第二章有理數(shù)復(fù)習(xí)(華師大版)

1、 一、知識網(wǎng)絡(luò)一、知識網(wǎng)絡(luò) 有理數(shù)有理數(shù) 概念概念 運(yùn)算運(yùn)算 有理數(shù)的分類有理數(shù)的分類 相反數(shù)相反數(shù) 大小比較大小比較 法法 則則 運(yùn)算律運(yùn)算律 數(shù)軸數(shù)軸 近似數(shù)與有效數(shù)字近似數(shù)與有效數(shù)字 絕對值絕對值 倒數(shù)倒數(shù) 加法加法 減法減法 乘法乘法 除法除法 乘方乘方 混合運(yùn)算混合運(yùn)算 交換律交換律 科學(xué)記數(shù)法科學(xué)記數(shù)法 結(jié)合律結(jié)合律 分配律分配律 （一）注意學(xué)好概念，深刻理解概念（一）注意學(xué)好概念，深刻理解概念 二、注意事項二、注意事項 不少同學(xué)對概念記得準(zhǔn)，背得熟，但是遇到具體問題就混淆不不少同學(xué)對概念記得準(zhǔn)，背得熟，但是遇到具體問題就混淆不 清，這是沒有理解概念的緣故，因此學(xué)好概必須著重理解概

2、念。清，這是沒有理解概念的緣故，因此學(xué)好概必須著重理解概念。 例如：例如：(-3)2與與-32的意義是什么？結(jié)果等于什么？經(jīng)?；煜５囊饬x是什么？結(jié)果等于什么？經(jīng)常混淆。 的區(qū)別又是什么？與 2 2 3 2 3 2 理解理解“非非”的概的概 念念 非正數(shù)非正數(shù) 負(fù)數(shù)負(fù)數(shù) 零零 非負(fù)數(shù)非負(fù)數(shù) 正數(shù)正數(shù) 零零 非正有理數(shù)非正有理數(shù) 負(fù)有理數(shù)負(fù)有理數(shù) 零零 非負(fù)有理數(shù)非負(fù)有理數(shù) 正有理數(shù)正有理數(shù) 零零 （二）注意運(yùn)算順序（二）注意運(yùn)算順序 。算順序，因而造成錯誤了乘方運(yùn)算，顛倒了運(yùn) 法運(yùn)算，而后做約分，實際上先做了乘與這是 計算 48 1569)2() 3(98) 4 3 () 3( 2 2 運(yùn)算中

3、很多錯誤來自顛倒了運(yùn)算順序。例如下面的計算。運(yùn)算中很多錯誤來自顛倒了運(yùn)算順序。例如下面的計算。 錯誤。，顛倒了運(yùn)算順序，成按照同級運(yùn)算從左到右 法運(yùn)算，而沒有相除，實際上先做了除與這是 計算 26 81)3(272633 （三）正確使用運(yùn)算法則和運(yùn)算律（三）正確使用運(yùn)算法則和運(yùn)算律 在使用乘法分配律時，常出現(xiàn)符號錯誤。例如：在使用乘法分配律時，常出現(xiàn)符號錯誤。例如： 4 3 1 4 1 2 3 ) 2 3 () 3 2 () 8 3 ( 3 2 ) 4 9 () 3 2 ( ) 2 3 () 8 3 () 4 9 () 3 2 ( ) 2 1 1() 8 3 () 4 1 2() 3 2 (

4、正確算法你知道嗎？正確算法你知道嗎？ 弄清概念，對比理解，正弄清概念，對比理解，正 確使用運(yùn)算法則及運(yùn)算律是避確使用運(yùn)算法則及運(yùn)算律是避 免錯誤的重要一環(huán)，千萬不可免錯誤的重要一環(huán)，千萬不可 用盲目做題來達(dá)到學(xué)好數(shù)學(xué)的用盲目做題來達(dá)到學(xué)好數(shù)學(xué)的 目的。目的。 贈贈 語語 （一）轉(zhuǎn)化思想（一）轉(zhuǎn)化思想 轉(zhuǎn)化思想是一種最基本的數(shù)學(xué)思想，將轉(zhuǎn)化思想是一種最基本的數(shù)學(xué)思想，將 所要研究或解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的問所要研究或解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的問 題來處理的數(shù)學(xué)思想稱為題來處理的數(shù)學(xué)思想稱為轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想。 如：在相反數(shù)及加法法則的基礎(chǔ)上，利如：在相反數(shù)及加法法則的基礎(chǔ)上，利 用減法法則，將減

