北師大版七年級下冊數(shù)學知識點總結(jié)

1、-WORD格式 - 可編輯 -北師大版數(shù)學七年級下冊知識點總結(jié)第一章整式的乘除1、單項式的概念：由數(shù)與字母的乘積構(gòu)成的代數(shù)式叫做單項式。單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式。單項式的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，字母指數(shù)和叫單項式的次數(shù)。2、多項式：幾個單項式的和叫做多項式。多項式中每個單項式叫多項式的項，次數(shù)最高項的次數(shù)叫多項式的次數(shù)。3、整式：單項式和多項式統(tǒng)稱整式。注意：凡分母含有字母代數(shù)式都不是整式。也不是單項式和多項式。4、同底數(shù)冪的乘法法則： am ?a n a m n （ m, n 都是正整數(shù)）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意：底數(shù)可以是多項式或單項式。如： (ab) 2 ? (a

2、b)3( ab) 55、冪的乘方法則：(a m ) na mn （ m, n 都是正整數(shù)）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。如：( 35)2310冪的乘方法則可以逆用：即a mn( a m ) n(an ) m如： 46(42)3(43)26、積的乘方法則：(ab) na nbn （ n 是正整數(shù)）積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。如：（ 2x3 y 2 z)5 = ( 2)5 ? (x 3 ) 5 ?( y 2 ) 5 ?z532x15 y10 z57、同底數(shù)冪的除法法則： amana（ a0, m, n 都是正整數(shù)， 且 m n)m n同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。如：( ab) 4(ab)(

3、 ab)3a3 b38、零指數(shù)和負指數(shù)；a 01 ，（0）即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1。a p1p（ a 0, p 是正整數(shù)），即一個不等于零的數(shù)的p 次方等于a這個數(shù)的 p 次方的倒數(shù)。9、科學記數(shù)法：如： 0.00000721= 7.2110-6 （第一個非零數(shù)字前零的個數(shù)）10、單項式的乘法法則：單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式。注意：-WORD格式 - 可編輯 -積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，先確定符號，再計算絕對值。相同字母相乘，運用同底數(shù)冪的乘法法則。只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式單項式乘法

4、法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用。單項式乘以單項式，結(jié)果仍是一個單項式。11、單項式乘以多項式：根據(jù)分配律用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，即 m(a b c) ma mb mc ( m, a, b, c 都是單項式 )注意：積是一個多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同。運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。在混合運算時，要注意運算順序，結(jié)果有同類項的要合并同類項。12、多項式與多項式相乘的法則；多項式與多項式相乘，先用多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所的的積相加。13、單項式的除法法則：單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式

5、里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式。注意：首先確定結(jié)果的系數(shù) （即系數(shù)相除） ，然后同底數(shù)冪相除，如果只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式14、多項式除以單項式的法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，在把所的的商相加。即： ( am bm cm) m ammbm mcmmabc15、整式乘法公式：（ 1）平方差公式：(a b)(ab)a 2b 2公式特點：（有一項完全相同，另一項只有符號不同）（ 2）完全平方公式： (ab) 2a22ab b 2( ab) 2a22ab b2逆用： a 22abb2(a b)2 , a22abb2(ab)

6、2 .-WORD格式 - 可編輯 -完全平方公式變形（知二求一）：a2b2(ab)22ab a2b2(a b)22aba2b221 ( a b)2(a b)2 a2b2( ab)22ab( a b) 22ab21 ( ab) 2( a b) 2 (a b)2(a b)24abab（ 3）常用變形： ( x2n2n,y）=(y-x)41 ( ab)2(a b)2 ( x2 n 1=-(y-x)2n+1y）第二章相交線與平行線1、兩條直線的位置關(guān)系在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交；平行（表示符號“ / ”）因此當我們得知在同一平面內(nèi)兩直線不相交時，就可以肯定它們平行；反過來也一樣 （

7、這里， 我們把重合的兩直線看成一條直線）判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時，可以根據(jù)它們的公共點的個數(shù)來確定：有且只有一個公共點，兩直線相交；無公共點，則兩直線平行；兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合（因為兩點確定一條直線）2、對頂角：我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點且角的兩邊互為反向延長線的兩個角叫做對頂角。對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。3、余角：定義：如果兩個角的和是 900，那么稱這兩個角互為余角。性質(zhì)：同角或等角的余角相等。0角互為補角。性質(zhì)：同角或等角的補角相等。（了解鄰補角）5、垂線定義：當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線

8、叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足表示符號“”。符號語言記作：如圖所示：ABCD，垂足為O:性質(zhì) 1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直-WORD格式 - 可編輯 -性質(zhì) 2：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段最短。6、垂線的畫法：過直線上一點畫已知直線的垂線；過直線外一點畫已知直線的垂線。注意：畫一條線段或射線的垂線， 就是畫它們所在直線的垂線；過一點作線段的垂線，垂足可在線段上，也可以在線段的延長線上。垂線的畫法（以線段外過一點做線段的垂線，垂足不在線段上為例）用直角三角板畫垂線，可簡單地說成：“一落” 、“二過” 、“三畫”、“四標”如圖 1，線段

