針對二級倒立擺的LQR控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

1、目 錄0. 前言11. 倒立擺21.1倒立擺的結(jié)構(gòu)和工作原理21.2 倒立擺的特性31.3 控制方法31.4 課設(shè)目的42. 直線二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型的建立與分析42.1 建立數(shù)學(xué)模型42.2 系統(tǒng)的能控能觀測性分析83. LQR控制器的設(shè)計(jì)93.1關(guān)于二次型最優(yōu)控制（LQR）93.2 LQR的基本原理103.3 加權(quán)陣Q和R的選擇114. LQR控制器參數(shù)的調(diào)試與仿真125. 總結(jié)與體會(huì)17參考文獻(xiàn)18課設(shè)題目 針對直線二級倒立擺的LQR控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)金萬福 沈陽航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院摘要：倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)典型的多變量、非線性、強(qiáng)耦合和快速運(yùn)動(dòng)的高階不穩(wěn)定系統(tǒng)，它是檢驗(yàn)各種新的控制理論和方法有

2、效性的典型理想模型。在其控制過程中，能有效地反映諸如鎮(zhèn)定性、魯棒性、隨動(dòng)性以及跟蹤等許多關(guān)鍵問題。本文主要研究二級倒立擺LQR控制方法。首先建立了二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型，然后對二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行控制設(shè)計(jì)，應(yīng)用遺傳算法確定系統(tǒng)性能指標(biāo)函數(shù)中的加權(quán)陣Q，R得到系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制矩陣。最后，用MATLAB進(jìn)行了系統(tǒng)仿真。在幾次湊試Q矩陣值后系統(tǒng)的響應(yīng)結(jié)果都不盡如人意，于是采用遺傳算法對Q矩陣優(yōu)化。仿真結(jié)果證明：經(jīng)過遺傳算法優(yōu)化后的系統(tǒng)響應(yīng)能更加滿足設(shè)計(jì)要求。關(guān)鍵詞：二級倒立擺；LQR控制；遺傳算法0. 前言隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，控制工程所面臨的問題越來越復(fù)雜。許多系統(tǒng)具有嚴(yán)重非線性、模型不確

3、定、大滯后等特點(diǎn)。倒立擺就是這樣的復(fù)雜系統(tǒng)，對它的研究具有一般性。倒立擺源于火箭發(fā)射器，最初的研究開始于二十世紀(jì)50 年代，由美國麻省理工學(xué)院的控制理論專家根據(jù)火箭發(fā)射助推器原理設(shè)計(jì)出一級倒立擺實(shí)驗(yàn)設(shè)備。倒立擺的控制技巧同雜技運(yùn)動(dòng)員倒立平衡表演有異曲同工之處，這表明一個(gè)不穩(wěn)定的被控對象，通過人的直覺、采取定性的手段，可以使之具有良好的穩(wěn)定性。在控制理論的發(fā)展過程中，某一理論的正確性及其在實(shí)際應(yīng)用中的可行性需要一個(gè)按其理論設(shè)計(jì)的控制器去控制一個(gè)典型對象來驗(yàn)證。倒立擺系統(tǒng)作為一個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置，形象直觀，結(jié)構(gòu)簡單，成本低廉；作為一個(gè)控制對象，他又相當(dāng)復(fù)雜，同時(shí)就其本身而言，是一個(gè)高階次、不穩(wěn)定、多變量、

4、非線性、強(qiáng)耦合系統(tǒng)，只有采取行之有效的控制方法才能使之穩(wěn)定，因此倒立擺裝置被公認(rèn)為是自動(dòng)控制理論中的典型實(shí)驗(yàn)設(shè)備1。通過對倒立擺系統(tǒng)的研究，不僅可以解決控制中的理論問題，還能將控制理論所涉及的三個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科：力學(xué)、數(shù)學(xué)和電學(xué)有機(jī)的結(jié)合起來，在倒立擺系統(tǒng)中進(jìn)行綜合應(yīng)用。對倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行控制，其穩(wěn)定效果非常明了，可以通過角度、位移和穩(wěn)定時(shí)間直接度量，控制好壞一目了然。理論是工程的先導(dǎo)，對倒立擺的研究不僅有其深遠(yuǎn)的理論意義，還有重要的工程背景。從日常生活中所見到的任何重心在上，支點(diǎn)在下的控制問題，到空間飛行器和各類伺服云臺的穩(wěn)定，都和倒立擺的控制有很大的相似性，故對其的穩(wěn)定控制在實(shí)際中有很多用場，如海