5、法運(yùn)算用減法法則，將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算。為加法運(yùn)算。 又如利用倒數(shù)的概念得到除法法則將除法又如利用倒數(shù)的概念得到除法法則將除法轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 化化為乘法運(yùn)算。利用絕對值概念將有理數(shù)運(yùn)為乘法運(yùn)算。利用絕對值概念將有理數(shù)運(yùn) 算算轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為算術(shù)運(yùn)算。為算術(shù)運(yùn)算。 三、思想方法三、思想方法 （二）數(shù)形結(jié)合思想（二）數(shù)形結(jié)合思想 著名數(shù)學(xué)家華羅庚說：著名數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)缺形而少直數(shù)缺形而少直 覺，形少數(shù)而難入微覺，形少數(shù)而難入微”。指明研究數(shù)學(xué)問題。指明研究數(shù)學(xué)問題 要注意數(shù)形結(jié)合。要注意數(shù)形結(jié)合。 數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀就是把抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀 的圖形結(jié)合起來，使抽象變直觀，化

6、繁為簡的圖形結(jié)合起來，使抽象變直觀，化繁為簡 ，化難為易，啟迪思維探求解題思路。，化難為易，啟迪思維探求解題思路。 用數(shù)軸上點(diǎn)來表示有理數(shù)，就是最簡單用數(shù)軸上點(diǎn)來表示有理數(shù)，就是最簡單 的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。結(jié)合數(shù)軸，對于理的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。結(jié)合數(shù)軸，對于理 解有理數(shù)的絕對值、相反數(shù)等概念以及大小解有理數(shù)的絕對值、相反數(shù)等概念以及大小 比較等，更有直觀性。比較等，更有直觀性。 當(dāng)被研究的問題包含多種可能情況，不當(dāng)被研究的問題包含多種可能情況，不 能一概而論時，必須按可能出現(xiàn)的所有情況能一概而論時，必須按可能出現(xiàn)的所有情況 來分別討論，得出各種情況下相應(yīng)的結(jié)論，來分別討論，得出各種情況下相應(yīng)

7、的結(jié)論， 這種處理問題的思維方法稱為這種處理問題的思維方法稱為分類討論思想分類討論思想 如：下面研究數(shù)如：下面研究數(shù)a a的絕對值的絕對值 若若a a0 0，則，則a a= = ; ; 1 1） 若若a a0 0，則，則a a= = ; ; 若若a =0a =0，則，則a a= = ; ; a a -a-a 0 0 2) 2) 對任何有理數(shù)對任何有理數(shù)a,a,總有總有a a0.0. （三）分類討論思想（三）分類討論思想 分類討論一般按以下四個步驟：分類討論一般按以下四個步驟： 1 1）確定分類討論的對象；）確定分類討論的對象； 2 2）進(jìn)行合理的分類；）進(jìn)行合理的分類； 3 3）逐類進(jìn)行討論；

8、）逐類進(jìn)行討論； 4 4）歸納分類結(jié)果，得出問題答案）歸納分類結(jié)果，得出問題答案 所謂合理分類，是指分類時應(yīng)按同一標(biāo)所謂合理分類，是指分類時應(yīng)按同一標(biāo) 準(zhǔn)進(jìn)行，并做到不準(zhǔn)進(jìn)行，并做到不“重復(fù)重復(fù)”，不，不“遺漏遺漏” 在有理數(shù)這一章中的一些主要概念和性在有理數(shù)這一章中的一些主要概念和性 質(zhì)，例如：數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)大質(zhì)，例如：數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)大 小比較、有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律的研究都小比較、有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律的研究都 離不開觀察。離不開觀察。 （四）觀察方法（四）觀察方法 應(yīng)考方略應(yīng)考方略 從已知條件出發(fā)，運(yùn)用定義、公式、定從已知條件出發(fā)，運(yùn)用定義、公式、定 理進(jìn)

9、行運(yùn)算推理，直接得出結(jié)論。理進(jìn)行運(yùn)算推理，直接得出結(jié)論。 一、常見題型介紹一、常見題型介紹 1、填空題及其解法、填空題及其解法 （1）直接法）直接法 例例1如果如果a的相反數(shù)是最大的負(fù)整數(shù)，的相反數(shù)是最大的負(fù)整數(shù)，b是絕對值最小是絕對值最小 的數(shù)，那么的數(shù)，那么a+b= 。 填空題是初中數(shù)學(xué)的基本題型，這類題知識點(diǎn)覆蓋填空題是初中數(shù)學(xué)的基本題型，這類題知識點(diǎn)覆蓋 面大，對于考察基礎(chǔ)知識、基本方法、基本技能、計算面大，對于考察基礎(chǔ)知識、基本方法、基本技能、計算 的準(zhǔn)確性和解題速度都有很大作用。的準(zhǔn)確性和解題速度都有很大作用。 解：最大的負(fù)整數(shù)是解：最大的負(fù)整數(shù)是-1，a是是-1的相反數(shù)，則的相反

