動點路徑長專題(含答案)

1、-動點路徑長專題一選擇題（共2 小題）1如圖，拋物線y=x 2x與直線 y=x 2 交于 A 、B 兩點（點 A 在點 B 的左側(cè)），動點 P 從 A 點出發(fā)，先到達拋物線的對稱軸上的某點E，再到達x 軸上的某點F，最后運動到點B若使點P 運動的總路徑最短，則點P 運動的總路徑的長為（）ABCD圖1圖22如圖，半徑為4 的 O 中， CD 為直徑，弦 AB CD 且過半徑OD 的中點，點E 為 O 上一動點， CFAE 于點F當(dāng)點 E 從點 B 出發(fā)順時針運動到點D 時，點 F 所經(jīng)過的路徑長為（）ABCD二填空題（共9 小題）3（ 2013?鄂爾多斯）如圖，直線y= x+4 與兩坐標(biāo)軸交A

2、、B 兩點，點P 為線段 OA 上的動點，連接BP，過點 A作 AM 垂直于直線BP，垂足為M ，當(dāng)點 P 從點 O 運動到點 A 時，則點M 運動路徑的長為_圖3圖4圖54如圖，半徑為2cm，圓心角為90的扇形 OAB 的上有一運動的點P從點 P 向半徑 OA 引垂線 PH 交 OA 于點 H 設(shè) OPH 的內(nèi)心為I，當(dāng)點 P 在上從點 A 運動到點B 時，內(nèi)心I 所經(jīng)過的路徑長為_5（ 2011?江西模擬）已知扇形的圓心角為60，半徑為1，將它沿著箭頭方向無滑動滾動到OAB位置， 點 O 到 O的路徑是OO1O1O2O2O； 點O到O的路徑是； 點 O 在 O1O2 段上運動路線是線段O1

3、O2； 點 O 到 O的所經(jīng)過的路徑長為以上命題正確的是_-6（ 2013?寧德）如圖，在RtABC 紙片中， C=90 ， AC=BC=4 ，點 P 在 AC 上運動，將紙片沿PB 折疊，得到點 C 的對應(yīng)點D（ P 在 C 點時，點C 的對應(yīng)點是本身） ，則折疊過程對應(yīng)點D 的路徑長是_圖6圖7圖87如圖，已知AB=10 ，P 是線段 AB 上的動點，分別以AP、 PB 為邊在線段AB 的同側(cè)作等邊 ACP 和 PDB ，連接 CD ，設(shè) CD 的中點為G，當(dāng)點 P 從點 A 運動到點B 時，則點 G 移動路徑的長是_8（ 2013?湖州）如圖，已知點 A 是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為 2 的一個

4、定點， AC x 軸于點 M ，交直線 y= x 于點 N 若點 P 是線段 ON 上的一個動點， APB=30 ，BA PA，則點 P 在線段 ON 上運動時， A 點不變， B 點隨之運動求當(dāng)點 P 從點 O 運動到點 N 時，點 B 運動的路徑長是_9（ 2013?桂林）如圖，已知線段AB=10 ，AC=BD=2，點 P 是 CD 上一動點，分別以 AP、 PB 為邊向上、向下作正方形 APEF 和 PHKB ，設(shè)正方形對角線的交點分別為O1、 O2，當(dāng)點 P 從點 C 運動到點 D 時，線段 O1O2 中點 G 的運動路徑的長是_圖 9圖 10圖 1110（ 2013?竹溪縣模擬）如圖

5、：已知AB=10 ，點 C、 D 在線段 AB 上且 AC=DB=1 ； P 是線段 CD 上的動點，分別以 AP、PB 為邊在線段 AB 的同側(cè)作等邊 AEP 和等邊 PFB，連結(jié) EF，設(shè) EF 的中點為 G；當(dāng)點 P 從點 C 運動到點 D 時，則點 G 移動路徑的長是_11如圖，一根長為 2 米的木棒AB 斜靠在墻角處，此時BC 為 1 米，當(dāng) A 點下滑至 A 處并且 AC=1 米時，木棒AB 的中點 P 運動的路徑長為_ 米三解答題（共1 小題）12（ 2012?義烏市模擬）如圖，邊長為4 的等邊 AOB 的頂點 O 在坐標(biāo)原點，點A 在 x 軸正半軸上，點 B 在第一象限一動點P

