2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和課件 新人教A版必修5

1、2.32.3等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和 目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航 課標(biāo)要求課標(biāo)要求 1.1.了解等差數(shù)列前了解等差數(shù)列前n n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程. . 2.2.掌握等差數(shù)列前掌握等差數(shù)列前n n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用項(xiàng)和公式及其應(yīng)用. . 3.3.能靈活應(yīng)用等差數(shù)列前能靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n n項(xiàng)和的性質(zhì)解題項(xiàng)和的性質(zhì)解題. . 4.4.理解理解a an n與與S Sn n的關(guān)系的關(guān)系, ,會利用這種關(guān)系解決有關(guān)問題會利用這種關(guān)系解決有關(guān)問題. . 素養(yǎng)達(dá)成素養(yǎng)達(dá)成 通過對等差數(shù)列前通過對等差數(shù)列前n n項(xiàng)和的學(xué)習(xí)項(xiàng)和的學(xué)習(xí), ,培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納 和邏輯推理的

2、能力和邏輯推理的能力. . 新知導(dǎo)學(xué)新知導(dǎo)學(xué) 課堂探究課堂探究 新知導(dǎo)學(xué)新知導(dǎo)學(xué)素養(yǎng)養(yǎng)成素養(yǎng)養(yǎng)成 1.1.數(shù)列數(shù)列aan n 前前n n項(xiàng)和的定義及表示項(xiàng)和的定義及表示 一般地一般地, ,我們稱我們稱a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+an n為數(shù)列為數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和, ,用用S Sn n表示表示, ,即即S Sn n= = . . a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+an n 思考思考1:1:對于數(shù)列對于數(shù)列aan n,關(guān)系式關(guān)系式a an n=S=Sn n-S-Sn-1 n-1一定成立嗎 一定成立嗎? ? 2.2.等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和

3、公式項(xiàng)和公式 1 2 n n aa 1 1 2 n nd na 已知量已知量首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公差與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公差與項(xiàng)數(shù) 求和求和 公式公式 S Sn n= = . . S Sn n= = . . 思考思考2:2:等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和的兩個公式涉及幾個量項(xiàng)和的兩個公式涉及幾個量? ?至少要知道幾個至少要知道幾個 量才能求解量才能求解? ? 3.3.等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項(xiàng)和的性質(zhì)項(xiàng)和的性質(zhì) 記等差數(shù)列記等差數(shù)列aan n 中中, ,其前其前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n, ,則則aan n 中連續(xù)的中連續(xù)的n n項(xiàng)之和構(gòu)成的數(shù)列項(xiàng)之和構(gòu)成的數(shù)列

4、 S Sn n,S,S2n 2n-S -Sn n,S,S3n 3n-S -S2n 2n,S ,S4n 4n-S -S3n 3n, ,構(gòu)成公差為構(gòu)成公差為n n2 2d d的等差數(shù)列的等差數(shù)列. . 名師點(diǎn)津名師點(diǎn)津 課堂探究課堂探究素養(yǎng)提升素養(yǎng)提升 題型一等差數(shù)列前題型一等差數(shù)列前n n項(xiàng)和的基本運(yùn)算項(xiàng)和的基本運(yùn)算 (2)a(2)a1 1=1,a=1,an n=-512,S=-512,Sn n=-1 022,=-1 022,求求d;d; (3)S(3)S5 5=24,=24,求求a a2 2+a+a4 4. . 方法技巧方法技巧 一般地一般地, ,等差數(shù)列的五個基本量等差數(shù)列的五個基本量a a

5、1 1,a,an n,d,n,S,d,n,Sn n, ,知道其中任意三個量知道其中任意三個量 可建立方程組可建立方程組, ,求出另外兩個量求出另外兩個量, ,即即“知三求二知三求二”問題問題, ,若能巧妙地若能巧妙地 利用等差數(shù)列利用等差數(shù)列( (或前或前n n項(xiàng)和項(xiàng)和) )的性質(zhì)會使計算更簡便的性質(zhì)會使計算更簡便. . 即時訓(xùn)練即時訓(xùn)練1 1- -1:1:(1)(1)在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中中,a,a4 4=9,a=9,a9 9=-6,=-6,若若S Sn n=63,=63,求求n n的值的值; ; (2)(2)在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中中, ,已知已知a a3 3=16,

6、S=16,S20 20=20, =20,若若S Sn n=110,=110,求求n.n. 備用例備用例11(1)(1)(20192019江西新余檢測江西新余檢測) )在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中中; ; 已知已知a a5 5+a+a10 10=58,a =58,a4 4+a+a9 9=50,=50,求求S S10 10; ; 已知已知S S7 7=42,S=42,Sn n=510,a=510,an-3 n-3=45, =45,求求n.n. (2)(2)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列aan n 中中,a,a1 1=1,a=1,a3 3=-3.=-3. 求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式

