(完整版)圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問(wèn)題

1、圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問(wèn)題 、水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界冋題 關(guān)于水平面內(nèi)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的臨界冋題，涉及的是臨界速度與臨界力的冋 題，具體來(lái)說(shuō)，主要是與繩的拉力、彈簧的彈力、接觸面的彈力和摩擦力有關(guān)。 1、與繩的拉力有關(guān)的臨界問(wèn)題 例1如圖1示，兩繩系一質(zhì)量為m 0.1kg的小球， 上面繩長(zhǎng)I 2m，兩端都拉直時(shí)與軸的夾角分別為 30與45，問(wèn)球的角速度在什么范圍內(nèi)，兩繩始終張緊, 當(dāng)角速度為3rad/s時(shí)，上、下兩繩拉力分別為多大？ 2、因靜摩擦力存在最值而產(chǎn)生的臨界問(wèn)題 例2如圖2所示，細(xì)繩一端系著質(zhì)量為 M 0.6kg 的物體，靜止在水平面上，另一端通過(guò)光滑小孔吊著-M r O 質(zhì)量為m 0.3kg

2、的物體，M的中心與圓孔距離為0.2m ， /| 并知M與水平面間的最大靜摩擦力為2N，現(xiàn)讓此平面亡| m 繞中心軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，問(wèn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度滿(mǎn)足什么條件圖2 可讓m處于靜止?fàn)顟B(tài)。（g 10m/s2） 3、因接觸面彈力的有無(wú)而產(chǎn)生的臨界問(wèn)題 二、豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題 對(duì)于物體在豎直平面內(nèi)做變速圓周運(yùn)動(dòng)，中學(xué)物理中只研究物體通過(guò)最高點(diǎn) 和最低點(diǎn)的情況，并且也經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)臨界狀態(tài)。 1、輕繩模型過(guò)最高點(diǎn) 如圖所示，用輕繩系一小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)最高點(diǎn)的情況， 與小 球在豎直平面內(nèi)光滑軌道內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)最到點(diǎn)的情況相似， 都屬于無(wú)支撐的 類(lèi)型。 臨界條件：假設(shè)小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)速度為V0，

3、此時(shí)繩子的拉力（軌道的彈力） 剛好等于零，小球的重力單獨(dú)提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即 V。 mg m， r vo. gr，式中的vo是小球過(guò)最高點(diǎn)的最小速度，即過(guò)最高點(diǎn)的臨界速度 （1）v Vo （剛好到最高點(diǎn)，輕繩無(wú)拉力） （2）V Vo （能過(guò)最高點(diǎn)，且輕繩產(chǎn)生拉力的作用） （3）V Vo （實(shí)際上小球還沒(méi)有到最高點(diǎn)就已經(jīng)脫離了軌道） 例4、如圖4所示，一根輕繩末端系一個(gè)質(zhì)量為 m 1kg的小球, 繩的長(zhǎng)度I 0.4m，輕繩能夠承受的最大拉力為Fmax 100N， 現(xiàn)在最低點(diǎn)給小球一個(gè)水平初速度，讓小球以輕繩的一端 O為 圓心在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，要讓小球在豎直平面內(nèi)做完整 的圓周運(yùn)動(dòng)且

4、輕繩不斷，小球的初速度應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？ （ g 2、輕桿模型過(guò)最高點(diǎn) 如圖所示，輕桿末端固定一小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)最高點(diǎn)的情況， 與小球在豎直放置的圓形管道內(nèi)過(guò)最到點(diǎn)的情況相似，都屬于有支撐的類(lèi)型。 臨界條件：由分析可知，小球在最高點(diǎn)的向心力是由重力和輕桿（管壁）的 作用力的合力提供的，如果在最高點(diǎn)輕桿（管壁）對(duì)小球的作用力與重力剛好平 衡，那么此時(shí)外界提供的向心力為零， 即小球過(guò)最高點(diǎn)的瞬時(shí)速度可以為零， 所 以小球過(guò)最高點(diǎn)的臨界速度為Vo 0。 （1） V 0，輕桿（管壁）對(duì)小球有向上的支持力 Fn，且Fn mg 2 （2） 0 v 、gr，輕桿（管壁）對(duì)小球有向上的支持力Fn，由