5、上鉆井平臺的穩(wěn)定控制、衛(wèi)星發(fā)射架的穩(wěn)定控制、火箭姿態(tài)控制、飛機(jī)安全著陸化工過程控制等都屬于這類問題。針對上面的實(shí)際問題，啟發(fā)了人們采用智能控制方法對倒立擺進(jìn)行控制。因此對倒立擺機(jī)理的研究具有重要的理論和實(shí)際意義，成為控制理論中經(jīng)久不衰的研究課題。1.倒立擺1.1倒立擺的結(jié)構(gòu)和工作原理倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)多變量、快速非線性和自然不穩(wěn)定系統(tǒng)。在控制過程中能有效地反映控制中的許多關(guān)鍵問題，如非線性問題系統(tǒng)的魯棒性問題、隨動(dòng)問題、鎮(zhèn)定問題及跟蹤問題等。倒立擺系統(tǒng)作為一個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置形象直觀結(jié)構(gòu)簡單構(gòu)件組成參數(shù)和形狀易于改變成本低廉。倒立擺系統(tǒng)的控制效果可以通過其穩(wěn)定性直觀地體現(xiàn)，也可以通過擺桿角度小車位移和穩(wěn)

6、定時(shí)間直接度量。如圖1.1，系統(tǒng)包括計(jì)算機(jī)、運(yùn)動(dòng)控制卡、伺服機(jī)構(gòu)、倒立擺本體（小車，上擺，下擺，皮帶輪等）和光電碼盤幾大部分，組成了一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)。光電碼盤1將小車的位移、速度信號反饋給伺服驅(qū)動(dòng)器和運(yùn)動(dòng)控制卡，下面一節(jié)擺桿（和小車相連）的角度、角速度信號由光電碼盤2反饋回控制卡和伺服驅(qū)動(dòng)器，上面一節(jié)擺桿的角度和角速度信號則由光電碼盤3反饋。計(jì)算機(jī)從運(yùn)動(dòng)控制卡中讀取實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，確定控制決策（小車向哪個(gè)方向移動(dòng)、移動(dòng)速度、加速度等），并由運(yùn)動(dòng)控制卡來實(shí)現(xiàn)該控制決策，產(chǎn)生相應(yīng)的控制量，使電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)小車運(yùn)動(dòng)，保持兩節(jié)擺桿的平衡。圖1.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和工作原理圖1.2 倒立擺的特性a.非線性倒立擺是一個(gè)典

7、型的非線性復(fù)雜系統(tǒng)，實(shí)際中可以通過線性化得到系統(tǒng)的近似模型，線性化處理后再進(jìn)行控制。也可以利用非線性控制理論對其進(jìn)行控制。倒立擺的非線性控制正成為一個(gè)研究的熱點(diǎn)。b.不確定性主要是模型誤差以及機(jī)械傳動(dòng)間隙，各種阻力等，實(shí)際控制中一般通過減少各種誤差來降低不確定性，如通過施加預(yù)緊力減少皮帶或齒輪的傳動(dòng)誤差，利用滾珠軸承減少摩擦阻力等不確定因素。c.耦合性倒立擺的各級擺桿之間，以及和運(yùn)動(dòng)模塊之間都有很強(qiáng)的耦合關(guān)系，在倒立擺的控制中一般都在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行解耦計(jì)算，忽略一些次要的耦合量。d.開環(huán)不穩(wěn)定性倒立擺的平衡狀態(tài)只有兩個(gè)，即在垂直向上的狀態(tài)和垂直向下的狀態(tài)，其中垂直向上為絕對不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，垂直