7、; ; 若數(shù)列若數(shù)列aan n 的前的前k k項(xiàng)和項(xiàng)和S Sk k=-35,=-35,求求k k的值的值. . 解解: :(2)(2)設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列aan n 的公差為的公差為d,d,則則a an n=a=a1 1+(n-1)d.+(n-1)d. 由由a a1 1=1,a=1,a3 3=-3=-3可得可得1+2d=-3,1+2d=-3,解得解得d=-2.d=-2.從而從而a an n=1+(n-1)=1+(n-1)(-2)=3-2n.(-2)=3-2n. 題型二等差數(shù)列前題型二等差數(shù)列前n n項(xiàng)和的最值問題項(xiàng)和的最值問題 例例22已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列aan n 中中,a,a1 1=9

8、,a=9,a4 4+a+a7 7=0.=0. (1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式; ; 規(guī)范解答規(guī)范解答: :(1)(1)由由a a1 1=9,a=9,a4 4+a+a7 7=0,=0,得得 a a1 1+3d+a+3d+a1 1+6d=0,+6d=0,2 2分分 解得解得d=-2,d=-2,4 4分分 所以所以a an n=a=a1 1+(n-1)+(n-1)d=11-2n.d=11-2n.6 6分分 (2)(2)當(dāng)當(dāng)n n為何值時為何值時, ,數(shù)列數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和取得最大值項(xiàng)和取得最大值. . 方法技巧方法技巧 即時訓(xùn)練即時訓(xùn)練2 2- -1:1:已

9、知已知aan n 是一個等差數(shù)列是一個等差數(shù)列, ,且且a a2 2=1,a=1,a5 5=-5.=-5. (1)(1)求求aan n 的通項(xiàng)的通項(xiàng)a an n; ; (2)(2)求求aan n 前前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n的最大值的最大值. . 備用例備用例22(1)(1)(2019(2019福建泉州檢測福建泉州檢測) )在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中中,a,a1 1=25,S=25,S17 17=S =S9 9, ,求求S Sn n 的最大值的最大值; ; (2)(2)在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中中,a,a10 10=18, =18,前前5 5項(xiàng)的和項(xiàng)的和S S5 5=-15.

10、=-15. 求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式; ; 求數(shù)列求數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和的最小值項(xiàng)和的最小值, ,并指出何時取得最小值并指出何時取得最小值. . 題型三等差數(shù)列前題型三等差數(shù)列前n n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用 例例33(1)(1)在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中中, ,若若S S4 4=1,S=1,S8 8=4,=4,則則a a17 17+a +a18 18+a +a19 19+a +a20 20= = . . 解析解析: :(1)(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)知由等差數(shù)列的性質(zhì)知S S4 4,S,S8 8-S-S4 4,S,S12 12-S -S8 8,

11、,也構(gòu)成等差數(shù)列也構(gòu)成等差數(shù)列, ,不不 妨設(shè)為妨設(shè)為bbn n,且且b b1 1=S=S4 4=1,b=1,b2 2=S=S8 8-S-S4 4=3,=3,于是可求得于是可求得b b3 3=5,b=5,b4 4=7,b=7,b5 5=9,=9,即即 a a17 17+a +a18 18+a +a19 19+a +a20 20=b =b5 5=9.=9. 答案答案: :(1)9(1)9 (2)(2)有一個共有有一個共有100100項(xiàng)的等差數(shù)列項(xiàng)的等差數(shù)列, ,其奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)之和分別為其奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)之和分別為100100和和 200,200,則公差則公差d=d=. 答案答案: :(2)2(2

12、)2 方法技巧方法技巧 等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項(xiàng)和性質(zhì)小結(jié)項(xiàng)和性質(zhì)小結(jié): : (1)(1)等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 中中, ,公差為公差為d,d,前前k k項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為S Sk k, ,則則S Sk k,S,S2k 2k-S -Sk k,S,S3k 3k-S -S2k 2k, , S Smk mk-S -S(m-1)k (m-1)k, ,構(gòu)成公差為構(gòu)成公差為k k2 2d d的等差數(shù)列的等差數(shù)列. . (2)(2)等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 中中, ,公差為公差為d:d: 若共有若共有2n2n項(xiàng)項(xiàng), ,則則S S2n 2n=n(a =n(an n+a+an+1 n+1);S );S偶

13、 偶-S -S奇 奇=nd;S =nd;S偶 偶 S S奇 奇=a =an+1 n+1a an n. . 若共有若共有2n+12n+1項(xiàng)項(xiàng), ,則則S S2n+1 2n+1=(2n+1)a =(2n+1)an+1 n+1;S ;S偶 偶-S -S奇 奇=-a =-an+1 n+1;S ;S偶 偶 S S奇 奇=n(n+1). =n(n+1). (4)(4)設(shè)設(shè)S Sn n,S,Sn n分別為等差數(shù)列分別為等差數(shù)列aan n,b,bn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和, ,則則a an nbbn n=S=S2n-1 2n-1 S S2n-1 2n-1. . 即時訓(xùn)練即時訓(xùn)練3 3- -1:1:等差數(shù)列

