奧數(shù)知識(shí)手冊(cè)

1、小學(xué)奧數(shù)知識(shí)手冊(cè)1和差倍問(wèn)題和差問(wèn)題和倍問(wèn)題差倍問(wèn)題已知條件幾個(gè)數(shù)的和與差幾個(gè)數(shù)的和與倍數(shù)幾個(gè)數(shù)的差與倍數(shù)適用范圍已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系公式 （和一差）十2=較小數(shù)較小數(shù)+差=較大數(shù) 和-較小數(shù)=較大數(shù) （和+差）十2=較大數(shù)較大數(shù)-差=較小數(shù) 和-較大數(shù)=較小數(shù)和+ （倍數(shù)+ 1）=小數(shù) 小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù) 和-小數(shù)=大數(shù)差+ （倍數(shù)-1）=小數(shù) 小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù) 小數(shù)+差-大數(shù)關(guān)鍵問(wèn)題求出同一條件下的和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)2.年齡問(wèn)題的三個(gè)基本特征：（必考知識(shí)點(diǎn)命題熱點(diǎn)） 兩個(gè)人的年齡差是不變的； 兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的; 兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；3. 歸一問(wèn)題的

2、基本特點(diǎn)：?jiǎn)栴}中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”等詞語(yǔ)來(lái)表示。關(guān)鍵問(wèn)題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；4植樹(shù)問(wèn)題（必考知識(shí)點(diǎn) 命題熱點(diǎn)）基本類(lèi)型在直線(xiàn)或者不封閉的曲 線(xiàn)上植樹(shù)，兩端都植樹(shù)在直線(xiàn)或者不封閉的曲 線(xiàn)上植樹(shù)，兩端都不植樹(shù)在直線(xiàn)或者不封閉的曲線(xiàn)上植 樹(shù)，只有一端植樹(shù)圭寸閉曲線(xiàn)上植樹(shù)基本公式棵數(shù)-段數(shù)+1 棵距X段數(shù)-總長(zhǎng)棵數(shù)-段數(shù)1 棵距X段數(shù)-總長(zhǎng)棵數(shù)-段數(shù)棵距X段數(shù)-總長(zhǎng)關(guān)鍵問(wèn)題確定所屬類(lèi)型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系5.雞兔同籠問(wèn)題基本概念：雞兔同籠問(wèn)題又稱(chēng)為置換問(wèn)題、假設(shè)問(wèn)題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來(lái);基本思路： 假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（

3、甲和乙一樣或者乙和甲一樣）： 假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少； 每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因； 再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差?；竟剑喊阉须u假設(shè)成兔子：雞數(shù)= （兔腳數(shù)X總頭數(shù)-總腳數(shù)）+（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)） 把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)=（總腳數(shù)一雞腳數(shù)X總頭數(shù)）十（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）關(guān)鍵問(wèn)題：找出總量的差與單位量的差。提示：雞兔同籠的公式千萬(wàn)不要死記硬背，因?yàn)樗淖冃胃啵?盈虧問(wèn)題基本概念：一定量的對(duì)象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果， 由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)或

4、對(duì)象的總量.基本思路：先將兩種分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個(gè)關(guān)系求出參加分 配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對(duì)象的總量.基本題型：一次有余數(shù)，另一次不足；基本公式：總份數(shù)=（余數(shù)+不足數(shù)）十兩次每份數(shù)的差 當(dāng)兩次都有余數(shù)；基本公式：總份數(shù)=（較大余數(shù)一較小余數(shù)）十兩次每份數(shù)的差 當(dāng)兩次都不足；基本公式：總份數(shù)=（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）十兩次每份數(shù)的差基本特點(diǎn)：對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。關(guān)鍵問(wèn)題：確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。7.牛吃草問(wèn)題基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長(zhǎng)速度和總