8、向下為穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。e.約束限制由于機(jī)構(gòu)的限制，如運(yùn)動(dòng)模塊行程限制，電機(jī)力矩限制等。為了制造方便和降低成本，倒立擺的結(jié)構(gòu)尺寸和電機(jī)功率都盡量要求最小，行程限制對倒立擺的擺起影響尤為突出，容易出現(xiàn)小車的撞邊現(xiàn)象。1.3 控制方法當(dāng)前，倒立擺的控制方法可分為以下幾類：a.線性理論控制方法將倒立擺系統(tǒng)的非線性模型進(jìn)行近似線性化處理，獲得系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的線性化模型然后再利用各種線性系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)方法，得到期望的控制器PID 控制、狀態(tài)反饋控制、LQR控制法是其典型代表這類方法對一、二級的倒立擺(線性化后誤差較小模型較簡單)控制時(shí)，可以解決常規(guī)倒立擺的穩(wěn)定控制問題但對于像非線性較強(qiáng)模型較復(fù)雜的多變量系

9、統(tǒng)(三四級以及多級倒立擺)線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法的局限性就十分明顯，這就要求采用更有效的方法來進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)。b.預(yù)測控制和變結(jié)構(gòu)控制方法由于線性控制理論與倒立擺系統(tǒng)多變量、非線性之間的矛盾，使人們意識到，針對多變量、非線性對象，采用具有非線性特性的多變量控制。解決多變量非線性系統(tǒng)的必由之路。人們先后開展了預(yù)測控制、變結(jié)構(gòu)控制和自適應(yīng)控制的研究。預(yù)測控制是一種優(yōu)化控制方法，強(qiáng)調(diào)的是模型的功能而不是結(jié)構(gòu)。變結(jié)構(gòu)控制是一種非連續(xù)控制，可將控制對象從任意位置控制到滑動(dòng)曲面上仍然保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性，但是系統(tǒng)存在顫抖。預(yù)測控制、變結(jié)構(gòu)控制和自適應(yīng)控制在理論上有較好的控制效果，但由于控制方法復(fù)雜成本也高不

10、易在快速變化的系統(tǒng)上實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)。c.智能控制方法在倒立擺系統(tǒng)中用到的智能控制方法主要有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、模糊控制、仿人智能控制、擬人智能控制和云模型控制等。(1)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠任意充分地逼近復(fù)雜的非線性關(guān)系，能夠?qū)W習(xí)與適應(yīng)嚴(yán)重不確定性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，所有定量或定性的信息都等勢分布貯存于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的各種神經(jīng)元，有很強(qiáng)的魯棒性、容錯(cuò)性也可將學(xué)習(xí)算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有效結(jié)合，實(shí)現(xiàn)狀態(tài)未離散化的倒立擺的無模型學(xué)習(xí)控制。但是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法存在的主要問題是缺乏一種專門適合于控制問題的動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，而且多層網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)、隱層神經(jīng)元的數(shù)量、激發(fā)函數(shù)類型的選擇缺乏指導(dǎo)性原則等。(2)模糊控制 經(jīng)典的模糊控制器利用模

11、糊集合理論將專家知識或操作人員經(jīng)驗(yàn)形成的語言規(guī)則直接轉(zhuǎn)化為自動(dòng)控制策略，它的設(shè)計(jì)不依靠對象精確的數(shù)學(xué)模型，而是利用其語言知識模型進(jìn)行設(shè)計(jì)和修正控制算法。常規(guī)的模糊控制器的設(shè)計(jì)方法有很大的局限性。首先，難以建立一組比較完善的多維模糊控制規(guī)則，即使能湊成這樣一組不完整的粗糙的模糊控制規(guī)則，其控制效果也是難以保證的。(3)云模型控制 利用云模型實(shí)現(xiàn)對倒立擺的控制，用云模型構(gòu)成語言值用語言值，構(gòu)成規(guī)則，形成一種定性的推理機(jī)制。這種擬人控制不要求給出被控對象精確的數(shù)學(xué)模型，僅僅依據(jù)人的經(jīng)驗(yàn)、感受和邏輯判斷，將人用自然語言表達(dá)的控制經(jīng)驗(yàn)，通過語言原子和云模型轉(zhuǎn)換到語言控制規(guī)則器中，就能解決非線性問題和不確

