高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)和真題

1、高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)和真題知識(shí)點(diǎn)一：常見(jiàn)的概率類(lèi)型與概率計(jì)算公式；類(lèi)型一：古典概型；1、 古典概型的基本特點(diǎn)：（ 1） 基本事件數(shù)有限多個(gè)；（ 2） 每個(gè)基本事件之間互斥且等可能；2、 概率計(jì)算公式：A 事件發(fā)生的概率 P( A)A事件所包含的基本事件數(shù);總的基本事件數(shù)類(lèi)型二：幾何概型；1、 幾何概型的基本特點(diǎn)：（ 1） 基本事件數(shù)有無(wú)限多個(gè)；（ 2） 每個(gè)基本事件之間互斥且等可能；2、 概率計(jì)算公式：A 事件發(fā)生的概率 P( A)構(gòu)成 A事件的區(qū)域長(zhǎng)度（或面積或體積或角度）；總的區(qū)域長(zhǎng)度（或面積或體積或角度）注意：（ 1） 究竟是長(zhǎng)度比還是面積比還是體積比，關(guān)鍵是看表達(dá)該概率問(wèn)題需要幾個(gè)變量，如果

2、需要一個(gè)變量，則應(yīng)該是長(zhǎng)度比或者角度比；若需要兩個(gè)變量則應(yīng)該是面積比；當(dāng)然如果是必須要三個(gè)變量則必為體積比；（ 2） 如果是用一個(gè)變量，到底是角度問(wèn)題還是長(zhǎng)度問(wèn)題，關(guān)鍵是看誰(shuí)是變化的主體，哪一個(gè)是等可能的；例如：等腰ABC 中，角 C= 2，則：3（1）若點(diǎn) M 是線段 AB 上一點(diǎn)，求使得 AMAC 的概率；（2）若射線 CA 繞著點(diǎn) C 向射線 CB旋轉(zhuǎn)，且射線 CA 與線段 AB 始終相交且交點(diǎn)是M ，求使得 AMAC 的概率；解析： 第一問(wèn)中明確M 為 AB 上動(dòng)點(diǎn)， 即點(diǎn) M 是在 AB 上均勻分布， 所以這一問(wèn)應(yīng)該是長(zhǎng)度AC3之比，所求概率：P1 =;3AC3而第二問(wèn)中真正變化的主

3、體是射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，所以角度的變化是均勻的，所以這一問(wèn)應(yīng)該是角度之比的問(wèn)題，所以所求的概率：75o5；P2 =120= 8知識(shí)點(diǎn)二：常見(jiàn)的概率計(jì)算性質(zhì)；類(lèi)型一：事件間的關(guān)系與運(yùn)算；A+B（和事件）：表示 A、 B 兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生；A ?B （積事件）：表示 A、 B 兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生；A （對(duì)立事件）：表示事件A 的對(duì)立事件；類(lèi)型二：復(fù)雜事件的概率計(jì)算公式；1、 和事件的概率：P( AB)=P( A)P(B)P( A ? B)（1）特別的，若A 與 B 為互斥事件，則：P( AB)= P( A)P( B)（ 2）對(duì)立事件的概率公式：P( A)1P(A)2、 積事件的概率：（1）若事件A1、

4、 A2、L 、 An 相互獨(dú)立，則：P( A1 ? A2 ?L ? An )P( A1 ) ?P( A2 ) ?L ? P( An )（2） n 次獨(dú)立重復(fù)的貝努利實(shí)驗(yàn)中，某事件A 在每一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率都為p，則在 n次試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生 k 次的概率：P( A)nkCnk pk (1 p)n k類(lèi)型三：條件概率；1、 條件概率的定義：我們把在事件A 發(fā)生的條件下事件B 發(fā)生的概率記為：P( B | A) ；P( A ? B)且 P( B | A)P( A)2、 三個(gè)常見(jiàn)公式：（1）乘法公式： P( A ?B)P(A) ? P( B | A)n（2）全概率公式：設(shè)A1 , A2, A3,