5、草量?；咎攸c(diǎn)：原草量和新草生長(zhǎng)速度是不變的；關(guān)鍵問(wèn)題：確定兩個(gè)不變的量?；竟剑荷L(zhǎng)量=（較長(zhǎng)時(shí)間X長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較短時(shí)間X短時(shí)間牛頭數(shù)）十（長(zhǎng)時(shí)間-短時(shí)間）；總草量=較長(zhǎng)時(shí)間X長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較長(zhǎng)時(shí)間X生長(zhǎng)量；&周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間叫周期。關(guān)鍵問(wèn)題：確定循環(huán)周期。閏 年：一年有366天；年份能被4整除；如果年份能被100整除，則年份必須能被 400整除；平 年：一年有365天。年份不能被4整除；如果年份能被100整除，但不能被 400整除；9平均數(shù)基本公式： 平均數(shù)=總數(shù)量十總份數(shù) 總數(shù)量=平均數(shù)X

6、總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量十平均數(shù) 平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)+每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和十總份數(shù)基本算法：求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式進(jìn)行計(jì)算基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)， 求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有差的和； 再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見(jiàn)基本公式。10.抽屜原理| （必考知識(shí)點(diǎn) 命題熱點(diǎn)）抽屜原則一：如果把（n+1）個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。例：把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以下四種情況： 4=4

7、+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1觀察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有2個(gè)或多于2個(gè)物體，也就是說(shuō)必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。抽屜原則二：如果把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中nm那么必有一個(gè)抽屜至少有：k=n/m +1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)。k=n/m個(gè)物體：當(dāng)n能被m整除時(shí)。 理解知識(shí)點(diǎn)：X表示不超過(guò)X的最大整數(shù)。例4.351=4 ； 0.321=0 ； 2.9999=2 ；關(guān)鍵問(wèn)題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。11定義新運(yùn)算（必考知識(shí)點(diǎn)）基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)

8、包含有多種基本（混合）運(yùn)算?；舅悸罚簢?yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過(guò) 程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。關(guān)鍵問(wèn)題：正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。注意事項(xiàng)：新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。12. 數(shù)列求和（必考知識(shí)點(diǎn)命題熱點(diǎn)）等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列?；靖拍睿菏醉?xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用a1表示；項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n表示；公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d表示；數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示.基本思路：等差數(shù)列

9、中涉及五個(gè)量：a1 ,a n, d, n,sn,通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中一個(gè)，就可求出第四個(gè)； 基本公式：求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)。通項(xiàng)公式：an = a 1+ （n 1） d;通項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)一 1） x公差；數(shù)列和公式：Sn,= （a 1+ an） x n + 2;數(shù)列和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）x項(xiàng)數(shù)+2;項(xiàng)數(shù)公式：n= （a n+ a 1） +d + 1;項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）+公差+ 1;公差公式：d = （an a1） ）+ （n 1）;公差=（末項(xiàng)一首項(xiàng)） + （項(xiàng)數(shù)一1）;關(guān)鍵問(wèn)題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；西工大李老師提示：推導(dǎo)出來(lái)的

10、東西要熟記，可以利 用植樹(shù)問(wèn)題推到！13. 二進(jìn)制及其應(yīng)用十進(jìn)制：用09十個(gè)數(shù)字表示，逢10進(jìn)1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的2表示20,百位上的 2 表示 200。所以 234=200+30+4=21 x 10n-2+An-2 x 10n-3 +An-3 x 10n-4+An-4 x 10n-5+A6X 10n-7+A3X 102+AX 101+AX 10 注意：Nf= 1; N=N （其中N是任意自然數(shù)）二進(jìn)制：用01兩個(gè)數(shù)字表示，逢2進(jìn)1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。（2） = A n X2 +An-1 x2 +A1-2 X2 +An-3 X2 +A1-4 X2 +An-

11、6 X2+A3X2 2+AX2 1+AX2 0注意：An不是0就是1。十進(jìn)制化成二進(jìn)制： 根據(jù)二進(jìn)制滿(mǎn)2進(jìn)1的特點(diǎn)，用2連續(xù)去除這個(gè)數(shù)，直到商為0，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫(xiě)出即可。 先找出不大于該數(shù)的 2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的2的n次方，依此方法一直找到差為0，按照二進(jìn)制展開(kāi)式特點(diǎn)即可寫(xiě)出。14加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)（必考知識(shí)點(diǎn)命題熱點(diǎn)）加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類(lèi)方法，在第一類(lèi)方法中有 m種不同方法，在第二類(lèi)方法中有mi種不同方法 ，在第n類(lèi)方法中有 m種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：m+ m2+mn種不同的方法。關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作的分類(lèi)方法?；咎卣鳎?/p>

