分式方程(簡(jiǎn)講義)

1、分式方程1.分式的定義 ：如果 A、B 表示兩個(gè)整式，并且B 中含有字母，那么式子A 叫做分式。B1) 分式與整式最本質(zhì)的區(qū)別：分式的字母必須含有字母，即未知數(shù)；分子可含字母可不含字母。2) 分式有意義的條件：分母不為零，即分母中的代數(shù)式的值不能為零。3) 分式的值為零的條件：分子為零且分母不為零2.分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘或除以一個(gè)不等于0 的整式，分式的值不變。AA CAAC0 ）用式子表示B CBB其中 A、 B、 C 為整式（ CBC注：（ 1）利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行分時(shí)變形是恒等變形，不改變分式值的大小，只改變形式。（ 2）應(yīng)用基本性質(zhì)時(shí)，要注意C 0，以及隱含的 B 0

2、。（ 3）注意“都”，分子分母要同時(shí)乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分項(xiàng)，或避免出現(xiàn)分子、分母乘除的不是同一個(gè)整式的錯(cuò)誤。3. 分式的通分和約分： 關(guān)鍵先是分解因式1) 分式的約分定義：利用分式的基本性質(zhì)，約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值。2) 最簡(jiǎn)分式：分子與分母沒(méi)有公因式的分式3) 分式的通分的定義：利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值，把幾個(gè)異分母的分式化成分母相同的分式。4) 最簡(jiǎn)公分母：取“ 各個(gè)分母” 的“ 所有因式” 的最高次冪的積做公分母，它叫做最簡(jiǎn)公分母。4. 分式的符號(hào)法則分式的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)分式

3、的值不變。用式子表示為注：分子與分母變號(hào)時(shí)，是指整個(gè)分子或分母同時(shí)變號(hào)，而不是指改變分子或分母中的部分項(xiàng)的符號(hào)。5. 條件分式求值1） 整體代換法：指在解決某些問(wèn)題時(shí)，把一些組合式子視作一個(gè)“整體”，并把這個(gè)“整體”直接代入另一個(gè)式子，從而可避免局部運(yùn)算的麻煩和困難。114a3abbab2a2b7b例：已知，則求2）參數(shù)法：當(dāng)出現(xiàn)連比式或連等式時(shí)，常用參數(shù)法。abc3a2b5c例：若23，則求abc46. 分式的運(yùn)算：1）分式乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為分母。2）分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。ac ac ; ac a d

4、adb d bd bd b c bca)n an(b n3）分式乘方法則：分式乘方要把分子、分母分別乘方。b4）分式乘方、乘除混合運(yùn)算：先算乘方，再算乘除，遇到括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的，不含括號(hào)的，按從左到右的順序運(yùn)算5）分式的加減法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜阜质?，然后再加減abab , acadbcadbccccbdbdbdbd7. 分式方程： 含分式，并且分母中含未知數(shù)的方程分式方程。1) 增根：分式方程的增根必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：（ 1）增根是最簡(jiǎn)公分母為 0；（ 2）增根是分式方程化成的整式方程的根。2 ）分式方程的解法：(1) 能化簡(jiǎn)

5、的先化簡(jiǎn)(2) 方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母，化為整式方程；(3) 解整式方程； (4) 驗(yàn)根考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn) 1.分式的概念1、下列各有理式8x, 3, x 2 yxy 2, 1,3,x, 3( xy), 1y , y 中，分式的個(gè)數(shù)是2x485 y x y 2x 3 （）A. 3個(gè)B. 4個(gè)C. 5個(gè)D. 6個(gè)考點(diǎn) 2.分式的意義分式： A (A， B 都是整式，且 B 中含有字母， B 0)B 分式有意義； 分式無(wú)意義； 分式值為零1、若分式2有意義，則 x_x32、 要使分式32x有意義，則（）(2 x3)(x5)A. x 3B. x5 C. x3 且 x5 D. x3 或 x52223、 當(dāng)

6、 a 為任意有理數(shù)時(shí)，下列分式一定有意義的是（）Aa1B.a2C.a21D.a 1a21aa1a214、分式 x3 當(dāng) x時(shí)有意義；當(dāng) x時(shí)分式?jīng)]有意義；當(dāng) x時(shí)分式的值為零。2x45、當(dāng) x時(shí)，分式 2x5 的值是零；當(dāng) x時(shí)，分式 x 24 的值是零；x2x2當(dāng) x時(shí)，分式 x 2 的值是零x 2考點(diǎn) 3、最簡(jiǎn)公分母、最簡(jiǎn)分式1、分式c,a,b 的最簡(jiǎn)公分母是；分式 1， x1 ，2xy的最簡(jiǎn)公分ab 22bc3ac3xx15( x21)母為 _2、下列分式中是最簡(jiǎn)分式的是（）A.2xB.4C.x1D.1xx212xx 21x13、下列分式中是最簡(jiǎn)分式的是（）A.x 2y 2B.xyC.x