12、定性問題。1.4 課設(shè)目的本次課程設(shè)計(jì)通過線性二次型最優(yōu)控制（LQR）方案令二級倒立擺達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，用 MATLAB和Simulink對控制方案進(jìn)行了仿真，并實(shí)現(xiàn)了二級倒立擺實(shí)物系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。a.建立二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模。b.研究倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定控制方法，用線性二次型最優(yōu)控制（LQR）方案配置控制對二級倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性控制。c.學(xué)習(xí)Simulink仿真系統(tǒng)的方法。d.進(jìn)行調(diào)試，對結(jié)果進(jìn)行分析。達(dá)到預(yù)定的穩(wěn)定精度要求。2.直線二級倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立與分析2.1 建立數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N：機(jī)理建模和實(shí)驗(yàn)建模。實(shí)驗(yàn)建模就是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵(lì)研

13、究對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出，應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系。這里面包括輸入信號的設(shè)計(jì)選取，輸出信號的精確檢測，數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容。機(jī)理建模就是在了解研究對象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律基礎(chǔ)上，通過物理、化學(xué)的知識和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入狀態(tài)關(guān)系。為簡化系統(tǒng)，我們在建模時(shí)忽略了空氣阻力和各種摩擦，并認(rèn)為擺桿為剛體。二級倒立擺的組成如圖2.1所示：圖2.1 直線兩級倒立擺物理模型倒立擺參數(shù)定義如下：M小車質(zhì)量m1擺桿 1的質(zhì)量m2擺桿 2 的質(zhì)量m3質(zhì)量塊的質(zhì)量l1擺桿1 中心到轉(zhuǎn)動(dòng)中心的距離l2擺桿2 中心到轉(zhuǎn)動(dòng)中心的距離1 擺桿1 與豎直方向的夾角2 擺桿 2 與豎直方向的夾角F作用在

14、系統(tǒng)上的外力利用拉格朗日方程推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：拉格朗日方程為： (2.1)其中為拉格朗日算子，為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，為系統(tǒng)的動(dòng)能，為系統(tǒng)的勢能。 (2.2)其中，為系統(tǒng)在第個(gè)廣義坐標(biāo)上的外力，在二級倒立擺系統(tǒng)中，系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)有三個(gè)廣義坐標(biāo)，分別為。首先計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能： (2.3)其中分別為小車的動(dòng)能，擺桿1的動(dòng)能，擺桿2的動(dòng)能和量塊的動(dòng)能。小車的動(dòng)能： (2.4)，其中分別為擺桿1的平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。，其中分別為擺桿2的平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。對于系統(tǒng)，設(shè)以下變量：xpend1 擺桿1質(zhì)心橫坐標(biāo)；yangle1 擺桿1質(zhì)心縱坐標(biāo)；xpend2 擺桿2質(zhì)心橫坐標(biāo)；yangle2 擺桿2質(zhì)心縱坐標(biāo)；xm

15、ass 質(zhì)量塊質(zhì)心橫坐標(biāo)；ymass 質(zhì)量塊質(zhì)心縱坐標(biāo)；又有： (2.5)則有： ( 2.6)同理： (2.7)于是有系統(tǒng)的總動(dòng)能為： (2.8)系統(tǒng)的勢能為： (2.9)由于系統(tǒng)在廣義坐標(biāo)下沒有外力作用，所以有： (2.10)對于二級倒立擺系統(tǒng)，系統(tǒng)狀態(tài)變量為：為求解狀態(tài)方程： (2.11)需要求解和因此設(shè)： (2.12)將在平衡位置附近進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，并線性化，可以得到： (2.13)其中： 在Mathematics中計(jì)算以上各式得到：k12=86.69 k13=-21.62k17=6.64 k22=-40.31k23=39.45 k27=-0.088由此可以得到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A，B，C，

