2020_2021學年新教材高中數(shù)學第十一章立體幾何初步11.4.1直線與平面垂直優(yōu)質作業(yè)含解析新人教B版必修第四冊202103221221

1、第十一章立體幾何初步11.4空間中的垂直關系11.4.1直線與平面垂直課后篇鞏固提升基礎達標練1.如圖所示,PA平面ABC,BCAC,則圖中直角三角形的個數(shù)為()A.4B.3C.2D.1答案A解析因為PA平面ABC,BC平面ABC,所以PABC,PAAC,PAAB.又ACBC,PAAC=A,所以BC平面PAC,所以BCPC,所以直角三角形有PAB,PAC,ABC,PBC,共4個.故選A.2.在ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA平面ABC,PA=8,則點P到BC的距離是()A.5B.25C.35D.45答案D解析由題得PB=PC=82+52=89,則P到BC的距離d=PB2-12BC2,即

2、d=89-9=45.3.下列命題中,正確的有()如果一條直線垂直于平面內的兩條直線,那么這條直線和這個平面垂直.過直線l外一點P,有且僅有一個平面與l垂直.如果三條共點直線兩兩垂直,那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面.垂直于角的兩邊的直線必垂直于這個角所在的平面.過點A垂直于直線a的所有直線都在過點A垂直于a的平面內.A.2個B.3個C.4個D.5個答案C解析正確,中當平面內的兩條直線平行時,直線可能與平面平行、垂直或在平面內.4.如圖所示,PA垂直于以AB為直徑的圓O所在的平面,C為圓上異于A,B的任一點,則下列說法不正確的是()A.PABCB.BC平面PACC.ACPBD.PCBC

3、答案C解析因為PA垂直于以AB為直徑的圓O所在的平面,即PA平面ABC,又BC平面ABC,所以PABC,故A正確;又C為圓上異于A,B的任一點,AB為圓O的直徑,所以BCAC,所以BC平面PAC,所以BCPC,故B,D均正確.故選C.5.直線a與平面所成的角為50,直線ba,則直線b與平面所成的角等于()A.40B.50C.90D.150答案B解析根據(jù)兩條平行直線和同一平面所成的角相等,知b與所成的角也是50.6.(多選題)如圖,ABCD-A1B1C1D1為正方體,下列結論正確的是()A.BD平面CB1D1B.AC1BDC.AC1平面CB1D1D.異面直線AD與CB1所成的角為60答案ABC解

4、析BDB1D1,B1O1平面CB1D1,故A正確;ACBD,BDCC1,BD平面ACC1,BDAC1,故B正確;與B同理有AC1與B1D1,CB1垂直,則AC1平面CB1D1,故C正確;D中顯然異面直線AD與CB1所成的角為45,故D錯誤.故選ABC.7.空間四邊形ABCD的四條邊相等,則對角線AC與BD的位置關系為.答案垂直解析如圖,取AC的中點E,連接BE,DE.由AB=BC,得ACBE.同理ACDE,所以AC平面BED.因此,ACBD.8.已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面,若PCBD,則平行四邊形ABCD一定是.答案菱形解析由于PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.

5、又PCBD,且PC平面PAC,PA平面PAC,PCPA=P,所以BD平面PAC.又AC平面PAC,所以BDAC.又四邊形ABCD是平行四邊形,所以四邊形ABCD是菱形.9.如圖所示,M,N分別是正方體ABCD-A1B1C1D1中BB1,B1C1的中點.(1)則MN與CD1所成的角為.(2)則MN與AD所成的角為.答案(1)60(2)45解析(1)由圖易知MNAD1,ACD1構成正三角形.AD1與CD1成60角,MN與CD1成60角.(2)AD1與AD成45角,而MNAD1,MN與AD成45角.10.如圖,在三棱錐A-BCD中,CA=CB,DA=DB.作BECD于點E,作AHBE于點H.求證:A

6、H平面BCD.證明取AB的中點F,連接CF,DF(圖略).CA=CB,DA=DB,CFAB,DFAB.CFDF=F,AB平面CDF.CD平面CDF,ABCD.又CDBE,ABBE=B,CD平面ABE.AH平面ABE,CDAH.AHBE,BECD=E,AH平面BCD.能力提升練1.(2020江蘇高一月考)已知是一個平面,m,n是兩條直線,有下列四個結論,正確的是()A.如果m,mn,則nB.如果m,n,則mnC.若直線m垂直于平面內的無數(shù)條直線,則mD.如果m,mn,則n答案BD解析對于A,如果m,mn,則n或n,所以不正確;對于B,若m,n,那么mn,所以正確;對于C,根據(jù)線面垂直的定義,直線

7、m垂直于平面內的任意直線,則m,而直線m垂直于平面內的無數(shù)條直線,則m與不一定垂直,所以不正確;對于D,根據(jù)平行線中的一條垂直一個平面,另一條也垂直于這個平面,可得若m,mn,那么n,所以正確.2.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點E,F,且EF=12,則下列結論錯誤的是()A.ACBEB.EF平面ABCDC.三棱錐A-BEF的體積為定值D.AEF的面積與BEF的面積相等答案D解析由AC平面DBB1D1,BE平面DBB1D1知A正確;由EF平面A1B1C1D1,且平面A1B1C1D1平面ABCD知B正確;由BEF面積S=12112=14.VA-BEF

