2019屆高中數(shù)學(xué) 第四章 圓與方程 4.2.2 圓與圓的位置關(guān)系課件 新人教A版必修2

1、4.2.2圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系 圓與圓的位置關(guān)系的判定方法 將兩圓放在同一平面內(nèi),通過動態(tài)分析可以得到兩圓位置關(guān)系有 五種(如圖). 1.已知圓C1:x2+y2=4,圓C2:(x-a)2+y2=1, (1)兩圓半徑分別為多少? 提示:r1=2,r2=1. (2)若a=4,兩圓圓心分別為多少?圓心距為多少?與兩半徑有何關(guān) 系?兩圓有何位置關(guān)系? 提示:圓心C1(0,0),C2(4,0),d=4,dr1+r2,相離. (3)若a=3,兩圓圓心分別為多少?圓心距為多少?與半徑有何關(guān)系? 兩圓有何位置關(guān)系? 提示:圓心C1(0,0),C2(3,0),d=3,d=r1+r2,外切. (4)若

2、a=2,兩圓圓心分別為多少?圓心距為多少?與半徑有何關(guān)系? 兩圓有何位置關(guān)系? 提示:圓心C1(0,0),C2(2,0),d=2,r1-r2dr1+r2,相交. (5)若a=1,兩圓圓心分別為多少?圓心距為多少?與半徑有何關(guān)系? 兩圓有何位置關(guān)系? 提示:圓心C1(0,0),C2(1,0),d=1,d=r1-r2,內(nèi)切. (6)若a=0,兩圓圓心分別為多少?圓心距為多少?與半徑有何關(guān)系? 兩圓有何位置關(guān)系? 提示:圓心C1(0,0),C2(0,0),d=0,dr1+r2時, 圓C1與圓C2外離;當(dāng)d=r1+r2時,圓C1與圓C2外切;當(dāng)|r1-r2|dr1+r2時, 圓C1與圓C2相交;當(dāng)d=

3、|r1-r2|時,圓C1與圓C2內(nèi)切;當(dāng)d0時,兩圓相交;當(dāng)=0時,兩圓相切;當(dāng)0),圓C2:x2+y2-4ax- 2y+4a2=0(a0).試求a為何值時,兩圓C1,C2的位置關(guān)系為: (1)相切;(2)相交;(3)外離;(4)內(nèi)含? 思路分析:求出圓心距,與兩半徑的和或差比較求出a的值. 探究一探究二探究三思維辨析 解:圓C1,C2的方程,經(jīng)配方后可得 C1:(x-a)2+(y-1)2=16, C2:(x-2a)2+(y-1)2=1, 圓心C1(a,1),C2(2a,1),半徑r1=4,r2=1. (1)當(dāng)|C1C2|=r1+r2=5,即a=5時,兩圓外切; 當(dāng)|C1C2|=r1-r2=3

4、,即a=3時,兩圓內(nèi)切. (2)當(dāng)3|C1C2|5,即3a5,即a5時,兩圓外離. (4)當(dāng)|C1C2|3,即0a0. 解得a=121或a=1. 答案:121或1 探究一探究二探究三思維辨析 兩圓相交問題兩圓相交問題 例2 已知圓C1:x2+y2+6x-4=0和圓C2:x2+y2+6y-28=0. (1)求兩圓公共弦所在直線的方程及弦長; (2)求經(jīng)過兩圓交點且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程. 思路分析:(1)兩圓方程相減求出公共弦所在直線方程,再根據(jù)半 徑、弦心距、弦長的關(guān)系求出弦長. (2)可求出兩圓的交點坐標,結(jié)合圓心在直線x-y-4=0上求出圓心 坐標與半徑,也可利用圓系方程求解

5、. 探究一探究二探究三思維辨析 解:(1)設(shè)兩圓交點為A(x1,y1),B(x2,y2), -,得x-y+4=0. A,B兩點坐標都滿足此方程, x-y+4=0即為兩圓公共弦所在直線的方程. 探究一探究二探究三思維辨析 得兩圓的交點A(-1,3),B(-6,-2). 設(shè)所求圓的圓心為(a,b),因圓心在直線x-y-4=0上,故b=a-4. 即x2+y2-x+7y-32=0. 探究一探究二探究三思維辨析 方法二:設(shè)所求圓的方程為x2+y2+6x-4+(x2+y2+6y-28)=0(-1), 故所求圓的方程為x2+y2-x+7y-32=0. 反思感悟相交弦及圓系方程問題的解決 1.求兩圓的公共弦所