6、 沿 x 軸以每秒 1 個單位長度的速度由點O 向點 A 勻速運動，當(dāng)點P 到達點 A 時停止運動，設(shè)點 P運動的時間是t 秒在點 P 的運動過程中，線段BP 的中點為點 E，將線段 PE 繞點 P 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 60得 PC（ 1）當(dāng)點 P 運動到線段 OA 的中點時，點 C 的坐標(biāo)為_ ；（ 2）在點 P 從點 O 到點 A 的運動過程中，用含t 的代數(shù)式表示點 C 的坐標(biāo)；（ 3）在點 P 從點 O 到點 A 的運動過程中，求出點C 所經(jīng)過的路徑長-動點路徑長專題參考答案與試題解析一選擇題（共2 小題）1如圖，拋物線y=x 2 x 與直線 y=x 2 交于 A 、B 兩點（點 A 在

7、點 B 的左側(cè)），動點 P 從 A 點出發(fā)，先到達拋物線的對稱軸上的某點E，再到達 x 軸上的某點 F，最后運動到點 B 若使點 P 運動的總路徑最短，則點P 運動的總路徑的長為（）ABCD考點 ： 二次函數(shù)綜合題專題 ： 壓軸題分析：首先根據(jù)題意求得點A 與 B 的坐標(biāo)， 求得拋物線的對稱軸，然后作點 A 關(guān)于拋物線的對稱軸x= 的對稱點A ，作點 B 關(guān)于 x 軸的對稱點B ，連接 A B，則直線 A B與直線 x=的交點是E，與 x 軸的交點是F，而且易得 A B即是所求的長度解答：解：如圖 拋物線 y=x 2x與直線 y=x 2 交于 A 、 B 兩點， x2 x =x 2，解得： x

8、=1 或 x=，當(dāng) x=1 時， y=x 2= 1，當(dāng) x= 時， y=x 2= ， 點 A 的坐標(biāo)為（，），點 B 的坐標(biāo)為（ 1， 1）， 拋物線對稱軸方程為：x= =作點 A 關(guān)于拋物線的對稱軸x=的對稱點A ，作點 B 關(guān)于 x 軸的對稱點B，連接 A B，則直線 A B與對稱軸（直線x=）的交點是E，與 x 軸的交點是F， BF=B F， AE=A E， 點 P 運動的最短總路徑是 AE+EF+FB=A E+EF+FB =A B，延長 BB ， AA 相交于 C， A C= + +（ 1 ）=1， B C=1+ = ， AB=- 點 P 運動的總路徑的長為故選 A點評：此題考查了二次

9、函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用注意找到點 P 運動的最短路徑是解此題的關(guān)鍵，還要注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用2如圖，半徑為4 的 O 中， CD 為直徑，弦 AB CD 且過半徑OD 的中點，點E 為 O 上一動點， CFAE 于點F當(dāng)點 E 從點 B 出發(fā)順時針運動到點D 時，點 F 所經(jīng)過的路徑長為（）ABCD考點 ： 圓的綜合題專題 ： 壓軸題分析：連接 AC ， AO，由 AB CD，利用垂徑定理得到G 為 AB 的中點，由中點的定義確定出OG 的長，在直角三角形 AOG 中，由 AO 與 OG 的長，利用勾股定理求出 AG 的長，進而確定出 AB 的長，由 CO+GO 求出 CG 的長，在