10、數(shù)，則a=1；絕；絕 對值最小的數(shù)是對值最小的數(shù)是0，所以，所以a+b=1+0=1 （2）識記法）識記法 通過對定義、公式、定理的掌握與回憶，通過對定義、公式、定理的掌握與回憶， 把問題填補(bǔ)完整。把問題填補(bǔ)完整。 例例2 和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。 解：整數(shù)解：整數(shù) 依據(jù)題目的條件及特征，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)依據(jù)題目的條件及特征，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù) 值、特殊圖形進(jìn)行運(yùn)計算或推理，求得正確結(jié)論。值、特殊圖形進(jìn)行運(yùn)計算或推理，求得正確結(jié)論。 （3）特殊法）特殊法 例例3已知已知0a、=或或) 解：可取符合條件的特殊數(shù)，取解：可取符合條件的特殊數(shù)，取a=1/2時，時，1/a=2， 1/221/22，

11、a1/a，所以應(yīng)填，所以應(yīng)填”0，b0，c|c|，化簡，化簡 |c-a|+|c-b|+|b-a|= 。 解：由已知條件，解：由已知條件，a，b，c可在數(shù)軸上表示如下：可在數(shù)軸上表示如下： 根據(jù)數(shù)軸上表示的兩個根據(jù)數(shù)軸上表示的兩個 數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。 |c-a|+|c-b|+|b-a|=a-c+c-b+a-b=2a-2b 0 a c b 2 2、選擇題及其解法、選擇題及其解法 從題干給出的條件出發(fā)，聯(lián)想有關(guān)的基從題干給出的條件出發(fā)，聯(lián)想有關(guān)的基 礎(chǔ)知識，通過推理、計算得到結(jié)論，從而確定選擇支礎(chǔ)知識，通過推理、計算得到結(jié)論，從而確定選擇支 是正確的。此法為常用

12、方法。是正確的。此法為常用方法。 （1）直接法）直接法 例例1下列說法中，正確的是（下列說法中，正確的是（ ） A.在有理數(shù)中，在有理數(shù)中，0的意義僅表示沒有的意義僅表示沒有 B.正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)組成全體有理數(shù)正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)組成全體有理數(shù) C.0.7不是正數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，因此它不是有理數(shù)不是正數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，因此它不是有理數(shù) D.零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù) 選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化試題的主要形式，選擇題一般由選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化試題的主要形式，選擇題一般由 “解題指令解題指令”、“題干題干”、“答案答案”三部分構(gòu)成。初中三部分構(gòu)成。初中 數(shù)學(xué)的選擇題一般指明在備選答案中只有一個正確

13、，大數(shù)學(xué)的選擇題一般指明在備選答案中只有一個正確，大 都屬于單項選擇題。下面介紹幾中常用方法。都屬于單項選擇題。下面介紹幾中常用方法。 解：直接判斷后，選擇解：直接判斷后，選擇D 也叫做篩選法，是間接解選擇題的方法也叫做篩選法，是間接解選擇題的方法 之一。因為指令中指明了備選答案只有一個正確，所之一。因為指令中指明了備選答案只有一個正確，所 以當(dāng)用直接法受到限制時，可以根據(jù)已知條件及選擇以當(dāng)用直接法受到限制時，可以根據(jù)已知條件及選擇 支提供的信息，篩選排除其中三個答案，則剩下的一支提供的信息，篩選排除其中三個答案，則剩下的一 個就是需要選擇的答案了。個就是需要選擇的答案了。 （2）排除法）排除

14、法 例例2 下列判斷正確的是（下列判斷正確的是（ ） A.m表示有理數(shù)，則表示有理數(shù)，則-m表示負(fù)數(shù)表示負(fù)數(shù) B.m表示有理數(shù)，則表示有理數(shù)，則m的相反數(shù)是的相反數(shù)是-m C.m表示有理數(shù)，則表示有理數(shù)，則-m的絕對值是的絕對值是m D.m表示有理數(shù)，則表示有理數(shù)，則m倒數(shù)是倒數(shù)是1/m 解：舉反例排除解：舉反例排除 A。反例：取。反例：取m 的值為的值為-4，則，則-m =4；舉反例排除；舉反例排除 C，當(dāng)，當(dāng) m=-6時，時， -m的絕對值是的絕對值是-m，而不是，而不是m；舉反例排除；舉反例排除D，當(dāng)，當(dāng) m=0時，時，m沒有倒數(shù)，故應(yīng)選沒有倒數(shù)，故應(yīng)選B。 也叫做特例法，對于界定某一個

