7A版1991考研數(shù)三真題及解析

1、7A 版優(yōu)質實用文檔 1991 年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題 、填空題 (本題滿分 15 分,每小題 3 分. 把答案填在題中橫線上 .) (1) 設 z esin xy,則 dz (2) 設曲線 f x x3 ax與 g x bx2 c都通過點 1,0 ,且在點 1,0 有公共切 線,則 a b, c, (3)設 f x xex ,則 f n x 在點 x 0 A 為分塊矩陣 B0 (5) 設隨機變量 X 的分布函數(shù)為 (4)設 A和 B為可逆矩陣 ,X F(x) PX x 處_ 取極小值 ,則 X 1 則X 的概率分布為 0, 0.4, 0.8, 1, x 1, 1 x 1, 1

2、 x 3, x 3. 、選擇題 (本題滿分 15 分, 每小題 3 分.每小題給出的四個選項中 ,只有一項符 (1) 下列各式中正確的是 () 1 (A) lim 1 x 0 x (C) lim 1 1 xx 1 x e x e 合題目要求 ,把所選項前的字母填在題后的括號內 .) 1 1(B) lim 1 (B) x 0 x 1 e(D) lim 1 xx (2) 設0 an 1(n 1,2, ) 則下列級數(shù)中肯定收斂的是 () n (A) an (B) ( 1)nan n 1 n 1 (C)an (D) ( 1)nan2 n 1 n 1 (3) 設A為n階可逆矩陣, 是A的一個特征根,則A

3、的伴隨矩陣 A*的特征根之一 是() (A) 1 An(B) 1 A (C) A(D) An (4) 設 A和 B是任意兩個概率不為零的不相容事件 ,則下列結論中肯定正確的是 () (A) A與 B不相容(B) A與B相容 (C)P AB P A P B (D) P A B P A 7A 版優(yōu)質實用文檔 7A 版優(yōu)質實用文檔 (5) 對于任意兩個隨機變量 X 和Y,若 E(XY) E(X) E(Y),則() (A) D(XY) D(X) D (Y ) (B) D(X Y) D(X) D(Y) (C)X 和Y獨立(D) X 和Y不獨立 三、( 本題滿分 5 分) x 2x nx x 求極限 li

4、m e e n e ,其中 n 是給定的自然數(shù) . 計算二重積分 四、( 本題滿分 5 分) Iydxdy,其中 D 是由 x軸,y 軸與曲線 D 的區(qū)域 ,a 0,b 0. 五、( 本題滿分 5 分) 求微分方程 xy dy x2 y2滿足條件 y x e 2e的特解. dx x e 六、( 本題滿分 6 分) 假設曲線 L1：y 1 x2 0 x 1 、x軸和 y 軸所圍區(qū)域被曲線 L2：y ax2分 為面積相等的兩部分 ,其中 a 是大于零的常數(shù) ,試確定 a 的值. 七、( 本題滿分 8 分) 某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時在兩個市場銷售 ,售價分別為 p1和 p2 ；銷售量分 別為 q1和

5、 q2 ；需求函數(shù)分別為 q1 24 0.2p1 和q2 10 0.05p2 ,總成本函數(shù)為 C 35 40 q1 q2 . 試問：廠家如何確定兩個市場的售價 ,能使其獲得的總利潤最大？最大利潤為多 少？ 八、( 本題滿分 6 分) 1 試證明函數(shù) f(x) (1 1)x在區(qū)間 (0, )內單調增加 . x 九、( 本題滿分 7 分) 7A 版優(yōu)質實用文檔 7A 版優(yōu)質實用文檔 問 取何值時 , (1) 可由 1, 2 , 3線性表示 ,且表達式唯一 ? (2) 可由 1, 2, 3線性表示,且表達式不唯一 ? (3) 不能由 1, 2, 3線性表示 ? 十、 ( 本題滿分 6 分) 考慮二次