10、直角三角形 AGC 中，利用勾股定理求出 AC 的長，由 CF 垂直于 AE ，得到三角形 ACF 始終為直角三角形，點F 的運動軌跡為以AC 為直徑的半徑，如圖中紅線所示，當(dāng)E 位于點 B 時， CG AE ，此時 F 與 G 重合；當(dāng)E 位于 D 時， CA AE ，此時 F 與 A 重合，可得出當(dāng)點E 從點 B 出發(fā)順時針運動到點 D 時，點 F 所經(jīng)過的路徑長，在直角三角形ACG 中，利用銳角三角函數(shù)定義求出ACG 的度數(shù)，進而確定出所對圓心角的度數(shù)，再由AC 的長求出半徑，利用弧長公式即可求出的長，即可求出點F 所經(jīng)過的路徑長解答：解：連接AC ， AO ， AB CD， G 為 A

11、B 的中點，即AG=BG=AB ， O 的半徑為4，弦 AB CD 且過半徑OD 的中點， OG=2 ， 在 RtAOG 中，根據(jù)勾股定理得：AG=2， AB=2AG=4，又 CG=CO+GO=4+2=6 ， 在 RtAGC 中，根據(jù)勾股定理得：AC=4， CFAE ， ACF 始終是直角三角形，點F 的運動軌跡為以AC 為直徑的半圓，當(dāng) E 位于點 B 時， CGAE，此時 F 與 G 重合；當(dāng) E 位于 D 時， CA AE，此時 F 與 A 重合， 當(dāng)點 E 從點 B 出發(fā)順時針運動到點D 時，點 F 所經(jīng)過的路徑長，-在 Rt ACG 中， tan ACG=， ACG=30 ，所對圓心

12、角的度數(shù)為60， 直徑 AC=4，的長為=，則當(dāng)點 E 從點 B 出發(fā)順時針運動到點D 時，點 F 所經(jīng)過的路徑長為故選 C點評：此題考查了圓的綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，弧長公式，以及圓周角定理， 其中根據(jù)題意得到點E 從點 B 出發(fā)順時針運動到點D 時，點 F 所經(jīng)過的路徑長，是解本題的關(guān)鍵二填空題（共9 小題）3（ 2013?鄂爾多斯） 如圖，直線 y= x+4 與兩坐標(biāo)軸交A、B 兩點，點 P 為線段 OA上的動點，連接BP，過點 A 作 AM 垂直于直線 BP ，垂足為 M ，當(dāng)點 P 從點 O 運動到點 A 時，則點M 運動路徑的長為考點 ：

13、一次函數(shù)綜合題分析：根據(jù)直線與兩坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)的特點可得A 、 B 兩點坐標(biāo)，由題意可得點M 的路徑是以AB 的中點 N 為圓心， AB 長的一半為半徑的，求出的長度即可解答：解： AM 垂直于直線BP， BMA=90 ， 點 M 的路徑是以AB 的中點 N 為圓心， AB 長的一半為半徑的，連接 ON， 直線 y= x+4 與兩坐標(biāo)軸交A 、B 兩點， OA=OB=4 ， ONAB ， ONA=90 ，AB=4， ON=2，=?2=故答案為：點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了兩坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)及點的運動軌跡，難點在于根據(jù) BMC=90 ，判斷出點 M 的運動路徑是解題的關(guān)鍵，同學(xué)們要注意

14、培養(yǎng)自己解答綜合題的能力-4如圖，半徑為2cm，圓心角為 90的扇形 OAB 的上有一運動的點P從點 P 向半徑 OA 引垂線 PH交OA于點 H設(shè) OPH 的內(nèi)心為 I，當(dāng)點 P 在上從點 A 運動到點 B 時，內(nèi)心 I 所經(jīng)過的路徑長為考點 ： 弧長的計算；全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心專題 ： 計算題分析：如圖， 連 OI ，PI，AI ，由 OPH 的內(nèi)心為 I，可得到 PIO=180 IPO IOP=180 （ HOP+ OPH）=135 ，并且易證 OPI OAI ，得到 AIO= PIO=135 ，所以點 I 在以 OA 為弦，并且所對的圓周角為135的一段劣弧上；