9、BC，過點 A作線段 BC的垂線，垂足為點D.“一落”：將三角板一條直角邊緊貼已知直線上.我們要過點 A作線段 BC的垂線，獲得垂線段AD，可先用三角板的一條直角邊與 BC重合在一起，另一條直角邊落在點A的同一側(cè)；不蓋住點 A ( 如圖 2)“二過”：使三角板的另一直角邊經(jīng)過已知點用鉛筆尖點住 A點，使三角板保持與BC重合，沿線段 BC慢慢移動，到三角板的另一直角邊剛好靠近點A(鉛筆尖 ) 時停下來。 ( 如圖 3)“三畫”：沿已知點所在直角邊畫直線按緊平移后的三角板，用鉛筆從A點開始沿這條直角邊畫直線，很明顯這條直線不與線段BC相交，于是我們只需把BC延長 ( 或反向延長 ) 與這條直線相交

10、( 如圖 4)“四標”：標出直角標號“”由畫出的延長線與作的直線相交而獲得了垂足，我們可在交點處標上垂直符號“”，并標上字母符號“D“ ( 如圖 4) 到此，垂線段 AD便作出了圖1圖2圖3圖4-WORD格式 - 可編輯 -7、點到直線的距離直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。如圖， PO AB，同 P 到直線 AB的距離是 PO的長。 PO 是垂線段。 PO是點 P 到直線 AB所有線段中最短的一條。注意：距離是線段的長度，是一個量；線段是一種圖形，它們之間不能等同。二、兩條線平行的條件1、兩條直線被第三條直線所截，形成了8 個角。（三線八角）2、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

11、：直線AB，CD與 EF 相交（或者說兩條直線 AB，CD被第三條直線 EF 所截），構(gòu)成八個角。其中 1 與 5 這兩個角分別在 AB， CD的上方，并且在 EF 的同側(cè)，像這樣位置相同的一對角叫做同位角；3 與 5 這兩個角都在AB， CD之間，并且在EF 的異側(cè)，像這樣位置的兩個角叫做內(nèi)錯角； 3 與 6 在直線 AB，CD之間，并側(cè)在EF 的同側(cè)，像這樣位置的兩個角叫做同旁內(nèi)角。同位角： 兩個角都在兩條直線的同側(cè)，并且在第三條直線 （截線）的同旁，這樣的一對角叫做同位角。內(nèi)錯角：兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，這樣的一對角叫做內(nèi)錯角。同旁內(nèi)角： 兩個角都在兩條直

12、線之間， 并且在第三條直線 （截線）的同旁，這樣的一對角叫同旁內(nèi)角。2、平行線的判定：注意：幾何中，圖形之間的“位置關(guān)系”一般都與某種“數(shù)量關(guān)系”有著內(nèi)在的聯(lián)系兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等， 那么兩直線平行。簡稱：同位角相等，兩直線平行。兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等， 那么兩直線平行。簡稱：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么兩直線平行。簡稱：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。-WORD格式 - 可編輯 -補充平行線的判定方法：（ 1）平行線的定義：如果兩條直線沒有交點（不相交），那么兩直線平行（ 2）平行于同一條直線的兩直線平行。3、平行線

13、的畫法：利用三角板的平移畫平行線，其畫法可以總結(jié)為： “一落” 、“二靠”、“三移”、“四畫”.一落：三角板的一邊落在已知直線；二靠：靠緊三角板的另一邊放上另一塊三角板；三移：使第一塊三角板沿著第二塊三角板移動，使其經(jīng)過原直線的一邊經(jīng)過已知點；四畫：沿三角板過已知點的一邊畫出直線 . 這時所畫直線就一定與已知直線平行 .4、平行公理平行線的存在性與唯一性經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行( 與垂直公理相比較記 )5、平行線的性質(zhì)：（ 1）兩直線平行，同位角相等。 （ 2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等。（ 3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。6、平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那

14、么這兩條直線也互相平行。7、用尺規(guī)作角（利用尺規(guī)作圖比較角的大?。┏咭?guī)作圖：在幾何里，只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖稱為尺規(guī)作圖。尺規(guī)作圖是最基本、最常見的作圖方法，通常叫基本作圖。即：1、作一條線段等于已知線段。2、作一個角等于已知角如上如圖所示， 求作一個角等于已知角AOB作法：（ 1）作射線 O A；（2）以 O為圓心，以任意長為半徑作弧，交OA于點 C，交 OB于點 D；（ 3）以 O為圓心，以 OC為半徑作弧，交 OB于點 D；（ 4）以點 D為圓心，以 CD為半徑作弧，交前面的弧于點C；-WORD格式 - 可編輯 -（ 5）過 C作射線 O A AO B就是所求作的角第三章變量之間的