6、型 f x12 4x22 4x32 2 x1x2 2x1x3 4x2x3.問 取何值時 , f 為正定 二次型. 一、 (本題滿分 6 分 ) 必要條件是 試證明 n 維列向量組 0, 其中 iT表示列向量 i的轉置,inT 11,2, nT ,2n.nT n 十二、 (本題滿分 5 分 ) 一汽車沿一街道行駛 ,需要通過三個均設有紅綠信號燈的路口 ,每個信號燈為 紅或綠與其他信號燈為紅或綠相互獨立 ,且紅綠兩種信號顯示的時間相等 ,以 X 表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù) .求 X 的概率分布 . 十三、 (本題滿分 6 分 ) 假設隨機變量 X和Y在圓域 x2 y2 r 2上服從

7、聯(lián)合均勻分布 . (1) 求X和Y的相關系數(shù) ;(2)問X 和Y是否獨立? 十四、 (本題滿分 5 分 ) 設總體 X 的概率密度為 a 1 xa axa 1e x , x 0, p(x; ) 0, x 0, 其中 0是未知參數(shù),a 0是已知常數(shù).試根據(jù)來自總體 X 的簡單隨機樣本 X1,X2, ,Xn,求 的最大似然估計量 ?. 7A 版優(yōu)質實用文檔 7A 版優(yōu)質實用文檔 1991 年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題解析 一、填空題 (本題滿分 15 分,每小題 3 分.) (1)【答案】 esin xy cosxy ydx xdy zz 【解析】 方法一：先求z出兩s個inxy偏導數(shù)

8、z 和 szinx,y然后再寫出全微分 dz, esin xy cosxy yx yesyin xy cosxy x , z sinxy sinxy z z e cosxy x xe cosxy 所以 dz zdx zdy yeysin xy cos xydx xesin xy cos xydy xy esin xy cosxy( ydx xdy). 方法二 ：利用一階全微分形式不變性和微分四則運算法則直接計算dz. sinxy sinxy sinxy sinxy dz d e e d sin xy e cos xydxy e cosxy ydx xdy . (2) 【答案】 a 1,b 1,

9、c 1 【解析】由于曲線 f x 與 g x 都通過點 1,0 , 則 f 11 a 0 g 1 b c 0, 又曲線 fx與g x在點 1,0 有公切線,則f1g 1 ,即 f 1 3x2 a3 a g12bxx 1 2b, 亦即 3 a2b ,解之得 a 1,b 1,c 1. (3) 【答案】 xn 1 ； e nn 【解析】由高階導數(shù)的萊布尼茲公式 uv nCnkukvnk 可知, k0 f(n)(x) Cn0 x(ex)(n) C1nx(ex)(n1) Cn2x(ex)(n 2)Cnn x( n) ex xex nex 0 0 (x n)ex. 7A 版優(yōu)質實用文檔 7A 版優(yōu)質實用文

10、檔 對函數(shù) g x f n x 求導 ,并令 g x 0,得 g x f (n 1) (x) (x n 1)ex 0, 解之得駐點 x n 1 ,且 g(x) 0,x (n 1),函數(shù)g(x)嚴格單調遞減； g (x) 0,x (n 1),函數(shù)g(x)嚴格單調遞增 ； 故x n 1是函數(shù)g x f n x 的極小值點,極小值為 g( n 1) f (n)( n 1) ( n 1 n)e n 1 e n 1 0 B 1 A 1 0 解析】利用分塊矩陣 ,按可逆矩陣定義有 X2 X4 (4)【答案】 AX03 AE, X1 AAXXB34 0E0, X3 E0 0E 由對應元素或塊相等 ,即 BX