15、過 A 、 I、O 三點作 O，如圖，連 OA，OO，在優(yōu)弧 AO 取點 P，連 PA，PO，可得 APO=180 135=45 ，得 AOO=90 ，OO=OA=2=，然后利用弧長公式計算弧OA 的長解答： 解：如圖，連 OI， PI， AI ， OPH 的內(nèi)心為I， IOP= IOA ， IPO= IPH ， PIO=180 IPO IOP=180（ HOP+ OPH），而 PH OA ，即 PHO=90 ， PIO=180 （ HOP+ OPH） =180（ 180 90） =135，又 OP=OA ， OI 公共，而 IOP= IOA ， OPIOAI ， AIO= PIO=135 ，

16、所以點 I 在以 OA 為弦，并且所對的圓周角為135的一段劣弧上；過 A 、I、 O 三點作 O，如圖，連 OA， OO，在優(yōu)弧 AO 取點 P，連 PA，PO， AIO=135 ， APO=180 135=45 ， AOO=90 ，而 OA=2cm ， OO= OA=2= ，弧 OA 的長=（cm），所以內(nèi)心 I 所經(jīng)過的路徑長為cm 故答案為：cm點評：本題考查了弧長的計算公式：l=，其中 l 表示弧長， n 表示弧所對的圓心角的度數(shù)同時考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、圓周角定理和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)5（ 2011?江西模擬）已知扇形的圓心角為 60，半徑為 1，將它沿著

17、箭頭方向無滑動滾動到 OAB位置， 點 O 到 O的路徑是OO1O1O2O2O； 點O到O的路徑是；- 點 O 在 O1O2 段上運動路線是線段O1O2； 點 O 到 O的所經(jīng)過的路徑長為以上命題正確的是考點 ： 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；弧長的計算分析： 圓心 O 由 O 到 O1 的路徑是以 A 為圓心，以 OA 為半徑的圓?。?由 O1 到 O2 圓心所經(jīng)過的路線是線段O1O2；由 O2 到 O，圓心經(jīng)過的路徑是：以 B 為圓心，以 OB為半徑的圓弧據(jù)此即可判斷解答： 解：圓心 O 由 O 到 O1 的路徑是以 A 為圓心，以 OA 為半徑的圓?。挥?O1 到 O2 圓心所經(jīng)過的路線是線段 O1O2

18、；由 O2 到 O，圓心經(jīng)過的路徑是：以B 為圓心，以O(shè)B為半徑的圓弧故正確的是：故答案為： 點評：本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，正確確定圓心O 經(jīng)過的路線是解決本題的關(guān)鍵6（ 2013?寧德）如圖，在 Rt ABC 紙片中， C=90 ， AC=BC=4 ，點 P 在 AC 上運動，將紙片沿 PB 折疊，得到點 C 的對應(yīng)點 D（ P 在 C 點時，點 C 的對應(yīng)點是本身） ，則折疊過程對應(yīng)點 D的路徑長是考點 ： 翻折變換（折疊問題） ；弧長的計算分析：根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及 ABC 是等腰直角三角形判斷出點D 的路徑是以點B 為圓心， 以 BC 的長為半徑的扇形，然后利用弧長公式列式計算即可

19、得解解答：解： C=90 ， AC=BC ， ABC 是等腰直角三角形，如圖，點D 的路徑是以點B 為圓心，以BC 的長為半徑的扇形，路徑長 =2故答案為： 2點評：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，弧長的計算，判斷出點D 的路徑是扇形是解題的關(guān)鍵7如圖，已知 AB=10 ，P 是線段 AB 上的動點，分別以 AP、 PB 為邊在線段 AB 的同側(cè)作等邊 ACP 和 PDB ，連接 CD，設(shè) CD 的中點為 G，當(dāng)點 P 從點 A 運動到點 B時，則點 G 移動路徑的長是考點 ： 三角形中位線定理；等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)專題 ： 壓軸題分析：分別延長AC 、BD 交于點 H，易證四邊