12、每一種方法都可完成任務(wù)。乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成n個(gè)步驟進(jìn)行，做第1步有m種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m種方法 不管前面n-1步用哪種方法，第 n步總有m種方法，那么完成這件任務(wù)共有： m xm2 xm n種不同的方法。關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作的完成步驟?；咎卣鳎好恳徊街荒芡瓿扇蝿?wù)的一部分。直線(xiàn)：一點(diǎn)在直線(xiàn)或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。直線(xiàn)特點(diǎn)：沒(méi)有端點(diǎn)，沒(méi)有長(zhǎng)度。線(xiàn)段：直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。線(xiàn)段特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，有長(zhǎng)度。射線(xiàn)：把直線(xiàn)的一端無(wú)限延長(zhǎng)。射線(xiàn)特點(diǎn)：只有一個(gè)端點(diǎn)；沒(méi)有長(zhǎng)度。 數(shù)線(xiàn)段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+ （點(diǎn)數(shù)一 1）; 數(shù)角規(guī)律=

13、1+2+3+ （射線(xiàn)數(shù)一 1）; 數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=長(zhǎng)的線(xiàn)段數(shù)x寬的線(xiàn)段數(shù)： 數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù) =1x 1+2x 2+3x 3+行數(shù)x列數(shù)15質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)除了 1和它本身之外，沒(méi)有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了 1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。質(zhì)因數(shù)：如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè) 合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：N=,其中ai、a2、a3a n都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且 印55a n。求約數(shù)個(gè)數(shù)的公

14、式：P=(ri+1) x (r 2+1)x (r 3+1)x x (r n+1)互質(zhì)數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1,這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。16 .約數(shù)與倍數(shù)(命題熱點(diǎn))約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù) a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。公約數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。 最大公約數(shù)的性質(zhì)：1、幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。2、幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。3、幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。4、幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù) m所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以例如：12 的約數(shù)有 1、

15、2、3、4、6、12;18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18;那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6;那么12和18最大的公約數(shù)是：6,記作(12, 18) =6;求最大公約數(shù)基本方法：1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來(lái)。2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。 公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。12的倍數(shù)有：12、24、36、48;18的倍數(shù)有：18、36、54、72;那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108;那么12和18最小

16、的公倍數(shù)是36,記作12 , 18=36;最小公倍數(shù)的性質(zhì)：1、兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法17.數(shù)的整除、基本概念和符號(hào)：1、整除：如果一個(gè)整數(shù) a，除以一個(gè)自然數(shù) b，得到一個(gè)整數(shù)商 c,而且沒(méi)有余數(shù)，那么叫做 a能被b整除 或b能整除a,記作b|a。2、 常用符號(hào)：整除符號(hào)“|”，不能整除符號(hào) “”；因?yàn)榉?hào)，所以的符號(hào)“” ;二、整除判斷方法：1. 能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被 2、5整除。2. 能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、

17、25整除。3. 能被& 125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被& 125整除。4. 能被3、9整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。5. 能被7整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。6. 能被11整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。 奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。 逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。7. 能被13整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被1

18、3整除。三、整除的性質(zhì)：1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)與(a-b )也能被c整除。2. 如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。18 余數(shù)及其應(yīng)用基本概念：對(duì)任意自然數(shù)a、b、q、r，如果使得a* b=qr，且0rb,那么r叫做a除以b的余數(shù)，q叫做a除以b的不完全商。余數(shù)的性質(zhì)：余數(shù)小于除數(shù)。 若a、b除以c的余數(shù)相同，則 c|a-b或c|b-a 。 a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。 a與b的積除以c

19、的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。19 余數(shù)、同余與周期一、同余的定義： 若兩個(gè)整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱(chēng) a、b對(duì)于模m同余。 已知三個(gè)整數(shù) a、b、m,如果 m|a-b，就稱(chēng)a、b對(duì)于模 m同余，記作 a=b(mod m),讀作a同余于b模 m二、同余的性質(zhì)： 自身性：a= a(mod m)； 對(duì)稱(chēng)性：若 a= b(mod m)，貝U b= a(mod m)； 傳遞性：若 a= b(mod m) , b= c(mod m)，貝U a= c(mod m); 和差性：若 a= b(mod m) , c= d(mod m)，貝U a+c= b+d(mod m) ,