5、L, An 是一組互斥的事件且Ak，則對(duì)于任何k1nn一個(gè)事件 B 都有： P( B)P( Ak ? B)P( Ai ) ? P(B | Ai )k1k1n（3）貝葉斯公式：設(shè)A1 , A2 , A3 ,L, An 是一組互斥的事件且Akk1則對(duì)于任何一個(gè)事件B 都有： P( Aj | B)P( Aj ) ? P(B | Aj )nP( Ai ) ? P( B | Ai )k 1知識(shí)點(diǎn)三：求解一般概率問(wèn)題的步驟；第一步：確定事件的性質(zhì)：等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件、 n 次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)等；第二步：確定事件的運(yùn)算：和事件、積事件、條件概率等；第三步：運(yùn)用相應(yīng)公式，算出結(jié)果；知識(shí)點(diǎn)三：常見(jiàn)的

6、統(tǒng)計(jì)學(xué)數(shù)字特征量及其計(jì)算；特征量一：平均數(shù)（數(shù)學(xué)期望）計(jì)算公式一：x1n( x1x2x3Lxn ) ；n計(jì)算公式二：Exxi?P( xxi ) ；k1計(jì)算公式三：（若隨機(jī)變量x是連續(xù)型隨機(jī)變量，且函數(shù)f ( x) 是它的密度函數(shù)）Exxf (x)dx特征量二：中位數(shù)將所有的數(shù)從大到小排或者從小到大排， 若共有奇數(shù)個(gè)數(shù)， 則正中間的那個(gè)數(shù)叫做這一列數(shù)的中位數(shù)；若共有偶數(shù)個(gè)數(shù)，那么正中間那兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)叫做這一列數(shù)的中位數(shù)。特征量三：眾數(shù)將所有數(shù)中出現(xiàn)次數(shù)最多且次數(shù)超過(guò) 1 次的數(shù)叫做這一列數(shù)的眾數(shù)。 一列數(shù)的眾數(shù)可以有多個(gè)，也可以沒(méi)有。特征量四：方差方差反映一組數(shù)或者一個(gè)統(tǒng)計(jì)變量的穩(wěn)定程度， 方

7、差越小數(shù)值越穩(wěn)定， 方差越大則數(shù)值波動(dòng)越大。1nx)2 ；計(jì)算公式一： D x( xknk11nxk ) ?( xk Ex) 2 ；計(jì)算公式二： D xP( xnk1計(jì)算公式三： D xEx 2( Ex)2 ；注：期望和方差的性質(zhì):性質(zhì) 1： E(c)c；性質(zhì) 2： E(axb)aEx b ；性質(zhì) 6： D (c)0 ；性質(zhì) 7： D (ax b)a2 D ( x) ；性質(zhì) 9：若 x1, x2 ,L , xn 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則：D ( x1x2Lxn )D ( x1 )D ( x2 )LD ( xn ) ；知識(shí)點(diǎn)四：簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)；問(wèn)題一：統(tǒng)計(jì)學(xué)中的簡(jiǎn)單的抽樣方法；方法一：簡(jiǎn)單隨機(jī)

8、抽樣；1、 基本原理： 根據(jù)研究目的選定總體，首先對(duì)總體中所有的觀察單位編號(hào)，遵循隨機(jī)原則，采用不放回抽取方法，從總體中隨機(jī)抽取一定數(shù)量觀察單位組成樣本。2、 具體做法：隨機(jī)數(shù)字法； 抽簽法；3、 優(yōu)缺點(diǎn)分析：優(yōu)點(diǎn)：基本原理比較簡(jiǎn)單；當(dāng)總體容量不大時(shí)比較方便；抽樣誤差的計(jì)算較方便；缺點(diǎn)：對(duì)所有觀察單位編號(hào)，當(dāng)數(shù)量大時(shí)，有難度；方法二：系統(tǒng)抽樣；1、 基本原理： 先將總體的觀察單位按某順序號(hào)等分成n 個(gè)部分再?gòu)牡谝徊糠蛛S機(jī)抽第k 號(hào)觀察單位，依次用相等間隔，機(jī)械地從每一部分各抽取一個(gè)觀察單位組成樣本；2、 優(yōu)缺點(diǎn)分析：優(yōu)點(diǎn)：抽樣方法簡(jiǎn)便，特別是容量比較大的時(shí)候；易得到一個(gè)按比例分配的樣本，抽樣誤