20、形CPDH 為平行四邊形， 得出 G 為 PH 中點，則 G 的運行軌跡 HAB的中位線MN ，運用中位線的性質(zhì)求出MN 的長度即可解答：解：如圖，分別延長AC 、 BD 交于點 H， A= DPB=60 ， AH PD， B= CPA=60 ，- BH PC， 四邊形 CPDH 為平行四邊形， CD 與 HP 互相平分G 為 CD 的中點， G 正好為 PH 中點，即在 P 的運動過程中， G 始終為 PH 的中點，所以 G 的運行軌跡為 HAB 的中位線 MN MN= AB=5 ，即 G 的移動路徑長為 5故答案為： 5點評：本題考查了三角形中位線定理及等邊三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是作

21、出輔助線，找到點 G 移動的規(guī)律，判斷出其運動路徑，綜合性較強8（ 2013?湖州）如圖，已知點 A 是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為2的一個定點， AC x軸于點 M ，交直線 y= x 于點 N 若點 P 是線段 ON 上的一個動點，APB=30 ，BA PA，則點 P 在線段 ON 上運動時， A 點不變， B 點隨之運動求當(dāng)點P 從點O 運動到點 N 時，點 B 運動的路徑長是考點 ： 一次函數(shù)綜合題專題 ： 壓軸題分析： （ 1）首先，需要證明線段B0B n 就是點 B 運動的路徑（或軌跡） ，如答圖 所示利用相似三角形可以證明；（ 2）其次，如答圖 所示，利用相似三角形 AB 0B n AON

22、 ，求出線段 B 0Bn 的長度，即點B 運動的路徑長解答： 解：由題意可知， OM=，點 N 在直線 y= x 上， AC x 軸于點 M ，則 OMN 為等腰直角三角形，ON=OM=如答圖 所示，設(shè)動點P 在 O 點（起點）時，點B 的位置為 B 0，動點P 在 N 點（終點）時，點n0 nB 的位置為 B ，連接B B AO AB 0，AN AB n， OAC= B0AB n，又 AB 0=AO ?tan30，AB n=AN ?tan30，AB 0： AO=AB n：AN=tan30 ， AB 0Bn AON ，且相似比為tan30， B0Bn=ON ?tan30=現(xiàn)在來證明線段B0B

23、n 就是點 B 運動的路徑（或軌跡） 如答圖 所示，當(dāng)點P 運動至 ON 上的任一點時，設(shè)其對應(yīng)的點B 為 Bi ，連接 AP ， AB i， B0B i AO AB 0，AP AB i ， OAP= B0AB i ，又 AB 0=AO ?tan30，AB i =AP ?tan30， AB 0： AO=AB i： AP， AB 0Bi AOP ， AB 0Bi = AOP 又 AB 0Bn AON ， AB 0Bn= AOP ， AB 0Bi =AB 0Bn， 點 Bi 在線段 B 0B n 上，即線段B0B n 就是點 B 運動的路徑（或軌跡） 綜上所述，點B 運動的路徑（或軌跡）是線段B

24、0Bn，其長度為故答案為：點評：本題考查坐標(biāo)平面內(nèi)由相似關(guān)系確定的點的運動軌跡，難度很大本題的要點有兩個：首先，確定點B 的運動路徑是本題的核心，這要求考生有很好的空間想象能力和分析問題的能力；其次，由相似關(guān)系求出點B運動路徑的長度，可以大幅簡化計算，避免陷入坐標(biāo)關(guān)系的復(fù)雜運算之中-9（ 2013?桂林）如圖，已知線段 AB=10 ， AC=BD=2 ，點 P 是 CD 上一動點，分別以 AP、PB 為邊向上、 向下作正方形 APEF 和 PHKB ，設(shè)正方形對角線的交點分別為O1、 O2，當(dāng)點 P 從點 C 運動到點 D 時，線段 O1O2 中點 G 的運動路徑的長是考點 ： 正方形的性質(zhì)；