20、a- c=b -d(mod m); 相乘性：若 a= b(mod m) , c=d(mod m)，貝U ax c= b x d(mod m)； 乘方性：若 a= b(mod m)，貝U an=bn(mod m); 同倍性：若 a= b(mod m)，整數(shù) c,貝U axc= b xc(mod mxc);三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí)：若 A=axb，則 M=Mxb= (M) b若 B=c+d 則 M=M+d=MxMd四、被3、9、11除后的余數(shù)特征： 一個(gè)自然數(shù) M n表示M的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則n(mod 9)或(mod 3); 一個(gè)自然數(shù) MX表示M的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位

21、上數(shù)字的和， 則MY-X或M= 11-(X-Y) (mod 11);五、費(fèi)爾馬小定理：如果 p是質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù))，a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1 = 1(mod p)。 20 分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用(必考知識(shí)點(diǎn)，小升初應(yīng)用題命題中的五大命題專(zhuān)題之一)基本概念與性質(zhì)：分?jǐn)?shù)：把單位 “ 1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)(0除外)，分?jǐn)?shù)的大小不變。分?jǐn)?shù)單位：把單位 “1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。常用方法： 逆向思維方法：從題目提供條件的反方向(或結(jié)果)進(jìn)行思考。 對(duì)應(yīng)思維方法：找出題目中

22、具體的量與它所占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。 轉(zhuǎn)化思維方法： 把一類(lèi)應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類(lèi)應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見(jiàn)的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見(jiàn)的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。 假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計(jì)算出相 應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。 量不變思維方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不論其他量如何變化，而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之

23、間的差量不變化。 替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。 同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。 濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。21.分?jǐn)?shù)大小的比較 （必考知識(shí)點(diǎn)，小學(xué)各種競(jìng)賽中的命題熱點(diǎn)） 基本方法： 通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。 通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。 基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。 分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時(shí)，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。 倍率比較法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大

24、小，除了運(yùn)用以上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（具體運(yùn)用見(jiàn)同倍率變化規(guī)律） 轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。 倍數(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進(jìn)行比較。 大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。 倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。 基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。22分?jǐn)?shù)拆分將一亍分?jǐn)?shù)單位分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和的公式： 1 押：刑（聞+ 1） + w + ;1 扌 1 沖二刃（“ + /）*艸+丘（媯自然數(shù):23. 完全平方數(shù) 完全平方數(shù)特征：1. 末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9

25、;反之不成立。2. 除以3余0或余1;反之不成立。3. 除以4余0或余1;反之不成立。4. 約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)；反之成立。5. 奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。6. 奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。7. 兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。平方差公式：X2-Y2= （X-Y）（ X+Y）完全平方和公式：（X+Y 2=x+2XY+Y完全平方差公式：（X-Y） 2=X-2XY+Y224. 比和比例（必考知識(shí)點(diǎn) 命題熱點(diǎn)）比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫比的后項(xiàng)。比值：比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相

26、同的數(shù)（零除外），比值不變。比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積（交叉相乘），ad=bc。正比例：若 A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍（AB的商不變時(shí)），則 A與B成正比。 反比例：若 A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍（AB的積不變時(shí)），則 A與B成反比。 比例尺：圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。按比例分配：把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。25. 綜合行程（即時(shí)小學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，又是小學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，同時(shí)又是命題熱點(diǎn)）基本概念：行程問(wèn)題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系 基本公式：路程=速度x時(shí)間；

27、路程 十時(shí)間=速度；路程十速度=時(shí)間關(guān)鍵問(wèn)題：確定運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位置和方向。相遇問(wèn)題：速度和 X相遇時(shí)間=相遇路程（請(qǐng)寫(xiě)出其他公式）追及問(wèn)題：追及時(shí)間=路程差十速度差（寫(xiě)出其他公式）流水問(wèn)題：順?biāo)谐?=（船速+水速）X順?biāo)畷r(shí)間逆水行程=（船速-水速）X逆水時(shí)間順?biāo)俣?船速+水速逆水速度=船速-水速靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）+2水 速=（順?biāo)俣?逆水速度）+2流水問(wèn)題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。過(guò)橋問(wèn)題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。 主要方法：畫(huà)線(xiàn)段圖法。行程問(wèn)題六大解題方法：（1）公式法（2）圖解法（3）比例法（4）分段法（5）方程法（6）列表法 基本題