15、關(guān)系1、變量、自變量、因變量、常量變量：在某一變化過程中，不斷變化的量叫做變量。自變量、因變量：如果一個變量y 隨另一個變量x 的變化而變化，則把 x 叫做自變量， y 叫做因變量。注意：變量：在某一過程中發(fā)生變化的量，其中包括自變量與因變量。自變量是最初變動的量，它在研究對象反應(yīng)形式、特征、目的上是獨立的；因變量是由于自變量變動而引起變動的量，它“依賴于”自變量的改變。常量：一個變化過程中數(shù)值始終保持不變的量叫做常量.2、函數(shù)的三種表示方法：（ 1）列表法（用表格）采用數(shù)表相結(jié)合的形式，運用表格可以表示兩個變量之間的關(guān)系。列表時要選取能代表自變量的一些數(shù)據(jù)，并按從小到大的順序列出，再分別求出

16、因變量的對應(yīng)值。 列表法最大的特點是直觀，可以直接從表中找出自變量與因變量的對應(yīng)值，但缺點是具有局限性，只能表示因變量的一部分。（ 2）解析法（關(guān)系式）關(guān)系式是利用數(shù)學式子來表示變量之間關(guān)系的等式，利用關(guān)系式，可以根據(jù)任何一個自變量的值求出相應(yīng)的因變量的值，也可以已知因變量的值求出相應(yīng)的自變量的值（ 3）圖像法（用圖象）對于在某一變化過程中的兩個變量，把自變量 x 與因變量 y 的每對對應(yīng)值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在坐標平面內(nèi)描出這些點，這些點所組成的圖形就是它們的圖象（這個圖象就叫做平面直角坐標系） 。它是我們所表示兩個變量之間關(guān)系的另一種方法，它的顯著特點是非常直觀。不足之處是所畫的圖

17、象是近似的、局部的，通過觀察或由圖象所確定的因變量的值往往是不準確的。3、三種方法的優(yōu)缺點比較-WORD格式 - 可編輯 -3、理解圖像： a. 認真理解圖象的含義，注意選擇一個能反映題意的圖象； b. 從橫軸和縱軸的實際意義理解圖象上特殊點的含義（坐標），特別是圖像的起點、拐點、交點4、事物變化趨勢的描述對事物變化趨勢的描述一般有兩種：(1) 隨著自變量x 的逐漸增加（大），因變量y 逐漸增加（大）（或者用函數(shù)語言描述也可：因變量 y 隨著自變量x 的增加（大）而增加（大）；(2) 隨著自變量x 的逐漸增加（大），因變量y 逐漸減?。ɑ蛘哂煤瘮?shù)語言描述也可：因變量y 隨著自變量x 的增加（大

18、）而減?。?.注意：如果在整個過程中事物的變化趨勢不一樣，可以采用分段描述 . 例如在什么范圍內(nèi)隨著自變量x 的逐漸增加（大），因變量 y 逐漸增加（大）等等 . 5、估計（或者估算）對事物的估計（或者估算）有三種：1. 利用事物的變化規(guī)律進行估計（或者估算） . 例如：自變量 x 每增加一定量，因變量 y 的變化情況；平均每次（年）的變化情況（平均每次的變化量 =（尾數(shù)首數(shù)） / 次數(shù)或相差年數(shù)） 等等；2. 利用圖象：首先根據(jù)若干個對應(yīng)組值，作出相應(yīng)的圖象，再在圖象上找到對應(yīng)的點對應(yīng)的因變量y 的值；3. 利用關(guān)系式：首先求出關(guān)系式，然后直接代入求值即可.第四章三角形1、三角形：由不在同一

19、直線上的三條線段首尾順次相接所組成-WORD格式 - 可編輯 -的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。2、三角形的表示：三角形用符號“”表示，頂點是A、 B、C 的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”。3、三角形的三邊關(guān)系：（1）三角形的兩邊之和大于第三邊。（2）三角形的兩邊之差小于第三邊。（三角形的第三邊大于兩邊之差小于兩邊之和）（ 3）作用：判斷三條已知線段能否組成三角形當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。證明線段不等關(guān)系。4、三角形的內(nèi)角的關(guān)系：（1）三角形三個內(nèi)角和等于180（ 2）

20、直角三角形的兩個銳角互余。5、三角形的穩(wěn)定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。四邊形具有不穩(wěn)定性。6、三角形的分類：(1) 三角形按邊分類：(2) 三角形按角分類：把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。7、三角形的三種重要線段：-WORD格式 - 可編輯 -（ 1）三角形的角平分線：定義：在三角形中，一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線。性質(zhì)：三角形的三條角平分線交于一點（內(nèi)心）。交點在三角形的內(nèi)部。（ 2）三角形的中線：定義：在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線