16、D如下： 2.2 系統(tǒng)能控能觀性分析系統(tǒng)可控性分析：對于該系統(tǒng)，一般擺桿豎直向下是系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)，擺桿豎直向上是系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，對于不穩(wěn)定平衡點(diǎn)需要設(shè)計(jì)控制器來鎮(zhèn)定系統(tǒng)。既然需要設(shè)計(jì)控制器鎮(zhèn)定系統(tǒng)，那么首先就要考慮系統(tǒng)是否能控。對于線性狀態(tài)方程(2.14)在MATLAB中計(jì)算系統(tǒng)狀態(tài)可控性矩陣和輸出可控性矩陣的秩，輸入程序：A= 0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 1; 0 0 0 0 0 0;0 86.69 -21.62 0 0 0;0 -40.31 39.45 0 0 0;B= 0 0 0 1 6.64 -0.088;C= 1 0 0 0 0 00

17、 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0;D= 0 0 0 ;cona=B A*B A2*B A3*B A4*B A5*B;cona2=C*B C*A*B C*A2*B C*A3*BC*A4*B C*A5*B D;rank(cona)rank(cona2)得到結(jié)果如下：ans =6ans =3或者通過 MATLAB 命令ctrb 和obsv 直接得到系統(tǒng)的可控性和可觀測性。Uc=ctrb(A,B);Vo=obsv(A,C);rank(Uc)rank(Vo)得到結(jié)果如下：ans =6ans =6可以得到，系統(tǒng)狀態(tài)和輸出都可控，且系統(tǒng)具有可觀測性。3. LQR控制器的設(shè)計(jì)3.1.關(guān)于線性二次型最

18、優(yōu)控制（LQR）LQR (linear quadratic regulator)即線性二次型調(diào)節(jié)器,其對象是現(xiàn)代控制理論中以狀態(tài)空間形式給出的線性系統(tǒng) ,而目標(biāo)函數(shù)為對象狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)。LQR最優(yōu)設(shè)計(jì)指設(shè)計(jì)是出的狀態(tài)反饋控制器 K要使二次型目標(biāo)函數(shù)J 取最小值,而 K由權(quán)矩陣Q與R唯一決定,故此 Q、R的選擇尤為重要。LQR理論是現(xiàn)代控制理論中發(fā)展最早也最為成熟的一種狀態(tài)空間設(shè)計(jì)法。特別可貴的是 ,LQR可得到狀態(tài)線性反饋的最優(yōu)控制規(guī)律,易于構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制。而且 Matlab 的應(yīng)用為LQR理論仿真提供了條件,更為我們實(shí)現(xiàn)穩(wěn)、準(zhǔn)、快的控制目標(biāo)提供了方便。對于線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問

19、題，如果其性能指標(biāo)是狀態(tài)變量和(或)控制變量的二次型函數(shù)的積分，則這種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)化問題稱為線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題，簡稱為線性二次型最優(yōu)控制問題或線性二次問題。線性二次型問題的最優(yōu)解可以寫成統(tǒng)一的解析表達(dá)式和實(shí)現(xiàn)求解過程的規(guī)范化，并可簡單地采用狀態(tài)線性反饋控制律構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)，能夠兼顧多項(xiàng)性能指標(biāo)，因此得到特別的重視，為現(xiàn)代控制理論中發(fā)展較為成熟的一部分。LQR最優(yōu)控制利用廉價(jià)成本可以使原系統(tǒng)達(dá)到較好的性能指標(biāo)(事實(shí)也可以對不穩(wěn)定的系統(tǒng)進(jìn)行鎮(zhèn)定) ,而且方法簡單便于實(shí)現(xiàn) ,同時(shí)利用 Matlab 強(qiáng)大的功能體系容易對系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)仿真。本文利用Matlab對實(shí)例進(jìn)行LQR最優(yōu)控