8、=132214=224知C正確;D中兩三角形以EF為底邊,高不等,則面積不等,故D錯誤.3.(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F,G分別為棱A1D1,A1A,A1B1的中點,下列結論正確的是()A.EFB1CB.BC1平面EFGC.A1C平面EFGD.異面直線FG,B1C所成角的大小為4答案ABC解析如圖,連接AD1,則EFAD1BC1,又BC1B1C,EFB1C,故A正確;BC1EF,EF平面EFG,BC1平面EFG,BC1平面EFG,故B正確;A1CEF,A1CEG,EFEG=E,A1C平面EFG,故C正確;FGAB1,AB1C為異面直線FG,B1C所成角,連接AC,可

9、得AB1C為等邊三角形,則AB1C=3,即異面直線FG,B1C所成角的大小為3,故D錯誤.故選ABC.4.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱長相等,側棱垂直于底面,點D是側面BB1C1C的中心,則AD與平面BB1C1C所成角的大小是()A.30B.45C.60D.90答案C解析如圖,取BC的中點E,連接AE,則AE平面BCC1B1.故ADE為直線AD與平面BB1C1C所成的角.設各棱長為a,則AE=32a,DE=12a.所以tanADE=3.所以ADE=60.5.如圖,三條相交于點P的線段PA,PB,PC兩兩垂直,點P在平面ABC外,PH平面ABC于點H,則垂足H是ABC的()A.外心B.內

10、心C.垂心D.重心答案C解析PCPA,PCPB,PAPB=P,PC平面PAB.又AB平面PAB,ABPC.又ABPH,PHPC=P,AB平面PCH.又CH平面PCH,ABCH.同理BCAH,ACBH.H為ABC的垂心.6.(2020上海高三專題練習)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F,G,H分別是棱A1A,B1B,C1C,D1D的中點,則與直線A1O垂直的立方體的截面為.(寫出一個即可)答案GBD(或AFC1H或ED1B1)解析如圖所示,連接OG,A1C1,易知BDAC,BDAA1,故BD平面ACC1A1,A1O平面ACC1A1,故BDA1O.設正方體邊長為2

11、,則A1O=AA12+AO2=4+2=6,OG=OC2+CG2=2+1=3,A1G=A1C12+C1G2=8+1=3,故A1G2=A1O2+OG2,故A1OOG,OGBD=O,故A1O平面GBD.7.等腰直角三角形ABC的斜邊AB在平面內,若AC與所成的角為30,則斜邊上的中線CM與所成的角為.答案45解析如圖,設C在平面內的射影為點O,連接AO,MO,則CAO=30,CMO就是CM與所成的角.設AC=BC=1,則AB=2,CM=22,CO=12.sinCMO=COCM=22,CMO=45.8.ABC的三個頂點A,B,C到平面的距離分別為2 cm,3 cm,4 cm,且它們在的同側,則ABC的

12、重心到平面的距離為.答案3 cm解析如圖,設A,B,C在平面內的射影分別為A,B,C,ABC的重心為G,連接CG并延長交AB于中點E,又設E,G在平面內的射影分別為E,G,則EAB,GCE,EE=12(AA+BB)=52,CC=4,CGGE=21,在直角梯形EECC中,取GC,GC的中點H,H,設GG=x1,HH=x2,則x1=x2+522,x2=x1+42,解得x1=3,即ABC的重心到平面的距離為GG=3.9.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=PC=13,ABC=90,AB=8,BC=6,M為AC的中點.(1)求證:PM平面ABC;(2)求直線BP與平面ABC所成的角的正切值.(1)

13、證明PA=PC,M為AC的中點,PMAC.又ABC=90,AB=8,BC=6,AM=MC=MB=12AC=5.在PMB中,PB=13,MB=5.PM=PC2-MC2=132-52=12.PB2=MB2+PM2,PMMB.由可知PM平面ABC.(2)解PM平面ABC,MB為BP在平面ABC內的射影,PBM為BP與底面ABC所成的角.在RtPMB中,tanPBM=PMMB=125.素養(yǎng)培優(yōu)練如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,ABC=120.G為線段PC上的點.(1)證明:BD平面APC;(2)若G為PC的中點,求DG與平面APC所成角的正切值;(3)若G滿足PC平面BGD,求PGGC的值.(1)證明設點O為AC,BD的交點.由AB=BC,AD=CD,得BD垂直平分線段AC.所以O為AC的中點,BDAC.又因為PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.又PAAC=A,所以BD平面APC.(2)解連接OG.由(1)可知OD平面APC,則DG在平面APC內的射影為OG,所以OGD是DG與平面PAC所成的角.由題意得OG=12PA=32.在AB