5、mg Fn m， r 2 可得Fn mg m， Fn隨v的增大而減小，0 Fn mg r （3）v gr，重力單獨(dú)提供向心力，輕桿（管壁）對(duì)小球沒(méi)有力的作用 i 2 （4） v gr，輕桿（管壁）對(duì)小球施加向下的拉力（壓力），由mg F拉m， r 可得F拉ml mg，且F拉隨著v的增大而增大 r (1)若要小球能從C端出來(lái)，初速度Vo多大? 例5、如圖5所示，半徑為R，內(nèi)徑很小的光滑半圓管豎直放 置，AB段平直，質(zhì)量為m的小球以水平初速度vo射入圓管。 (2)在小球從C端出來(lái)瞬間，對(duì)管壁的壓力有哪幾種典型情況，初速度vo各應(yīng) 滿(mǎn)足什么條件? 3、汽車(chē)過(guò)拱橋 如圖所示，汽車(chē)過(guò)拱形橋頂時(shí)，由汽車(chē)的

6、重力和橋面對(duì)汽車(chē)的支持力的合力 22 提供其最高點(diǎn)的向心力，由 mg Fn m，可得FN mg m，由此可見(jiàn), rr 橋面對(duì)汽車(chē)的支持力隨著汽車(chē)速度的增大而減小，如果速度增大到某一個(gè)值Vo， 會(huì)出現(xiàn)橋面對(duì)汽車(chē)的支持力為零，即 Vo；gr是汽車(chē)安全過(guò)拱橋頂?shù)呐R界速度 (1) o v gr，汽車(chē)不會(huì)脫離拱形橋且能過(guò)最高點(diǎn) (2) v gr，因橋面對(duì)汽車(chē)的支持力為零，此時(shí)汽車(chē)剛好脫離橋面做平拋運(yùn)動(dòng) (3) v ,gr，汽車(chē)將脫離橋面，非常危險(xiǎn) 例6如圖6所示，汽車(chē)質(zhì)量為m 1.5 io4kg，以不變的 速率通過(guò)凸形路面，路面半徑為 R 15m，若要讓汽車(chē)安全 行駛，則汽車(chē)在最高點(diǎn)的臨界速度是多少 ？

7、如果汽車(chē)通過(guò)最 高點(diǎn)的速度剛好為臨界速度，那么接下來(lái)汽車(chē)做什么運(yùn)動(dòng)， 水平運(yùn)動(dòng)的位移是多少？ ( g 10m/s2) Tbc sin45 m l sin 30 將已知條件代入上式解得 3.16rad /s 所以當(dāng) 滿(mǎn)足2.4rad/s 3.16rad /s，AC、BC兩繩始終張緊。 例題1. 解析：（1）當(dāng)角速度 很小時(shí)，AC和BC與軸的夾角都很小，BC并不張緊。當(dāng) 逐漸增大到 30時(shí)，BC才被拉直（這是一個(gè)臨界狀態(tài)），但BC繩中的張力仍然為零。 設(shè)這時(shí)的角速度為!， 2 則有：Tac cos30 mgTac sin30 m , l sin30o 將已知條件代入上式解得1 2.4rad/s 2

8、時(shí)，Tac 0 （這又是一個(gè) （2）當(dāng)角速度繼續(xù)增大時(shí)Tac減小，Tbc增大。設(shè)角速度達(dá)到 臨界狀態(tài)）， 則有：Tbc cos 45 mg 本題所給條件 3rad /s，說(shuō)明此時(shí)兩繩拉力Tac、Tbc都存在。 Tac cs30 Tbc cs45 mg 則有：Tacsin 30 Tbc sin 45 m 2l sin30 將數(shù)據(jù)代入上面兩式解得Tac 0.27N，Tbc 1.09N 注意：解題時(shí)注意圓心的位置（半徑的大?。?。 如果 2.4rad/s時(shí)，Tbc 0， AC與軸的夾角小于30。 如果 3.16rad /s時(shí)，Tac 0， BC與軸的夾角大于45。 例題2 解析：由分析可知，如果平面不

9、轉(zhuǎn)動(dòng)，M會(huì)被拉向圓孔，即 m不能處于靜止?fàn)顟B(tài)。當(dāng)平面轉(zhuǎn)動(dòng) 的角速度 較小時(shí)，M與水平面保持相對(duì)靜止但有著向圓心運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，此時(shí)水平面對(duì)M的靜 摩擦力方向背向圓心，根據(jù)牛頓第二定律， 對(duì)于M有：F拉 f靜 M 12r，可見(jiàn)隨著靜摩擦力的增大，角速度逐漸減小，當(dāng)靜摩擦力增大 到最大值時(shí)，角速度減小到最小，即當(dāng)靜摩擦力背向圓心且最大，此時(shí)的角速度1是最小的臨界 角速度，1. （F拉 fmax） （Mr） 2.9rad/s ； 當(dāng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度較大時(shí)，M與水平面保持相對(duì)靜止但有著遠(yuǎn)離圓心運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，此時(shí)水 平面對(duì)M的靜摩擦力方向指向圓心，根據(jù)牛頓第二定律， 2 對(duì)于M有：F拉f靜 M 2 r，可見(jiàn)隨

