如圖， DE與 BC不平行，當(dāng)AB =時(shí)，ABC與ADE相似。AC5如圖，平行四邊形 ABCD中， AB=10， AD=6，E 是 AD的中點(diǎn)，在 AB上取一點(diǎn) F，使 CBF? CDE，則 BF 的長是（ ）A

14、 5B 8.2C 6.4D 1.8（ 3 題圖）（ 4 題圖）（ 5 題圖）5如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE BC于 E， AFCD于 F.(1)ABE與ADF相似嗎？說明理由.精品資料_(2) AEF與 ABC相似嗎？說說你的理由 .6已知：如圖，在正方形 ABCD中， P 是 BC上的點(diǎn)，且 BP=3PC，Q是 CD的中點(diǎn) . ADQ與 QCP是否相似？為什么？7如圖，在正方形ABCD中， E 為 AD的中點(diǎn)， EF EC交 AB于 F，連接 FC ABAE , AEF EFC嗎若相似，請證明；若不相似，請說明理由。若ABCD為矩形呢？板塊三、課后作業(yè)1如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)

15、E， F 分別為 AB， BC的中點(diǎn)， AF 與 DE相交于點(diǎn) O，則 AO 等于（）DOA 1B 2 5C 2D 135322如圖， 直線 EF 交 AB、AC于點(diǎn) F、E，交 BC的延長線于點(diǎn)D，AC BC，已知 AB CD=DE AC ,A求證： AE CE=DEEFFE3已知： 如圖，在梯形 ABCD中，AB CD， B90，以 AD為直徑的半圓與BC相切于 E點(diǎn)求D證： AB CD BE ECBC4如圖所示，AB是 O的直徑， BC是 O的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn) D是 O上的一點(diǎn)，且ADOC求證： ADBC OBBD5如圖所示，在O中， CD過圓心 O，且 CDAB于 D，弦 CF交

16、AB于 E2求證： CBCF CE精品資料_6已知 D是 BC邊延長線上的一點(diǎn)，BC 3CD， DF交 AC邊于 E點(diǎn)，且 AE 2EC試求 AF與 FB的比7已知： 如圖，在 ABC中， BAC 90，AH BC于 H，以 AB 和 AC為邊在 Rt ABC外作等邊 ABD和 ACE，試判斷 BDH與 AEH是否相似，并說明理由相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用板塊二、新課講解知識要點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比相似三角形周長的比等于相似比相似三角形面積的比等于相似比的平方【重難點(diǎn)高效突破】例題 1.(1)兩個(gè)相

17、似三角形的面積比為s1 : s2 ，與它們對應(yīng)高之比 h1: h2 之間的關(guān)系為 _(2)如圖，已知 DE BC， CD和 BE相交于 O，若 S ABC : S COB9 : 16 ，則 AD:DB=_AABADDDEODEFGA ACCBOCEF(2)題圖BCBBCD(4)題圖(5)題圖(3)題圖(3) 如圖，已知 ABCD,BO:OC=1:4, 點(diǎn) E、 F 分別是 OC， OD的中點(diǎn)，則 EF:AB 的值為(4) 如圖，已知 DEFG BC,且 AD:FD:FB=1:2:3, 則S ABC : S四邊形 DFGE: S四邊形 FBCG()ADA.1:9:36B.1:4:9C.1:8:2

18、7D.1:8:36O(5) 梯形 ABCD中， AD BC，（ ADBC）， AC、 BD交于點(diǎn) O,若 S OAB6 S ABCD , 則 AOD與BC25 BOC的周長之比為 _ 。精品資料_例題 2.S: S四邊形 BCED 1: 2，BC 26 。求 DE的長。A如圖，在 ABC中， DEBC，且 ADEDEBC例題 3.如圖所示，已知 DE BC，且與 ABC的邊 CA、 BA的延長線分別相交于點(diǎn)D、 E， F、 G分別在邊 AB、 AC上，且AF： FB=AG：GC，求證： AFG AED。例題 4.如圖，矩形 EFGH內(nèi)接于 ABC， AD BC于點(diǎn) D，交 EH于點(diǎn) M，BC

19、20 ， AM8 ，A ABC2S 100 。求矩形 EFGH的面積。EM HBCFD G例題 5. ABC中， D為 AB上一點(diǎn)，若ABC= ACD， AD=8， DB=6，求 AC的長。A0B,C 重合），例題 6. 已知，如圖 ABC中， BAC=90，AB=AC=1,D為 BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與ADE=45E（ 1）求證 ABD DCEBC（ 2）設(shè) BD=x,AE=y, 求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式D（ 3）若 ADE為等腰直角三角形時(shí)，求AE 的長例題 7、如圖 , 在等腰梯形 ABCD中 ,ADBC,AD=3，BC=7，B=60，P 為下底 BC上一點(diǎn)（不與 B、C 重合），連結(jié) AP,過 P 點(diǎn)作 PE交 DC于 E, 使得 APE= B.（ 1）求證： ABP PCE；（ 2）求等腰梯形的腰 AB 的長；（ 3）在底邊 BC上是否存在一點(diǎn) P, 使得 DE EC=5 3，如果存在 , 求出 BP 的長 , 如果不存在 , 請說明理由 .ADE60BCP第 7 題圖【隨堂演練】A 組1. 兩個(gè)相似三角形的面積比為4： 9，那么它們周長的比為_.精品資料_2若 x： y： z=3： 5： 7， 3x 2y 4z 9 則 xy z 的值為 _.3. 如圖， APD 90， APPB BCCD，則下列結(jié)論成立的是（）A . PAB PCAB.P