（北京專用）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 第四節(jié) 直接證明與間接證明課件 文

1、第四節(jié)直接證明與間接證明 總綱目錄 教材研讀 1.直接證明 考點突破 2.間接證明 考點二分析法的應(yīng)用考點二分析法的應(yīng)用 考點一綜合法的應(yīng)用 考點三反證法的應(yīng)用考點三反證法的應(yīng)用 1.直接證明直接證明 內(nèi)容綜合法分析法 定義利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、 公理、定理等,經(jīng)過一系列的推 理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的 結(jié)論成立成立 從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的 充分充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸 結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理 、定義、公理等)為止 實質(zhì)由因?qū)Ч麍?zhí)果索因 框圖表示PQ1Q1Q2Q2Q3 QnQ Q P1P1 P2P2 P3得到一個明顯 成立的條件 文字語言

2、因為所以 或由得 要證只需證即證 教材研讀教材研讀 2.間接證明間接證明 間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法,反證法是一種常用的間 接證明方法. (1)反證法的定義反證法的定義:假設(shè)原命題不成立不成立(即在原命題的條件下,結(jié)論 不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾矛盾,因此說明假設(shè)錯誤,從 而證明原命題成立原命題成立的證明方法. (2)用反證法證明的一般步驟用反證法證明的一般步驟:(i)反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立;(ii)歸 謬根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到推出矛盾為止;(iii)結(jié)論斷言假設(shè)不 成立,從而肯定原命題的結(jié)論成立. 1.命題“對任意角,cos4-sin4=cos 2”的證明:“co

3、s4-sin4=(cos2- sin2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos 2”過程應(yīng)用了() A.分析法 B.綜合法 C.綜合法、分析法綜合使用 D.間接證明法 答案答案 B因為證明過程是“從左往右”,即由條件結(jié)論,故選B. B 2.用分析法證明時出現(xiàn):欲使AB,只需C0,ab0,b0,a0,b0,即a與b同號,故均能使+2 成立. b a a b b a b a a b 3 5.已知點An(n,an)為函數(shù)y=圖象上的點,Bn(n,bn)為函數(shù)y=x圖象上的 點,其中nN*,設(shè)cn=an-bn,則cn與cn+1的大小關(guān)系為 . 2 1x 答案答案 cncn+1 解析解析由題

4、意知,an=,bn=n,cn=-n=.顯然,cn隨著n 的增大而減小,cncn+1. 2 1n 2 1n 2 1 1nn cncn+1 典例典例1已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln x-x+1. (1)若=0,求f(x)的最大值; (2)若曲線y=f(x)在點(1, f(1)處的切線與直線x+y+1=0垂直,證明:0. ( ) 1 f x x 考點一綜合法的應(yīng)用考點一綜合法的應(yīng)用 考點突破考點突破 解析解析(1)f(x)的定義域為(0,+), 當(dāng)=0時, f(x)=ln x-x+1. 則f (x)=-1,令f (x)=0,解得x=1. 當(dāng)0 x0,f(x)在(0,1)上是增函數(shù); 當(dāng)x1時, f

5、 (x)0,f(x)在(1,+)上是減函數(shù). 故f(x)在x=1處取得最大值,為f(1)=0. (2)證明:由題意可得, f (x)=ln x+-1. 由題設(shè)條件,得f (1)=1,即=1, f(x)=(x+1)ln x-x+1. 由(1)知,ln x-x+10,且x1). 1 x 1x x 當(dāng)0 x1時, f(x)=(x+1)ln x-x+1=xln x+(ln x-x+1)0. 當(dāng)x1時, f(x)=ln x+(xln x-x+1)=ln x-x0, 0. 綜上可知,0. ( ) 1 f x x 11 ln1 xx ( ) 1 f x x ( ) 1 f x x 方法技巧方法技巧 用綜合法