11、1 0, 從 A 和 B 均為可逆矩陣知 BXX32 AE1., X 4 0,X1 0,X2 B .故應填 (5)【答案】 x 113 PX x 0.40.40.2 解析】因為隨機變量 X 的分布函數(shù) F(x)在各區(qū)間上的解析式都與自變量 x 無關,所以在 F(x)的連續(xù)點 ,PX x 0,只有在 F(x)的間斷點處 X 取值的概率 才大于零 ,且 P X x PX x PX x F(x) F(x 0),則 P X 1 F( 1) F( 1 0) 0.4, 因此 X 的概率分布為 P X 1 F(1) F(1 0) 0.8 0.4 0.4, x 113 PX x 0.40.40.2 P X 3

12、 F(3) F(3 0) 1 0.8 0.2. 、選擇題 ( 本題滿分 15 分 , 每小題 3 分 .) 7A 版優(yōu)質實用文檔 7A 版優(yōu)質實用文檔 1 解析】由重要極限 lim(1 1)x e可知 , lxim1 ( 1x) x( 1) e1, 1 lxim(1 1) 1 (1)【答案】 (A) 1 極限 lim(1 1 xx lim(1 1) x lim(1 1)x( 1) e 1. 1 ln(1 1)xlim ln(1 1)xlim xln(1 1) 而極限 lim(1 ) x lim e xex 0 x ex 0 x x 0 x x 0 1 令t 1 ,則 x ln(1 t)洛 li

13、m 1 0, t 1 t e0 1. 1 lim xln(1 ) lim x 0 x t t 1 1 lim xln(1 1) 所以 lim(1 1)x ex 0 x 故選項 (A)正確. (2)【答案】 (D) 11 【解析】因為 ( 1)nan2 an2 12 ,由12 收斂及比較判別法可知( 1)nan2 絕 n n 1n n1 對收斂 .即(D)正確. 另外,設an1 (n 1,2 ) ,則可知 n1 1 1 2n (A) an1 1 1,(C)an n 1 n 1 2n 2 n1n n 1 n1 都不正確 . 1 設 a2n 1 0,a2n(n 1,2 ),則可知 (B)不正確 .

14、4n (3) 【答案】 (B). 解析】由 為 A 的特征值可知 ,存在非零向量 X ,使得 AX X . 兩端同時乘以 A*,有A*( X) A* AX ,由公式 A*A A得到 A*X AX .于是 A*X1 A X. 按特征值定義知 1 A 是伴隨矩陣 A* 的特征值 .故應選 (B). 【相關知識點】矩陣特征值與特征向量的定義： 設 A是n階矩陣,若存在數(shù) 及非 零的n維列向量 X使得AXX成立,則稱 是矩陣 A的特征值,稱非零向量 X 是矩陣 A 的特征向量 . 7A 版優(yōu)質實用文檔 7A 版優(yōu)質實用文檔 (4) 【答案】 (D) 【解析】 A B A B ,如果 A B,則 A B

15、,即 A與 B互不相容；如果 A B ,則 A B,即 A與 B相容.由于 A 、 B的任意性 ,故選項(A)(B)均不正 確. 任何事件 A 一定可以表示為兩個互不相容事件 AB 與 AB 的和 .又因 AB, 從而 A B AB A ,另外要注意區(qū)分獨立與互不相容兩個概念 ,不要錯誤地把 A 、 B 互不相容等同于 A 、 B 相互獨立而錯選 (C). A,B不相容,P A ,P B 均不為零 ,因此 P AB P 0,P AB P A P B . 即(C)不正確.用排除法應選 (D). 事實上 ,P A B P A P AB P A . (5) 【答案】 (B) 【解析】由于 E(XY)

16、 E(X)E(Y),因此有 cov( X ,Y) E(XY) E(X)E(Y) 0, D(X Y) D(X) 2cov( X,Y) D(Y) D(X) D(Y). 故應選 (B). 【相關知識點】 若兩個隨機變量 X ,Y的方差都大于零 ,則下面四個命題是等價的： 1) E(XY) E(X)E(Y) ； 2) D(X Y) D(X) D(Y)； 3) cov( X , Y) 0 ； 4) X和Y不相關,即X 和Y的相關系數(shù)0. 三、 ( 本題滿分 5 分) 解析】 方法一 ：這是1 型未定式極限 . 1 1ex e2 x enx x n ex e2xenx x lim e x0 ln lim