7、yD.2 x( x y) 2x2x 2xyx 2考點(diǎn) 4、分式的基本性質(zhì)1. 不改變分式的值，把下列各式的分子與分母中各項(xiàng)的系數(shù)都化為整數(shù)。1 x2 y（2） 0.3a0.5b（1） 23；120.2abxy232、把分式 xy 中的分子、分母的 x、y 同時(shí)擴(kuò)大 2 倍，那么分式的值（）xyA. 擴(kuò)大 2倍B.縮小為原來(lái)的 1C.不變D.縮小為原來(lái)的 1243、約分（1）16 x2 y3；（2）x24=20 xy4=24xx44、通分（1）1， 1；（2） 1，1；（3）1，1.a2bab2x yx yx2y2x2xy考點(diǎn) 5、計(jì)算1、(1)a2 xya 2 yz；（ ） x 2x29=；（

8、3）(a 2)2b 2)31)4=b2z2b2x2=224b.(.(x 3 xaab(4)x 26x92x6（ 5）aba4a 2b 2（ ）x21x22x9 x2x2.26x2( x 1)3xa b aab4x 41 x（ 7）( x y) 2(x y)2（ 8）xy324xyxy2y22x2（9）xyx 4 x2 16（412a22x6511） a（12）x2x 2(10)a21a2a 1x 2a2、先化簡(jiǎn) a2b2(a2ab b2) ，當(dāng) b= 1 時(shí)，請(qǐng)你為a 選一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)代入求值a2aba3、（1）如果x2，那么分式3x22xy 2 y 2；y2x2xy2 y2 的值為（ 2）如果

9、 112, 那么分式 3x2xy3 y 的值為xy2xxy2 y（ 3）已知3x4AB，其中 A、B 為常數(shù)，則 AB 的值為x2x2 x 2 x1（ 4）某人上山的速度為 a，下山的速度為 b，則他上山、下山的平均速度（假設(shè)按原路返回）為 _考點(diǎn) 6、零指數(shù)冪與負(fù)整指數(shù)冪計(jì)算：（1） 12( 1)2=；（2） (2) 0( 2)2=；22（3） 16 ( 2)3(1) 1(31)0=（4）（8105）（ -2 104 ）=3（ 5） a 3 b 22ab33（結(jié)果只含正整數(shù)指數(shù)冪） =考點(diǎn) 7、分式方程的概念下列關(guān)于 x 的方程是分式方程的是 ()A.x 23 x4 2xC.xabx( x

10、1)23B. 3abaD.156bx 1考點(diǎn) 8、分式方程的解1、當(dāng) x=時(shí),x2與 x1 互為相反數(shù)x5x2、若分式方程17x4 有增根，增根為； 當(dāng) k=_ 時(shí) , 分 式 方 程x33xxkx有增根。x 1x 10x 13、已知關(guān)于 x 的分式方程 xa13 無(wú)解，則 a =x1x4、關(guān)于 x 的方程 2xa1的解是正數(shù)，則 a 的取值范圍是x1考點(diǎn) 9、解分式方程（1）13（2）113（3）12129x 2 x2 x 4 22 xx 3 3 x x2（4） 12x（5） x61（6）24x 3x 1x 33 xx 2 x 2x4x 2x 2考點(diǎn) 10、分式方程的應(yīng)用題1、某人生產(chǎn)一種零

11、件 , 計(jì)劃在 30 天內(nèi)完成 , 若每天多生產(chǎn) 6 個(gè) , 則 25 天完成且還多生產(chǎn)10個(gè) , 問(wèn)原計(jì)劃每天生產(chǎn)多少個(gè)零件?設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)x 個(gè), 列方程式是 ()A. 30x1025 B.30 x1025C.30x25 10 D.30x1025 10x6x6x 6x62、某工地調(diào)來(lái) 72 人挖土和運(yùn)土 , 已知 3 人挖出的土1 人恰好能全部運(yùn)走 , 怎樣調(diào)配勞動(dòng)力使挖出的土能及時(shí)運(yùn)走且不窩土, 解決此問(wèn) 題可設(shè)派x 人挖土 , 其它人運(yùn)土 , 列方程 : x+3x=72, 72-x= x , 72 x1, x3. 上述所列方程正確的 ( )3x372xA.1 個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)3、某工程需要在規(guī)定日期內(nèi)完成, 如果甲工程隊(duì)獨(dú)做 , 恰好如期完成 ;如果乙工作隊(duì)獨(dú)做 ,則超過(guò)規(guī)定日期3 天, 現(xiàn)在甲、乙兩隊(duì)合作2 天, 剩下的由乙隊(duì)獨(dú)做 , 恰好在規(guī)定日期完成 ,求規(guī)定日期 . 如果設(shè)規(guī)定日期 為 x 天, 下面