9、差較??；缺點(diǎn)：仍需對(duì)每個(gè)觀察單位編號(hào)；當(dāng)觀察單位按順序有周期趨勢(shì)或單調(diào)性趨勢(shì)時(shí)，產(chǎn)生明顯偏性；方法三：分層抽樣；1、 基本原理：先將總體按某種特征分成若干層，再?gòu)拿恳粚觾?nèi)隨機(jī)抽取一定數(shù)量的觀察單位，合起來(lái)組成樣本。2、 具體做法：第一步：計(jì)算每一層個(gè)體數(shù)與總體容量的比值；第二步：用樣本容量分別乘以每一層的比值，得出每層應(yīng)抽取的個(gè)體數(shù)；第三步：用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法產(chǎn)生樣本；3、 優(yōu)缺點(diǎn)分析：優(yōu)點(diǎn)：在一定程度上控制了抽樣誤差，尤其是最優(yōu)分配法；缺點(diǎn)：總體必須要能分成差別比較大的幾層時(shí)才能用，局限性比較大；總結(jié)：以上三種抽樣方法的共同特征是每個(gè)個(gè)體被抽中的可能性相同；知識(shí)點(diǎn)五：常用的幾個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)圖表；

10、圖表一：頻率分布直方圖與頻率分布折線圖；1、 說(shuō)明幾個(gè)基本概念：（1）頻數(shù)：符合某一條件的個(gè)體個(gè)數(shù)；頻數(shù)（2）頻率：頻率 = ；（在必要情況下，可以近視的看作概率；所有組的頻率之和總數(shù)是 1；）2、 認(rèn)識(shí)頻率分布直方圖：（ 1） 橫標(biāo)是分組的情況；（ 2） 縱標(biāo)不是頻率，而是頻率 / 組距；小方框的面積才是頻率；所有的面積和為1；3、 畫(huà)頻率分布直方圖：第一步：求極差；第二步：分組，確定組距；第三步：列頻率分布表；第四步：作圖；4、 畫(huà)頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖中每個(gè)方框的頂邊的中點(diǎn)用直線連起來(lái)形成的折線圖；5、 利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的統(tǒng)計(jì)學(xué)數(shù)字特征量：（1）中位數(shù)：取圖中方框面積

11、和達(dá)到1 時(shí)的橫坐標(biāo)；2（2）眾數(shù)：取最高的那個(gè)方框的中點(diǎn)橫坐標(biāo)；n（3）平均數(shù)： E( x)xk? P(x xk ) ；其中 xk 表示第 k 組的中點(diǎn)橫坐標(biāo)， P( x xk )k 1表示第 k 組的頻率；nE(x) 2 ；（4）方差： D (x) xkk1圖表二：莖葉圖；定義： 若數(shù)據(jù)為整數(shù)，一般用中間的數(shù)表示個(gè)位數(shù)以上的部分，兩邊的數(shù)表示個(gè)位數(shù)字；若數(shù)據(jù)是小數(shù)，一般用中間的數(shù)表示整數(shù)部分，兩邊的數(shù)表示小數(shù)部分形成的圖表；知識(shí)點(diǎn)六：變量間的相互關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例；1、相關(guān)關(guān)系的分類(lèi)：從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱(chēng)為正相關(guān)；點(diǎn)散布在從左上

12、角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱(chēng)為負(fù)相關(guān)。2、線性相關(guān)：從散點(diǎn)圖上看， 如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在一條直線附近，則稱(chēng)這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線。3最小二乘法求回歸方程：(1) 最小二乘法： 使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫最小二乘法(2) 回歸方程：兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：( x ， y ) ，( x ， y ) ， ( x， y ) ，其回歸方程為 y bx a，1122nn其中， b 是回歸方程的斜率，a 是在 y 軸上的截距4樣本相關(guān)系數(shù)：r ，用它來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量間的線性相關(guān)關(guān)系(1) 當(dāng) r 0 時(shí)，表明兩個(gè)變量

13、正相關(guān)；(2) 當(dāng) r 0 時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)；(3) r 的絕對(duì)值越接近1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；r 的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系通常當(dāng)| r | 0.75 時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系6獨(dú)立性檢驗(yàn)：(1) 用變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類(lèi)別，這種變量稱(chēng)為分類(lèi)變量例如：是否吸煙，宗教信仰，國(guó)籍等(2) 列出的兩個(gè)分類(lèi)變量的頻數(shù)表，稱(chēng)為列聯(lián)表(3) 一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量X 和 Y，它們的值域分別為 x1， x2 和 y1， y2 ，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表 ( 稱(chēng)為 2 2 列聯(lián)表 ) 為：y1y2總計(jì)x1ababx2cdcd總計(jì)acbda