21、段叫做三角形的中線。性質(zhì)：三角形的三條中線交于一點（重心），交點在三角形的內(nèi)部。（ 3）三角形的高線：定義：從三角形一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。性質(zhì)：三角形的三條高所在的直線交于一點（垂心）。銳角三角形的三條高線的交點在它的內(nèi)部；直角三角形的三條高線的交點是它的斜邊的中點；鈍角三角形的三條高所在的直線的交點在它的外部；區(qū)別相同中線平分對邊三條中線交于三角形內(nèi)部角平分平分內(nèi)角三條角平分線交于三角表內(nèi)線部（ 1）都是線段銳角三角形：三條高線都在三（ 2）都從頂點垂直于對角形內(nèi)部畫出直角三角形：其中兩條恰好是（ 3）所在直線高線邊（或其直

22、角邊相交于一點延長線）鈍角三角形：三條高線都在三角形外部二、圖形的全等全等圖形： 定義：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形。性質(zhì)：全等圖形的形狀和大小都相同。全等三角形1、全等三角形及有關(guān)概念：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。兩個三角形全等-WORD格式 - 可編輯 -時，互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，互相重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的角叫做對應(yīng)角。2、全等三角形的表示：全等用符號“”表示，讀作“全等于”。如ABC DEF，讀作“三角形ABC全等于三角形DEF”。注意：記兩個全等三角形時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。3、全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。

23、4、三角形全等的判定：（1）邊邊邊： 有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等 （可簡寫成 “邊邊邊”或“ SSS”）。（2）角邊角： 兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）（ 3）角角邊：兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角角邊”或“ AAS”）（4）邊角邊： 兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）直角三角形全等的判定：對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有“ HL”定理（斜邊、直角邊定理）：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形。1判定和性質(zhì)一般三角形直角三角形判邊角邊（ SAS）、角邊角（ ASA）

24、具備一般三角形的判定方法定角角邊（ AAS）、邊邊邊（ SSS）斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等（ HL）性對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等對應(yīng)中線相等，對應(yīng)高相等，對應(yīng)角質(zhì)平分線相等5、證題的思路：注意：判定兩個三角形全等必須有一組邊對應(yīng)相等；全等三角形面積相等6、利用三角形全等測距離-WORD格式 - 可編輯 -第五章生活中的軸對稱一、軸對稱1、軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。2、軸對稱：如果兩個平面圖形沿一條直線對折后，能夠完全重合，那么稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做這兩個圖形的對稱軸。3、性質(zhì)：在軸對稱圖形或兩個成

25、軸對稱的圖形中，對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。二、等腰三角形1、等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。2、等腰三角形的性質(zhì)：（ 1）等腰三角形的兩個底角相等，簡寫成“等邊對等角”（ 2）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（也稱“三線合一”）（ 3）等腰三角形是軸對稱圖形，等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高它們所在的直線都是等腰三角形的對稱軸。3、等腰三角形的判定：（1）有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。（ 2）如果一個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊也相等三、線段的垂直平分線（簡稱中垂線）：定義：垂直于一條線段并且平分

26、這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。四、角平分線的性質(zhì)：1、角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸。2、性質(zhì)：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。五、等邊三角形：1、等邊三角形：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形。2、等邊三角形的性質(zhì)：（ 1）具有等腰三角形的所有性質(zhì)。（2）等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于 60。-WORD格式 - 可編輯 -3、等邊三角形的判定（ 1）三邊都相等的三角形是等邊三角形。（2）：三個角都相等的三角形是等邊三角形（ 3）：有一個角是 60的等腰三角形是等邊三角形。六、軸對稱的性質(zhì)1、兩個

27、圖形沿一條直線對折后， 能夠重合的點稱為對應(yīng)點 （對稱點），能夠重合的線段稱為對應(yīng)線段，能夠重合的角稱為對應(yīng)角。 2、關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等圖形。3、如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分。4、如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對應(yīng)線段、對應(yīng)角都相等。七、鏡面對稱1. 當物體正對鏡面擺放時，鏡面會改變它的左右方向；2. 當垂直于鏡面擺放時，鏡面會改變它的上下方向；3. 如果是軸對稱圖形，當對稱軸與鏡面平行時，其鏡子中影像與原圖一樣；學生通過討論，可能會找出以下解決物體與像之間相互轉(zhuǎn)化問題的辦法：（ 1）利用鏡子照 ( 注意鏡子的位置擺放 ) ；（ 2）利用軸對稱性質(zhì)；（ 3）可以把數(shù)字左右顛倒，或做簡單的軸對稱圖形；（ 4）可以看像的背面；（ 5）根據(jù)前面的結(jié)