14、等差數(shù)列aan n 的前的前5 5項(xiàng)和為項(xiàng)和為15,15,前前1010項(xiàng)和為項(xiàng)和為20,20,則則a a21 21+a +a22 22+a +a23 23+ + a a24 24+a +a25 25= = . . 解析解析: :在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中中,S,S5 5,S,S10 10-S -S5 5,S,S15 15-S -S10 10,S ,S20 20-S -S15 15,S ,S25 25-S -S20 20成等差數(shù)列 成等差數(shù)列, , 而而a a21 21+a +a22 22+a +a23 23+a +a24 24+a +a25 25=S =S25 25-S -S20 20

15、, , 故故a a21 21+a +a22 22+a +a23 23+a +a24 24+a +a25 25=S =S5 5+(5-1)+(5-1)(S(S10 10-S -S5 5-S-S5 5)=15+4)=15+4(20-15-15)=-25.(20-15-15)=-25. 答案答案: :-25-25 備用例備用例33已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列, ,其前其前1212項(xiàng)和為項(xiàng)和為354,354,在前在前1212項(xiàng)中項(xiàng)中, ,偶偶 數(shù)項(xiàng)之和與奇數(shù)項(xiàng)之和的比為數(shù)項(xiàng)之和與奇數(shù)項(xiàng)之和的比為3227,3227,求這個數(shù)列的通項(xiàng)公式求這個數(shù)列的通項(xiàng)公式. . 題型四易錯辨析題型四

16、易錯辨析忽略忽略S Sn n與與a an n的關(guān)系致誤的關(guān)系致誤 例例44已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n=n=n2 2+n-1,+n-1,求這個數(shù)列的通項(xiàng)公式求這個數(shù)列的通項(xiàng)公式, ,并判并判 斷斷aan n 是否為等差數(shù)列是否為等差數(shù)列, ,為什么為什么? ? 錯解錯解: :a an n=S=Sn n-S-Sn-1 n-1=(n =(n2 2+n-1)-(n-1)+n-1)-(n-1)2 2+(n-1)-1=2n.+(n-1)-1=2n. 又又a an n-a-an-1 n-1=2n-2(n-1)=2, =2n-2(n-1)=2, 即數(shù)列即數(shù)列aan n 的每

17、一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個常數(shù)的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個常數(shù), , 所以所以aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列. . 糾錯糾錯: :用公式用公式a an n=S=Sn n-S-Sn-1 n-1時 時, ,要求要求n2,n2,忽視了這一條件而不去驗(yàn)證忽視了這一條件而不去驗(yàn)證n=1n=1 的情況從而導(dǎo)致判斷錯誤的情況從而導(dǎo)致判斷錯誤. . 學(xué)霸經(jīng)驗(yàn)分享區(qū)學(xué)霸經(jīng)驗(yàn)分享區(qū) (1)(1)已知數(shù)列的前已知數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n求數(shù)列的通項(xiàng)公式時求數(shù)列的通項(xiàng)公式時, ,需分類討論需分類討論, ,即即n=1n=1與與 n2n2兩種情況兩種情況; ;當(dāng)當(dāng)n=1n=1滿足滿足a an n的式子時的式子時

18、, ,才能用同一個式子來表達(dá)才能用同一個式子來表達(dá), ,否否 則必須分段表示則必須分段表示. . (2)(2)求等差數(shù)列前求等差數(shù)列前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n的最值的常用方法有兩種的最值的常用方法有兩種: : 用二次函數(shù)的性質(zhì)求解用二次函數(shù)的性質(zhì)求解; ; 明確數(shù)列中的正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)明確數(shù)列中的正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng), ,用負(fù)項(xiàng)之和最小用負(fù)項(xiàng)之和最小, ,正項(xiàng)之和最大來解決正項(xiàng)之和最大來解決. . 課堂達(dá)標(biāo)課堂達(dá)標(biāo) A A1.1.在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中中, ,已知已知a a1 1=3,d=2,=3,d=2,則則S S10 10等于 等于( ( ) ) (A)120(A)120 (B)240(B)

19、240 (C)180(C)180 (D)280(D)280 2.2.設(shè)設(shè)S Sn n是等差數(shù)列是等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和, ,已知已知a a2 2=3,a=3,a6 6=11,=11,則則S S7 7等于等于( ( ) ) (A)13(A)13(B)35(B)35(C)49(C)49(D)63(D)63 C C 3.3.已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和S Sn n=n=n2 2+2n,+2n,則數(shù)列則數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式a an n= =. . 解析解析: :當(dāng)當(dāng)n=1n=1時時,a,a1 1=S=S1 1=3.=3. 當(dāng)當(dāng)n2n2時時, , a an n=S=Sn n-S-Sn-1 n-1=n =n2 2+2n-(n-1)+2n-(n-1)2 2-2(n-1)=2n+1.-2(n-1)=