17、x 0 x e ln(ex e2xenx ) lnn lim ex 0 1 ex e2 xenx n 7A 版優(yōu)質實用文檔 7A 版優(yōu)質實用文檔 其中指數(shù)上的極限是 0型未定式,由洛必達法則 ,有 x 20 x nx ln(ex e2xenx) ln n lim x 0 x lim ex 2e2xnenx x 0 x ex 2x e2xnx e1n x 2x nx x e e e x x 2x ee 1nx 1 2 n n(n 1) n 1 所以 lim x0 方法二 ：由于 2x xn 2x ex e2xe n nx n1 e2 1 nx x 2n x 2x nx 1 ex e2xenx n

18、 ex e2xe 記y e e e1,則當x 0時 y 0,從而 x1 x nex e2xenx lim 1n 而 lim(1 y) y e,所以 lim (1 y) y 又因lim y lim (ex 1) (e2x 1)(enx 1) x 0 x x 0 1 lim ex 1 lim e2x 1 lim lim x 0 x x 0 x ex e2xenx 2x y y1 x xy lyxim0(1 y) x lxim0 (1 y) y . 1 x lim y y lim x 0 x e n 所以 lim x0 四、 （ 本題滿分 5 分） nx nx e lim x1xn 10 x e 2

19、 . 1 洛1(1 2 n) n 1 n 解析】積分區(qū)域 D 如圖陰影部分所示 . 2 y b D 由 ax 因此 I y 1,得 y b 1 x a2 b1 x aa 1 2 ydy 0 dx 2 y2 令t 1 x ,有x a(1 t)2,dx 2a(1 t)dt ,故 a4 b2 0 4 dx1 t42a(t 1)dt 2 a ydxdy 0 dx 0 2 dx. b2 a x I b2 0 1 ax 1 ab2 0 (t 4 t5)dt ab2 t5 t6 56 y2 x , 由此可見原方程是齊次微分方程 y dy ab2 0 30 五、 ( 本題滿分 5 分) dy x2 y2 1

20、【解析】將原方程化為 dy x y dx xy 2 令 y ux, 有 dy u xdu, 將其代入上式 , 得x dy u xdu 1 u dx dx dx dx u 化簡得 x du 1,即 udu dx .積分得 1u dx u x 2 將 u y 代入上式 ,得通解 y2 2x2(ln x C). x dx ln x C. 由條件 y x e 2e,即4e2 2e2(ln e C) 求得C 1. 7A 版優(yōu)質實用文檔 7A 版優(yōu)質實用文檔 所以 y2 2x2(ln x 1) 所求微分方程的特解 六、 ( 本題滿分 6 分) 解析】先求出曲線 L1和 L2的交點 ,然后利用定積分求出平面

21、圖形面積 S1和 S2, 如圖： 1 2x y 1 x2 0 x 1 由 2 得 y ax2 a 0 11y 2 . 所以 S S1 S2ydx(1 1x2 )adx x 1x3 1 2 xx 3 1a a 311 S1 0 1 a 1 x2 ax2 dx 0 1 a 1 1 x3 1 a 2 . 3 x 0 3 1 a . 22 又因為 S 2S1 ,所以 2 2 2 ,即 1 a 2,解得 a 3. 3 3 1 a 七、 ( 本題滿分 8 分) 1a x 解析】 方法 1 ： 總收入函數(shù)為 22 R p1q1 p2q2 24p1 0.2 p12 10p2 0.05 p22, 總利潤函數(shù)為