6、證題是從已知條件出發(fā),逐步推向結(jié)論,綜合法的適用范圍:(1) 定義明確的問題,如判定函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性;(2)已知條件明確,并且 容易通過分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論的題型,在使用綜合法證明時, 易出現(xiàn)的錯誤是因果關(guān)系不明確,邏輯表達(dá)混亂. 1-1設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a0),若函數(shù)f(x+1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,求 證:f為偶函數(shù). 證明證明由函數(shù)f(x+1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,可知f(x+1)=f(-x).將x換成 x-代入上式可得f=f,即f=f,由偶函數(shù) 的定義可知f為偶函數(shù). 1 2 x 1 2 1 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2

7、x 典例典例2已知函數(shù)f(x)=3x-2x,求證:對于任意的x1,x2R,均有 f. 證明證明要證明 f, 即證明-2, 因此只要證明-(x1+x2)-(x1+x2), 即證明,因此只要證明, 由于x1,x2R,所以0,0, 由基本不等式知成立,故原結(jié)論成立. 12 ()() 2 f xf x 12 2 xx 12 ()() 2 f xf x 12 2 xx 12 12 (32 )(32) 2 xx xx 12 2 3 xx 12 2 xx 12 33 2 xx 12 2 3 xx 12 33 2 xx 12 2 3 xx 12 33 2 xx 12 33 xx 1 3x 2 3x 12 33

8、 2 xx 12 33 xx 考點二分析法的應(yīng)用考點二分析法的應(yīng)用 方法技巧方法技巧 (1)分析法采用逆向思維,當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直 接,或證明過程中所需要用的知識不太明確、具體時,往往采用分析法, 特別是含有根號、絕對值的等式或不等式,從正面不易推導(dǎo)時,常考慮 用分析法.(2)應(yīng)用分析法的關(guān)鍵在于需保證分析過程的每一步都是可 逆的,它的常用書面表達(dá)形式為“要證只需要證”或“ ”.注意用分析法證明時,一定要嚴(yán)格按照格式書寫. 2-1已知m0,a,bR,求證:. 證明證明m0,1+m0, 要證原不等式成立, 只需證明(a+mb)2(1+m)(a2+mb2), 2 1 amb m

9、 22 1 amb m 即證m(a2-2ab+b2)0,即證(a-b)20, 而(a-b)20顯然成立, 故原不等式得證. 典例典例3設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列. (1)推導(dǎo)an的前n項和公式; (2)設(shè)q1,求證:數(shù)列an+1不是等比數(shù)列. 考點三反證法的應(yīng)用考點三反證法的應(yīng)用 解析解析(1)設(shè)an的前n項和為Sn, 當(dāng)q=1時,Sn=a1+a1+a1=na1; 當(dāng)q1時,Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1, qSn=a1q+a1q2+a1qn, -得,(1-q)Sn=a1-a1qn, Sn=,Sn= (2)證明:假設(shè)an+1是等比數(shù)列,則對任意的kN*, (ak+1+1)2=(ak

10、+1)(ak+2+1), +2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1, q2k+2a1qk=a1qk-1a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1, 1(1 ) 1 n aq q 1 1 ,1, (1) ,1. 1 n na q aq q q 2 1k a 2 1 a a10,2qk=qk-1+qk+1. q0,q2-2q+1=0, q=1,這與已知矛盾. 假設(shè)不成立,故an+1不是等比數(shù)列. 易錯警示易錯警示 用反證法證明不等式要把握三點:(1)必須先否定結(jié)論,即肯定結(jié)論的反 面;(2)必須從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理,即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件,且 必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證;(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣,有的與已 知條件矛盾,有的與假設(shè)矛盾,有的與基本事實矛盾等,且推導(dǎo)出的矛盾 必須是明顯的. 3-1已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足an+Sn=2. (1)求數(shù)列an的通項公式; (2)求證:數(shù)列an中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列. 解析解析(1)n=1時,a1+S1=2a1=2,則a1=1. 又an+Sn=2, 所以an+1+Sn+1=2, 兩式相減得an+1=an, 所以an是首項為1,公比為的等比數(shù)列, 所以an=. (2)證明:假設(shè)數(shù)列an中存在三