20、制設(shè)計(jì),比較 Q、R 變化對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響,說明LQR系統(tǒng)設(shè)計(jì)的簡單而可行性及Q、R變化對系統(tǒng)性能影響的重要性。3.2線性二次最優(yōu)控制LQR的基本原理線性二次型是指系統(tǒng)的狀態(tài)方程是線性的，指標(biāo)函數(shù)是狀態(tài)變量和控制變量的二次型。考慮線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：找一狀態(tài)反饋控制律：，使得二次型性能指標(biāo)最小化：其中，為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；、為起始時(shí)間與終止時(shí)間；為終態(tài)約束矩陣；為運(yùn)動(dòng)約束矩陣；為約束控制矩陣。其中、決定了系統(tǒng)誤差與控制能量消耗之間的相對重要性。為使最小，由最小值原理得到最優(yōu)控制為：式中，矩陣為微分Riccatti方程：的解。如果令終止時(shí)間，為一個(gè)常數(shù)矩陣，且，因此以上的Riccatti方程

21、簡化為。對于最優(yōu)反饋系數(shù)矩陣，使用Matlab中專門的求解工具lqr()來求取。3.3.加權(quán)陣Q和R的選擇在利用LQR方法設(shè)計(jì)控制器時(shí)，一個(gè)最關(guān)鍵的問題是二次型性能指標(biāo)的選取。二次型性能指標(biāo)與實(shí)際工程意義的品質(zhì)指標(biāo)間的聯(lián)系至今未完全建立。因此，確定加權(quán)陣Q, R是一項(xiàng)重要且困難的工作。一般來說，加權(quán)矩陣Q和R的選取是在立足提高控制性能與降低控制能量消耗的折衷上考慮的。為了使問題簡單，且使加權(quán)陣Q和R的各元素有明顯的物理意義，通常將加權(quán)陣Q和R選為對角陣。這樣可以看出Q是對狀態(tài)X平方的加權(quán)，Q相對增大就意味著對X的要求較嚴(yán);R是對控制量u的平方的加權(quán)，當(dāng)R相對較大，意味著控制費(fèi)用增高，使得控制能

22、量較小，反饋減弱，當(dāng)R相對很小時(shí)，控制費(fèi)用較低，反饋增強(qiáng)，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)迅速。在實(shí)際選擇加權(quán)陣時(shí)，都是通過試湊法來實(shí)現(xiàn)，選擇一組加權(quán)陣，然后仿真觀察其控制性能是否滿足要求，直到尋找到滿足其性能要求的加權(quán)陣為止。加權(quán)陣Q、R是相對的，因此在實(shí)際選擇中，先令R=1，然后改變Q對角線上的值，直到滿足性能要求為止。在二級倒立擺的鎮(zhèn)定控制中，要求系統(tǒng)最快的回到平衡位置，按照控制要求選擇加權(quán)陣的值。因?yàn)槎壍沽[控制器只有一個(gè)輸入控制量，R為標(biāo)量，直接選擇R=1。對于二級倒立擺系統(tǒng)，二次型性能指標(biāo)應(yīng)能使其在調(diào)節(jié)過程中不偏離倒立擺的控制區(qū)域且盡可能在系統(tǒng)的線性范圍內(nèi)，根據(jù)對二級倒立擺運(yùn)動(dòng)分析，在考慮倒立擺系統(tǒng)

23、的各個(gè)狀態(tài)時(shí)，上擺偏角應(yīng)比下擺角重要，下擺的偏角應(yīng)比小車的位移X重要，因此要在選擇加權(quán)矩陣Q和R時(shí)反映這些要求。利用線性二次最優(yōu)控制規(guī)律設(shè)計(jì)LQR控制器時(shí)，就是求取控制器的反饋增益K的問題。根據(jù)期望性能指標(biāo)選取加權(quán)矩陣Q、R，利用Matlab 中的命令lqr 就可以得到反饋增益K 的值。然后利用求得的K值進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，觀察系統(tǒng)性能是否滿足要求。若不滿足要求，則改變加權(quán)矩陣Q的值，直到符合系統(tǒng)的性能要求。4. LQR控制器的參數(shù)調(diào)節(jié)及仿真通過拉格朗日公式以及各種計(jì)算，我們獲得了直線二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和反饋增益K值，要實(shí)現(xiàn)線性二級最優(yōu)控制，需要對K加權(quán)重Q和R進(jìn)行優(yōu)化，根據(jù)LQR的控制規(guī)律，

