曲線的極坐標(biāo)方程

1、.1 1.3 曲線的極坐標(biāo)方程 .2 在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做，叫做極點(diǎn)極點(diǎn)。 引一條射線引一條射線OX，叫做，叫做極軸極軸。 再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位和再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位和角角 度單位度單位及及它的正方向它的正方向（通（通 常取逆時(shí)針方向）。常取逆時(shí)針方向）。 這樣就建立了一個(gè)這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系. X O 1.極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系,極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式 復(fù)習(xí)回顧： .3 極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定 X O M 對(duì)于平面上任意一點(diǎn)對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M， 用用 表示線段表示線段OM的長(zhǎng)度，的長(zhǎng)度， 用用 表示從表示

2、從OX到到OM 的角度，的角度， 叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)M的的極徑極徑， 叫做點(diǎn)叫做點(diǎn) M的的極角極角，有序數(shù)對(duì)，有序數(shù)對(duì)（ ， ） 就叫做就叫做M的極坐標(biāo)。的極坐標(biāo)。 特別強(qiáng)調(diào)：特別強(qiáng)調(diào)： 表示線段表示線段OM的長(zhǎng)度，即點(diǎn)的長(zhǎng)度，即點(diǎn)M到極點(diǎn)到極點(diǎn)O的的 距離；距離； 表示從表示從OX到到OM的角度，即以的角度，即以O(shè)X（極軸）（極軸） 為始邊，為始邊，OM 為終邊的角。為終邊的角。 一般地一般地,不作特殊說明時(shí)不作特殊說明時(shí),我們認(rèn)為我們認(rèn)為0,可取任意實(shí)數(shù)可取任意實(shí)數(shù). .4 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式: : 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是的直角坐標(biāo)是 (x, y),極坐標(biāo)是

3、極坐標(biāo)是 (,) x=cos, y=sin ) 0(tan, 222 x x y yx 1.1.直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)：直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)： 2.2.極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)：極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)： .5 2.在平面直角坐標(biāo)系中在平面直角坐標(biāo)系中,平面曲線平面曲線C可以用方程可以用方程 表示表示,曲線與方程曲線與方程F(x,y)=0滿足如下關(guān)系：滿足如下關(guān)系： （1）曲線）曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的解；的解； （2）以方程）以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上上. F( , )0 那么，在極坐標(biāo)系中，平面曲線是否可以用 方程表示呢？ 復(fù)習(xí)回顧：

4、.6 一、曲線的極坐標(biāo)方程的定義： 如果曲線上的點(diǎn)與方程如果曲線上的點(diǎn)與方程F(F( , , )=0)=0有如下關(guān)系有如下關(guān)系 ( () )曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)( (所有坐標(biāo)中至少有所有坐標(biāo)中至少有 一個(gè)一個(gè)) )符合方程符合方程F(F( , , )=0 )=0 ； ( () )方程方程F(F( , , )=0)=0的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線 上。上。 則曲線的方程是則曲線的方程是F(F( , , )=0 .)=0 . .7 曲線的極坐標(biāo)方程 一般地，當(dāng)曲線的幾何特征是用距離及角度表一般地，當(dāng)曲線的幾何特征是用距離及角度表 示時(shí)，選擇曲線的極坐標(biāo)方程表

5、示曲線往往更方便，示時(shí)，選擇曲線的極坐標(biāo)方程表示曲線往往更方便， 得到的方程也更簡(jiǎn)單得到的方程也更簡(jiǎn)單. .但要注意，由于平面上點(diǎn)的極但要注意，由于平面上點(diǎn)的極 坐標(biāo)的表示形式不唯一，因此曲線的極坐標(biāo)方程與坐標(biāo)的表示形式不唯一，因此曲線的極坐標(biāo)方程與 直角坐標(biāo)方程也有不同之處直角坐標(biāo)方程也有不同之處. .一條曲線上點(diǎn)的極坐標(biāo)一條曲線上點(diǎn)的極坐標(biāo) 有多組表現(xiàn)形式，這里要求至少有一組能滿足極坐有多組表現(xiàn)形式，這里要求至少有一組能滿足極坐 標(biāo)方程標(biāo)方程. .有些表示形式可能不滿足方程有些表示形式可能不滿足方程. . =, 4 4 +22 44 4 M M 例如，對(duì)極坐標(biāo)方程，點(diǎn) （）滿足方程， 但也

6、可以表示為（，）或（，）等 4 多種形式，后者都不滿足方程. .8 二、曲線的極坐標(biāo)方程的表示： 1, )0.F 、一般情況下：（ 2( ). . 、也可以是： 即 為 的一個(gè)函數(shù) .9 三、曲線的極坐標(biāo)方程的簡(jiǎn)單的對(duì)稱性 質(zhì)： 1 = 2 3=+O 、若 ( )= (- ),則圖形關(guān)于極軸對(duì)稱； 2、若 ( )= ( - ),則圖形關(guān)于射線 所在的直線對(duì)稱； 、若（ ）（），則圖形關(guān)于幾點(diǎn) 對(duì)稱. .10 四、練習(xí)： 11例、極坐標(biāo)方程表示什么曲線？ .11 2= 例 、極坐標(biāo)方程表示什么曲線？ 4 .12 .13 4. 22 例 、在極坐標(biāo)系中，作出方程 =2cos 的圖形（-） .解：描

7、點(diǎn)作圖適當(dāng)選取 的某些值，按方程計(jì)算相應(yīng)的 值列表： 0 23466432 012323210 作出相應(yīng)各點(diǎn)，光滑地連成曲線.是以O(shè)D為直徑的圓. O x A B C D E F G .14 5. . OldOl OAl 例 、設(shè)極點(diǎn) 到直線 的距離為 由點(diǎn) 向直線 作垂線， 由極軸到垂線的角度為（如圖所示）.求直線 的極 坐標(biāo)方程 ( , ) M d O x l A 解：在直線l上任取一點(diǎn)M ( , ) 在直角三角形OMA中，可得 cos(), . cos() d d 即 這就是直線l的極坐標(biāo)方程. 注意：1、直線的極坐標(biāo)方程形式比普通方程復(fù)雜，因 此只在特殊情況下才用. .15 注意：2、在此例中，當(dāng)在此例中，當(dāng)=0=0時(shí)，時(shí)，l l垂直于極軸，此時(shí)直垂直于極軸，此時(shí)直 線線L L的極坐標(biāo)方程變?yōu)榈臉O坐標(biāo)方程變?yōu)?cosd 2 l 時(shí)，直線 )(0R o x A M 3、當(dāng)、當(dāng) 平行于極軸平行于極軸 sin d M ox A 極坐標(biāo)方程變?yōu)闃O坐標(biāo)方程變?yōu)?4 4、若、若d=0d=0，則直線過