6、在直線的方程的方法:將兩圓方程相減即得 兩圓公共弦所在直線方程,但必須注意只有當(dāng)兩圓方程中二次項系 數(shù)相同時,才能如此求解,否則應(yīng)先調(diào)整系數(shù). 2.求兩圓公共弦長的方法:一是聯(lián)立兩圓方程求出交點坐標,再用 距離公式求解;二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程,再利用半 徑長、弦心距和弦長的一半構(gòu)成的直角三角形求解. 3.已知圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 相交,則過兩圓交點的圓的方程可設(shè)為 x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1). 探究一探究二探究三思維辨析 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練兩圓相交于兩點A(1

7、,3)和B(m,-1),兩圓圓心都在直線x- y+c=0上,則m+c的值為. 解析:由題意知直線AB與直線x-y+c=0垂直, kAB1=-1. AB的中點坐標為(3,1). AB的中點在直線x-y+c=0上, 3-1+c=0,c=-2, m+c=5-2=3. 答案:3 探究一探究二探究三思維辨析 兩圓相切問題兩圓相切問題 例3求與圓x2+y2-2x=0外切且與直線x+3y=0相切于點M(3,-3)的 圓的方程. 思路分析:設(shè)圓的方程,利用兩圓外切和直線與圓相切建立方程 組求得. 解設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r0), 由題知所求圓與圓x2+y2-2x=0外切, 解由組成

8、的方程組得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-43,r=6. 故所求圓的方程為(x-4)2+y2=4或x2+(y+43)2=36. 探究一探究二探究三思維辨析 延伸探究1將本例變?yōu)椤扒笈c圓x2+y2-2x=0外切,圓心在x軸上,且 過點(3,- )的圓的方程”,如何求? 解因為圓心在x軸上, 所以可設(shè)圓心坐標為(a,0),設(shè)半徑為r, 則所求圓的方程為(x-a)2+y2=r2, 所以圓的方程為(x-4)2+y2=4. 探究一探究二探究三思維辨析 延伸探究2將本例改為“若圓x2+y2-2x=0與圓x2+y2-8x-8y+m=0相 外切,試求實數(shù)m的值.” 反思反思感悟感悟處理兩圓相切問題的兩個

9、步驟 (1)定性,即必須準確把握是內(nèi)切還是外切,若只是告訴相切,則必 須考慮分兩圓內(nèi)切還是外切兩種情況討論. (2)轉(zhuǎn)化思想,即將兩圓相切的問題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓 半徑之差的絕對值(內(nèi)切時)或兩圓半徑之和(外切時). 探究一探究二探究三思維辨析 兩圓公共弦問題 典例已知圓C1:x2+y2+2x-6y+1=0和圓C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求兩 圓的公共弦所在直線的方程及公共弦長. 思路分析:在求公共弦方程時需要明確兩圓的交點坐標滿足兩圓 的方程,故將兩圓的方程聯(lián)立相減即可得到該公共弦的方程;求弦 長時首先找到一個圓的圓心與半徑,利用點到直線的距離公式求得 這個圓心到該公共弦

10、的距離,再利用勾股定理即可得到答案. 探究一探究二探究三思維辨析 解設(shè)兩圓的交點為A(x1,y1),B(x2,y2), 則A、B兩點的坐標是方程組: 兩式相減,得3x-4y+6=0. 由于A、B兩點坐標都滿足此方程, 故3x-4y+6=0即為公共弦所在直線的方程. C1的圓心為(-1,3),半徑為3, 探究一探究二探究三思維辨析 方法總結(jié) (1)兩圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0與 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交時,公共弦所在的直線方程為(D1- D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. (2)兩圓的圓心連線是公共弦的垂直平分線. (3)求公共弦長也利用幾何法和

11、代數(shù)法. 123 1.兩圓x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置關(guān)系是() A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.外離 解析:圓x2+y2-1=0表示以O(shè)1(0,0)點為圓心,以R1=1為半徑的圓. 圓x2+y2-4x+2y-4=0表示以O(shè)2(2,-1)點為圓心,以R2=3為半徑的圓. |O1O2|= ,R2-R1|O1O2|R2+R1,圓x2+y2-1=0和圓x2+y2- 4x+2y-4=0相交. 答案:B 123 2.圓C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圓C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦所 在的直線方程是. 解析:兩圓的方程相減得公共弦所在的直線方程為4x+3