22、L R C p1q1 p2q2 35 40 q1 q2 22 32p1 0.2 p12 12p2 0.05p22 1395. 由極值的必要條件 ,得方程組L 32 0.4p1 0, p1 L 12 0.1p2 0, 即 p1 80,p2 120.p2 因駐點的唯一,且由問題的實際含義可知必有最大利潤.故當 p1 80,p2 120時,廠家所獲得的總利潤最大 ,其最大總利潤為 22 L p1 80,p2 120 (32p1 0.2p12 12p2 0.05p22 1395)p 80,p 120 605 方法 2 ：兩個市場的價格函數(shù)分別為 p1 120 5q1, p2 200 20q2 , 7A

23、 版優(yōu)質實用文檔 7A 版優(yōu)質實用文檔 總收入函數(shù)為 R p1q1 p2q2 120 5q1 q1 200 20q2 q2 , 總利潤函數(shù)為 L R C 120 5q1 q1 200 20q2 q2 35 40 q1 q2 22 80q1 5q12 160q2 20q22 35. 由極值的必要條件 ,得方程L組 80 10q1 0, q1 8,q2 4. 160 40q2 0, 因駐點的唯一 ,且由問q2題的實際含義2可知必有最大利潤 q1 L .故當 q1 8,q2 4,即 p1 80, p2 120 時 ,廠家所獲得的總利潤最大 ,其最大總利潤為 L q1 8,q2 4 605. 八、 （

24、 本題滿分 6 分） 解析】因為 x (0, ),所以 f(x) (1 1)x 0. 1x 1 x xln(1 x1)x 求導,得 1 x ( ln(1 ) x ,為證函數(shù) f (x) (1 )x e x1 xln(1 ) f (x) e x 11 令 g(x) ln(1 1) 1 x 1 x 成立,即 g(x) 0,x (0, ). 兩邊對 x xln(1 1) ex x12) x 1 1 1 x 1 1 (1 1x)x ln(1 1x) 1 xx f(x) 為x增函數(shù) ,只需 f (x) 0在 (0, )上 1x 方法一 ：利用單調性 . 1 2 x, 1 1 (1 x)2x(1 x)2

25、x0 ,所以函數(shù) g(x)在(0, )上單調減少 . 11 由于 g (x) ln(1 x) x 且 x (0, ),故 g (x)2 x(1 x)2 11 又lim g(x) limln(1 ) 0,于是有 g(x) 0,x (0, ).從而 f (x) (1 1)xg(x) 0,x (0, x 于是函數(shù) f (x)在 (0, )單調增加 . 1x 1 ), 方法二 ：利用拉格朗日中值定理 . 1 x 1 10 令ln(1 ) ln( ) ln(1 x) ln x u(x 1) u(x) , xx 7A 版優(yōu)質實用文檔 7A 版優(yōu)質實用文檔 所以在區(qū)間 (x,x 1)存在一點 ,使得 1 u

26、(x 1) u(x) u ( )(x 1 x) u ( ) , 1 111 1 即 ln(1 1) 1 .又因為 0 x 1 x, 所以 11 1 ,所以 x 1 x x 1 1 1 1 . ln(1 ) 1 x x 1x 故對一切 x (0, ),有 f (x) (1 ) x ln(1 x x. 11 ) 0. 函數(shù) f (x) 在 (0, ) 單 x 1 x 調增加. 九、 ( 本題滿分 7 分) 解析】設 x1 1 x2 2 x3 3 1x1 1 x1 1x2 x3, x x 1x2. 對方程組的增廣矩陣作初等x行1 變x換2 1.x3. x2 x3 程組 第一行分別乘以有 1 、 1加

27、到第二行和第三行0 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 2 ,有 1 22 再第二行加到第三行上 ,所以有 1 2 3 0 3,則 r A r A 3 ,方程組有唯一解 , 若 0且 2 3 0,即0 且 2 2 10 0 02 即 可由 1, 2 , 3線性表示且表達式唯 12 若0,則r A r A 1 3 ,方程組有無窮多解 , 可由 1, 2, 3線性表示 , 且表達式不唯 若3,則r A 2,r A 3,方程組無解 ,從而 不能由 1, 2, 3線性表示. 【相關知識點】非齊次線性方程組有解的判定定理： 設 A 是 m n 矩陣 ,線性方程組 Ax b有解的充分必要條件是系數(shù)