10、著靜摩擦力的增大，角速度逐漸增大，當(dāng)靜摩擦力增大 故要讓m保持靜止?fàn)顟B(tài)，平面轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度滿(mǎn)足 例題3 解析：物體在光滑錐面上繞軸線(xiàn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng), 正交分解各個(gè)力。 水平方向：Ft sin 豎直方向： Ft cos 由得fn mg sin 2 v Fn cosm- l sin Fn sinmg 2 v cos m l sin 2.9rad/s 6.5rad/s 通常情況下受重力、繩的拉力和錐面的支持力, 由式可以看出，當(dāng) 、l、m 一定時(shí)，v越大， Fn越小，當(dāng)線(xiàn)速度增大到某一個(gè)值 Vo時(shí)，能使 角速度， 2；(F拉fmax) (Mr) 6.5rad/s。 Fn 0 ,此時(shí)物體與錐面接觸又恰好

11、沒(méi)有相互作用，那么Vo就是錐面對(duì)物體有無(wú)支持力的臨界 速度，令式等于零，得 vo （1）因?yàn)閃 Vo，物體在錐面上且錐面對(duì)物體有支持力，聯(lián)立兩式得 2 Vi FT1 mg sin m 1.03mg （2）因?yàn)関2 v0，物體已離開(kāi)錐面，但仍繞軸線(xiàn)做水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)此時(shí)繩與軸線(xiàn) 間的夾角為（），物體僅受重力和拉力的作用，這時(shí)有 2 FT2 cosmg V2 Ft2 sinm - l sin 由兩式得60o， FT2 2mg 解析：題目中給出了兩個(gè)條件，首先要讓小球能夠做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，這個(gè)條件的實(shí)質(zhì)是要求小 球能夠過(guò)最高點(diǎn)，這是無(wú)支撐的類(lèi)型，小球過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件是重力提供向心力，此時(shí)

12、繩子沒(méi) v2； 有拉力的作用，即 mg m ， v , gl 2m/s，再?gòu)淖罡唿c(diǎn)到最低點(diǎn)列動(dòng)能定理方程，則 l 1 212L 2mgl mvoi mv , 得v。！2 5m/s，此即小球在最低點(diǎn)的初速度的最小 2 2 值。 第二個(gè)條件是繩子不斷，通過(guò)分析很容易知道，繩子在最低點(diǎn)最容易斷，只要最低點(diǎn)不斷，其它 點(diǎn)都不會(huì)斷。所以在最低點(diǎn)有 Fmax mg mvo22 得V02 6m/s 所以小球的初速度滿(mǎn)足的條件是2 5m/s vo 6m/s 例題5 解析：(1)小球恰好能達(dá)到最高點(diǎn)的條件是 0，此時(shí)需要的初速度為 V0滿(mǎn)足的條件是，由 1 2 機(jī)械能守恒定律得 ：3 mv0 2mgR 2 ，得 Vo4gR , 因此要使小球能從 C端出來(lái)需vc 0，故入射速度v04gR。 (2)小球從C出來(lái)端出來(lái)瞬間，對(duì)管壁壓力可以有三種典型情況: 剛好對(duì)管壁無(wú)壓力，此時(shí)重力恰好提供向心力, 由圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí) mg 2 vc m由機(jī)械能守恒定 R / 12 1 律：一 mvo2mgR mv 2 2 c2聯(lián)立解得Vo 5gR 對(duì)下管壁有壓力，此時(shí)應(yīng)有 mg 2 Vc m ， R 相應(yīng)的入射速度 Vo應(yīng)滿(mǎn)足 4gR Vo . 5gR 對(duì)上管壁有壓力，此時(shí)應(yīng)有 mg 2 Vc m R， 相應(yīng)的入射速度 Vo應(yīng)滿(mǎn)足v05gR 例題6 解析：此題實(shí)際上屬于輕桿模型