14、 bc dK 2n( ad bc) 2( 其中 n a b cd 為樣本容量 ) ，可利用獨(dú)立性檢驗(yàn)(ab)( a c)(c d )(bd )判斷表來(lái)判斷“ x 與 y 的關(guān)系”這種利用隨機(jī)變量K2 來(lái)確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”的方法稱(chēng)為兩個(gè)分類(lèi)變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)附表：( 2)0.0500.0100.001P K kk3.8416.63510.828注意：（ 1） K 2 越大相關(guān)性越強(qiáng)，反之越弱；（ 2）附表中 P( K2 k) 是兩個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)變量無(wú)關(guān)的概率；知識(shí)點(diǎn)七：常見(jiàn)的概率分布及期望、方差；類(lèi)型一：離散型隨機(jī)變量的概率分布；1、 兩點(diǎn)分布（貝努利分布或0、1 分布）：（

15、1）特點(diǎn)：隨機(jī)變量x 只能取兩個(gè)值0、 1；分布列如下：x01Ppq（ 2） 期望：方差：E( x)q ；D ( x)qq2 =pq ；2、 二項(xiàng)分布：（1）特點(diǎn)：在n 次獨(dú)立重復(fù)的貝努利實(shí)驗(yàn)中，每次實(shí)驗(yàn)中A 事件發(fā)生的概率都是p；每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果A 或 A ；隨機(jī)變量 x 表示 n 次試驗(yàn)中A 事件發(fā)生的次數(shù)；即： P(xk)C k pk (1 p)n k ；則稱(chēng)隨機(jī)變量 x 服從二項(xiàng)分布；記為：nx : B(n, p) ；（2）期望： E( x)np ；（有兩種不同的證明方法，這里就省略了。）方差： D (x)np(1p)npq ；3、 幾何分布：（ 1）在獨(dú)立重復(fù)的貝努利實(shí)驗(yàn)中， 每

16、次實(shí)驗(yàn)中 A 事件發(fā)生的概率都是 p，不發(fā)特點(diǎn)：生的概率為（1 p ）；隨機(jī)變量x 表示 A 事件首次出現(xiàn)時(shí)試驗(yàn)的次數(shù)；則稱(chēng)隨機(jī)變量 x 服從幾何分布，記為：x : G ( p) ；（2）期望： E(x)1P( x k )(1p)k 1 pp ；（，期望公式可以利用等比數(shù)列求和和極限的思想證明。 ）方差： D ( x)1pp；4、 超幾何分布：（1）特點(diǎn)：一般的共有N個(gè)個(gè)體， A 類(lèi)個(gè)體有 M個(gè)，從中任取n 個(gè)，隨機(jī)變量 x 表示取到的 A 類(lèi)個(gè)體的個(gè)數(shù)，則稱(chēng) x 服從超幾何分布，記為：x : H (n, M , N ) ；CMk CNn kM;( k 0,1,2,3,L,min M , n)

17、 ；P( x k)nCN（2）期望： E(x)Mn；N方差： D (x)MnM (M 1)n(n1) ( Mn )2 ；NN ( N1)N類(lèi)型二： 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布； （高中階段我們只研究正態(tài)分布）正態(tài)分布：1、 密度函數(shù)的概念：在頻率分布折線圖中，當(dāng)樣本容量取得足夠大，組距取得足夠小的時(shí)候頻率分布折線圖會(huì)變成一條光滑的曲線， 我們就把這樣的曲線叫做連續(xù)性隨機(jī)變量的密度曲線；把他的解析式叫做密度函數(shù)；頻率/組距0.080.060.040.02150155160165170175180身高/cm顯然，如果連續(xù)型隨機(jī)變量x 的密度函數(shù)是f ( x) ，則：P( ax b)bf ( x)dx