24、編寫出如下程序，程序利用lqr算出K值，然后進(jìn)行LQR控制仿真，觀察系統(tǒng)在擾動(dòng)信號下的響應(yīng)。系統(tǒng)中通過引入反饋增益K來消除穩(wěn)態(tài)誤差，控制信號為輸入量與輸出信號乘以反饋增益之后的差。程序中Q11代表小車位置的權(quán)重，Q22代表擺桿1的角位移的權(quán)重，Q33代表擺桿2的角位移的權(quán)重，R代表輸入的權(quán)重。要想獲得系統(tǒng)的最優(yōu)性能指標(biāo)，需要保證小車位移在干擾信號下到達(dá)穩(wěn)定的時(shí)間和上升時(shí)間都要最少。由于二級倒立擺的控制器只有一個(gè)輸入控制量，R為標(biāo)量，直接選擇R=1，因此我們只需要改變權(quán)重Q的值即可。程序如下：% Googol Linear 2 stage Inverted Pendulum LQR Contro

25、l %clear all;format long;k12=86.69;k13=-21.62;k17=6.64;k22=-40.31;k23=39.45;k27=-0.088;A=0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 1; 0 0 0 0 0 0; 0 k12 k13 0 0 0; 0 k22 k23 0 0 0B= 0 0 0 1 k17 k27;C=1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0;D=0;0;0;Q11=1;Q22=1;Q33=1;Q=Q11 0 0 0 0 0; 0 Q22 0 0 0 0; 0 0 Q33 0

26、0 0; 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0;R=1;K=lqr(A,B,Q,R)Ac=(A-B*K);Bc=B;Cc=C;Dc=D;T=0:0.005:5;U=0*ones(size(T);Cn=1 0 0 0 0 0;s=size(A,1);Z=zeros(1,s) 1;N=inv(A,B;Cn,0)*Z;Nx=N(1:s);Nu=N(1+s);Nbar=Nu+K*Nx;Bcn=Nbar*B;x0=0 0 0.05 0 0 0;Y,X=lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T,x0);xpos=Y(:,1);xangle=Y(:,2);xangle

27、2=Y(:,3);plot(T,xpos,:)hold on;plot(T,xangle,-)hold on;plot(T,xangle2,-)圖4.1由圖1可以看出，Q11=1，Q22=1，Q33=1，R=1時(shí)，穩(wěn)定時(shí)間太長，因此增加權(quán)重Q的值。設(shè)Q11=Q22=Q33=50，R=2，仿真結(jié)果如圖4.2：圖4.2可以看出穩(wěn)定時(shí)間大大減少，因此可以嘗試?yán)^續(xù)增大權(quán)重Q。設(shè)Q11=200，Q22=200，Q33=200，R不變，仿真結(jié)果如圖4.3：圖4.3這里可以看出穩(wěn)定時(shí)間基本上不怎么變化了，但是振幅已經(jīng)小了一些，因此嘗試?yán)^續(xù)增加權(quán)重Q看是否能得到更好的響應(yīng)曲線，分別設(shè)定：圖4.4Q11=300，Q22=300，Q33=300；Q11=300，Q22=500，Q33=500；Q11=700，Q22=700，Q33=700；Q11=1000，Q22=1000，Q33=1000；可以把仿真結(jié)果都輸出到一張圖上進(jìn)行比較，仿真圖如4.4所示：可以看出，穩(wěn)定時(shí)間基本沒有不再減少，Q值越大，系統(tǒng)性能指標(biāo)變得更好。通過查閱相關(guān)資料，在固定R為1的情況下，加權(quán)陣Q的參數(shù)在0-100時(shí)，控制器的控制能力很弱，不能明顯的改善控制性能；加權(quán)陣Q的參數(shù)在100-1000內(nèi)時(shí)，控制器能明顯的提高控制性能；加權(quán)陣Q的參數(shù)大于1000時(shí)，系統(tǒng)的的控制量加大，但是性能提高緩