25、軌跡專題 ： 壓軸題分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理即可得出正方形對角線的長，進而得出線段解答：解：如圖所示：當(dāng)P 移動到 C 點以及 D 點時，得出G 點移動路線是直利用正方形的性質(zhì)即線段O1O2 中點 G 的運動路徑的長就是 O2O的長， 線段 AB=10 ， AC=BD=2 ，當(dāng) P 與 C 重合時，以 AP、 PB 為邊向上、向下作正方形APEF 和 PHKB ， AP=2 ， BP=8 ，O1O2 中點 G 的運動路徑的長線，則 O1P= ，O2P=4 ， O2P=O2B=4 ，當(dāng) P與 D 重合，則 PB=2 ，則 AP =8 ， OP=4 ，OP= ， HO=BO = ， O2

26、O=4=3故答案為： 3點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，根據(jù)已知得出G 點移動的路線是解題關(guān)鍵10（ 2013?竹溪縣模擬）如圖：已知 AB=10 ，點 C、 D 在線段 AB 上且 AC=DB=1 ； P 是線段 CD 上的動點，分別以 AP 、PB 為邊在線段 AB 的同側(cè)作等邊 AEP 和等邊 PFB，連結(jié) EF，設(shè) EF 的中點為 G；當(dāng)點 P 從點 C 運動到點 D 時，則點 G 移動路徑的長是考點 ： 三角形中位線定理；等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)分析：分別延長AE 、 BF 交于點 H ，易證四邊形EPFH 為平行四邊形，得出G 為 PH 中點，則

27、G 的運行軌跡為三角形 HCD 的中位線MN 再求出CD 的長，運用中位線的性質(zhì)求出MN 的長度即可解答：解：如圖，分別延長AE 、 BF 交于點 H， A= FPB=60 ， AH PF， B= EPA=60 ， BHPE， 四邊形 EPFH 為平行四邊形， EF 與 HP 互相平分G 為 EF 的中點， G 正好為 PH 中點，即在P 的運動過程中，G 始終為 PH 的中點，所以 G 的運行軌跡為三角形HCD 的中位線MN CD=10 1 1=8 ， MN=4 ，即 G 的移動路徑長為4故答案為： 4-點評：本題考查了三角形中位線定理及等邊三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，找到點

28、G 移動的規(guī)律，判斷出其運動路徑，綜合性較強11如圖，一根長為2 米的木棒AB 斜靠在墻角處，此時BC 為 1 米，當(dāng) A 點下滑至A 處并且AC=1 米時，木棒AB 的中點 P 運動的路徑長為米考點 ： 勾股定理的應(yīng)用；弧長的計算專題 ： 壓軸題分析：先根據(jù)三角函數(shù)求出 BAC 的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到 ACP 的度數(shù)，同理求出 B CP的度數(shù)，可得 PCP的度數(shù)，再根據(jù)弧長的計算公式求解即可解答：解：連接CP，CP ACB=90 ， BC=1 米， A B=2 米， BA C=30 ， P 是木棒 AB 的中點， PC=PA=1 米， PCA=30 ，同理求出 B CP=30 ，則 PCP=30 ， 木棒 AB 的中點 P 運動的路徑長為：21=米故答案為：米點評：考查了三角函數(shù)，直角三角形的性質(zhì)和弧長的計算公式，木棒AB 的中點 P 運動的路徑為半徑為1 的扇形的弧長三解答題（共1 小題）12（ 2012?義烏市模擬）如圖，邊長為4 的等邊 AOB 的頂點 O 在坐標(biāo)原點，點A 在 x 軸正半軸上， 點 B 在第一象限 一動點 P 沿 x 軸以每秒1 個單位長度的速度由點 O 向點 A 勻速運動，當(dāng)點 P 到達點 A 時停止運動， 設(shè)點 P 運動的時間是 t 秒在點 P 的運動過程中，線段 BP 的中點為點 E，將線段 PE 繞點 P 按順時針方向旋