28、矩陣的秩等 于增廣矩陣 A A b的秩,即是r(A) r(A)(或者說,b可由 A的列向量 1, 2, , n線表出,亦等同于 1, 2, , n與 1, 2, , n,b 是等價向量組 ). 11 設 A 是m n矩陣,線性方程組 Ax b,則 7A 版優(yōu)質實用文檔 7A 版優(yōu)質實用文檔 (1) 有唯一解r(A) r(A) n. (2) 有無窮多解r(A) r(A) n. (3) 無解 r(A) 1 r(A). b不能由 A的列向量 1, 2, , n線表出 . 十、 ( 本題滿分 6 分) 【解析】關于判定二次型正定這類題目時 ,用“順序主子式全大于 0”的方法最為 簡捷. 二次型 f 的

29、矩陣為 A 1 1 244 2, 3 A 4 1 1, 2 11 4 2 ,其順序主子式為 2 4 2 4 8. 正定的充分必要條件是各階順序主子式都大于 0,所以有 (2 )(2 ) 0, 3 A 4( 1)( 2) 0. 1 1 0, 2 4 解出其交集為 ( 2,1) ,故 ( 2,1)時, f為正定二次型 . 相關知識點】 二次型的定義： 含有 n個變量 x1,x2, ,xn 的二次齊次多項式 (即每 項都是二次的多項式 ) nn f x1,x2, ,xnaij xi xj , 其中 aij aji , i1 j1 稱為 n元二次型 ,令 x x1,x2, ,xn ,A aij ,則二

30、次型可用矩陣乘法表示為 f x1,x2, ,xn xT Ax, 其中 A是對稱矩陣 AT A ,稱 A為二次型 f x1,x2, ,xn 的矩陣. 一、 (本題滿分 6 分 ) 解析】記 A (1,2,n) ,則1,2,n線性無關的充分必要條件是A 0. 由于1T AT A21, 從而取行列式 ,有 D AnTT A 2, , n 1T 1 2T 1 2 AT A A 2. nT 1 1T 2 2T 2 nT 2 1T n 2T n nT n 由此可見 1, 2, , n 線性無關的充分必要條件是 D 0. 12 【相關知識點】 m個 n維向量 1, 2, , m線性相關的充分必要條件是齊次方

31、程 7A 版優(yōu)質實用文檔 7A 版優(yōu)質實用文檔 x1 x2 1 2 m 0 有非零解.特別地, n個n維向量 1, 2, , n線性x相m 關的充分必要條件是行列式 1, 2, , n 0. 十二、 (本題滿分 5 分 ) 解析】首先確定 X 的可能值是 0,1,2,3,其次計算 X 取各種可能值的概率 設事件 Ai “汽車在第 i 個路口首次遇到紅燈” ,i 1,2,3,且 Ai 相互獨立 . 1 P Ai P Ai 2. 事件 Ai 發(fā)生表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)為 i 1.所以有 P X 0 P A1 12, P X 1 P A1A2 P A1 P A2 122 , 則X 的概率分布為 P X2PA1A2A3PA1PA2PA3123 , x 0 1 2 3 P X x 1 2 1 22 1 23 1 23 P X3PA1A2 A3PA1PA2PA3123. 注：此題易犯的一個錯誤是將 P X 3 計算為 124 ,這是由于該街道僅有三個設 有紅綠信號燈的路口 , X 3 僅表示所有三個信號燈路口均為綠燈 ,而不存在第四 個有信號燈路口問題 . 十三、 (本題滿分 6 分 ) 1, 解析】二維均勻分布 (X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為 f (x,y) SD , 0, (x,y