15、范圍的也叫做特例法，對于界定某一個范圍的 選擇題，可以通過選擇符合題干條件的特殊情況（特選擇題，可以通過選擇符合題干條件的特殊情況（特 殊值、特殊圖形、特殊關(guān)系等）進(jìn)行計算和推理，排殊值、特殊圖形、特殊關(guān)系等）進(jìn)行計算和推理，排 除錯誤答案，驗證正確結(jié)論。這種解法的思路是把抽除錯誤答案，驗證正確結(jié)論。這種解法的思路是把抽 象問題具體化，一般問題特殊化。象問題具體化，一般問題特殊化。 （3）特殊值法）特殊值法 例例3 相反數(shù)是相反數(shù)是a+b，則原數(shù)是（，則原數(shù)是（ ） A.a-b B.b-a C. a+b D.-(a+b) 解：取特殊值解：取特殊值a=3，b=5，則，則a+b=8，而答案中，而答

16、案中 A.-2，B.2，C.2，D.-8，顯然原數(shù)，顯然原數(shù)-8是正確的，故是正確的，故 本題應(yīng)選本題應(yīng)選D。 很多與字母相關(guān)的題都可以用此法很多與字母相關(guān)的題都可以用此法 是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來解答選擇題的是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來解答選擇題的 方法。它是根據(jù)題目所給條件，作出相應(yīng)的圖形，然方法。它是根據(jù)題目所給條件，作出相應(yīng)的圖形，然 后借助圖形，應(yīng)用條件進(jìn)行分析、運(yùn)算、推理，推出后借助圖形，應(yīng)用條件進(jìn)行分析、運(yùn)算、推理，推出 錯誤答案，選擇正確結(jié)論。錯誤答案，選擇正確結(jié)論。 （4）圖示法）圖示法 例例4 若若ac0，b+c0， 化簡化簡|a+c-b|+|a-b-c|的結(jié)果是（的結(jié)果是（ ）

17、A.2a-2b B.2c C. 2b-2c D.2b-2a 解：由條件可畫出圖解：由條件可畫出圖 觀察圖形可知觀察圖形可知a+c-b0，a-b-c|b|，則，則|a|-|a+b|-|b-a|化簡后得（化簡后得（ ） A.2b+a B.2b-a C.a D.b 解：從數(shù)軸上看出，解：從數(shù)軸上看出，a0，且，且|a|b|， |a|-|a+b|-|b-a|=-a+a+b-b+a=a，故選，故選C 0ab 規(guī)律總結(jié)：充分利用數(shù)形結(jié)合思想，借助數(shù)軸這個橋規(guī)律總結(jié)：充分利用數(shù)形結(jié)合思想，借助數(shù)軸這個橋 梁來理解相反數(shù)、絕對值的概念。此知識點(diǎn)常以填空、梁來理解相反數(shù)、絕對值的概念。此知識點(diǎn)常以填空、 選擇形

18、式在中考中出現(xiàn)。選擇形式在中考中出現(xiàn)。 方法方法2：充分利用概念法：充分利用概念法 例例2已知已知a、b互為相反數(shù)，互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，且互為倒數(shù)，且 b2/3，求代數(shù)式，求代數(shù)式 的值。的值。 解：解： a、b互為相反數(shù)，互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)互為倒數(shù)， a=-b，cd=1 規(guī)律總結(jié)：一些概念本身就隱含著許多等式，如互為規(guī)律總結(jié)：一些概念本身就隱含著許多等式，如互為 相反數(shù)的兩個數(shù)的和為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0，互為倒數(shù)的兩個數(shù)的積為，互為倒數(shù)的兩個數(shù)的積為1， 絕對值為一正數(shù)的數(shù)有兩個，且它們互為相反數(shù)。靈絕對值為一正數(shù)的數(shù)有兩個，且它們互為相反數(shù)。靈 活運(yùn)用這些規(guī)律，可使問題較簡單地得到解決。另外，活運(yùn)用這些規(guī)律，可使問題較簡單地得到解決。另外，