18、 ；f (x)dx1；aa； ()()P( xa)f (x)dxf；P xax dxa1( x)2x 的密度函數(shù)是：e 222、正態(tài)分布的定義：如果連續(xù)型隨機(jī)變量f (x)；則稱(chēng)2隨機(jī)變量 x 服從正態(tài)分布，記為：x :N ( ,2 ) ；3、正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)：（ 1）整條曲線都在x 軸的上方，即f ( x)0 對(duì) xR 恒成立；（ 2） x是他的對(duì)稱(chēng)軸，當(dāng)x,時(shí)，函數(shù) f (x) 單調(diào)遞增；當(dāng) x, ) 時(shí)，函數(shù) f (x) 單調(diào)遞減；在 x時(shí)取得最大值；（ 3）正態(tài)分布曲線的兩個(gè)主要參數(shù),的幾何學(xué)意義：參數(shù)決定對(duì)稱(chēng)軸的位置，也決定整條曲線的位置，所以也稱(chēng)為位置參數(shù)；參數(shù)決定數(shù)據(jù)的離散程度

19、，也就決定了曲線的高矮胖瘦；具體規(guī)律是：越大，數(shù)據(jù)越離散，曲線越矮越胖；越小，數(shù)據(jù)越集中，曲線越高越瘦；于是我們習(xí)慣于把參數(shù)稱(chēng)為形狀參數(shù)；4、 正態(tài)分布的期望與方差：若x : N (,2 )期望： E( x)；方差： D (x)2 ；5、 正態(tài)分布的3原則：（1） P(x)0.6826 ；（2） P(2x2)0.9544 ；（3） P(3x3)0.9974 ；6、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：若x :N (0,1)，則稱(chēng)隨機(jī)變量x 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；7、正態(tài)分布x : N (,2 ) 與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系：若 x : N (,2 ) ，則 xu : N (0,1) ；一選擇題1(2014 新課標(biāo) I)

20、.4 位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，則周六、 周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率135D .7A .B .C .88882. (2014 新課標(biāo) II)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）A. 0.8B.0.75C.0.6D. 0.453. (2014 陜西 )從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5 個(gè)點(diǎn)中， 任取 2 個(gè)點(diǎn)，則這 2 個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為（）A. 1B. 2C. 3D . 455554 （ 2014浙江） 已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅球

21、，乙盒中有m 個(gè)紅球和n 個(gè)籃球m3,n3 ，從乙盒中隨機(jī)抽取i i1,2 個(gè)球放入甲盒中 .（a）放入 i 個(gè)球后，甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為i 1,2；i（b ）放入 i 個(gè)球后，從甲盒中取1 個(gè)球是紅球的概率記為pii1,2.則A. p1p2 , E 1E2B. p1p2 , E1E2C. p1p2 , E 1E2D. p1p2 , E1E2x0xy15. (2014湖北 ) 由不等式 y0確定的平面區(qū)域記為1 ，不等式y(tǒng)，確yx2 0x2定的平面區(qū)域記為2 ，在1 中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在2 內(nèi)的概率為（）1137A.B.C.D.8448二填空題1（2014 福建）如圖，在邊長(zhǎng)為e （

22、 e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則他落到陰影部分的概率為 _.2(2014上海 )為強(qiáng)化安全意識(shí)， 某商場(chǎng)擬在未來(lái)的連續(xù)10 天中隨機(jī)選擇3 天進(jìn)行緊急疏散演練，則選擇的3 天恰好為連續(xù)3 天的概率是（結(jié)構(gòu)用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示） 。3 (2014 上海 )某游戲的得分為1,2,3,4，5，隨機(jī)變量表示小白玩游戲的得分。若( ) =4.2，則小白得 5 分的概率至少為。4. (2014 江蘇 )從 1,2,3,6 這 4 個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取 2個(gè)數(shù) ,則所取 2 個(gè)數(shù)的乘積為 6的概率是 .5(2014廣東 )從 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七個(gè)不同的數(shù)，則這七個(gè)數(shù)的中位數(shù)是6 的概率為.6(2014江西 ).10 件產(chǎn)品中有 7 件正品， 3 件次品，從中任取4 件，則恰好取到 1 件次品的概率是 _.7.（ 2014 遼寧） 正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A( 1, 1), B(1, 1),C (1,1),D (1,1) 分別在拋物線yx2 和 yx2 上，如圖所示，若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形ABCD中，則質(zhì)點(diǎn)落在陰影區(qū)域的概率是.8（ 2014 浙江）隨機(jī)變量的取值為0,1,2，若 P01 ，E1，則 D_.5三解答題1. (2014 陜西