28、型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時(shí)間（相遇時(shí)間、追及時(shí)間）、速度（速度和、速度差）中 任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。行程問(wèn)題十三大類(lèi)型：1. 簡(jiǎn)單相遇追及問(wèn)題2. 多人相遇追及問(wèn)題（一般為三人，把三人行程轉(zhuǎn)化為二人行程來(lái)解決。）3. 多次相遇追及問(wèn)題（往返行程問(wèn)題）4. 變速變道問(wèn)題5. 火車(chē)過(guò)橋問(wèn)題（過(guò)橋問(wèn)題，錯(cuò)車(chē)問(wèn)題）6. 流水行船問(wèn)題（自動(dòng)扶梯問(wèn)題）7間隔發(fā)車(chē)問(wèn)題8. 接送問(wèn)題9. 時(shí)鐘問(wèn)題10. 調(diào)頭爬行問(wèn)題11. 環(huán)形跑道問(wèn)題12. 跑跑停停問(wèn)題13. 獵狗追兔問(wèn)題26. 工程問(wèn)題基本公式：工作總量=工作效率x工作時(shí)間工作效率=工作總量+工作時(shí)間工作時(shí)間=工作總量+工作效率 基本思路：

29、假設(shè)工作總量為“1” （和總工作量無(wú)關(guān)）；假設(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù)），利用上述三個(gè)基本關(guān)系， 可以簡(jiǎn)單地表示岀工作效率及工作時(shí)間.關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。經(jīng)驗(yàn)簡(jiǎn)評(píng)：合久必分，分久必合。27 邏輯推理基本方法簡(jiǎn)介：條件分析一假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說(shuō)明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設(shè)a是偶數(shù)成立，在判斷過(guò)程中出現(xiàn)了矛盾， 那么a一定是奇數(shù)。 條件分析一列表法：當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時(shí)，就需要進(jìn)行列表來(lái)輔助分析。列

30、表法就是把題設(shè)的 條件全部表示在一個(gè)長(zhǎng)方形表格中 ，表格的行 列分別表示不同的對(duì)象與情況， 觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運(yùn)用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。 條件分析 圖表法：當(dāng)兩個(gè)對(duì)象之間只有兩種關(guān)系時(shí) ，就可用連線(xiàn)表示兩個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系 ，有連線(xiàn)則表示“是，有 等肯定的狀態(tài)，沒(méi)有連線(xiàn)則表示否定的狀態(tài).例如A和B兩人之間有認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)兩種狀態(tài)， 有連線(xiàn)表示認(rèn)識(shí)，沒(méi)有表示不認(rèn)識(shí)。 邏輯計(jì)算：在推理的過(guò)程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，根據(jù)計(jì)算的結(jié)果為推理提供一個(gè)新的 判斷篩選條件。 簡(jiǎn)單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推岀相關(guān)的關(guān)

31、系式，從而得到問(wèn)題的解決。28.幾何面積（必考知識(shí)點(diǎn)命題熱點(diǎn)）基本思路：在一些面積的計(jì)算上，不能直接運(yùn)用公式的情況下，一般需要對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、 重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。常用方法：1.連輔助線(xiàn)方法2. 利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。3. 大膽假設(shè)（有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說(shuō)的是任意點(diǎn)，解題時(shí)可把任意點(diǎn)設(shè)置在特殊位置上）。4. 利用特殊規(guī)律等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積.（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積）梯形對(duì)角線(xiàn)連線(xiàn)后，兩腰部分面積相等。圓的面積占外接正方形面積的78.5%。提示：在幾何

32、面積里，它有幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)，如果你掌握了，萬(wàn)事就ok 了!29.立體圖形（必考知識(shí)點(diǎn)命題熱點(diǎn)）名稱(chēng)圖形特征表面積體積長(zhǎng)方體8個(gè)頂點(diǎn)；6個(gè)面；相對(duì)的面相等；12條棱；相對(duì)的棱相等；S=2(ab+ah+bh)V=abh=Sh正方體8個(gè)頂點(diǎn)；6個(gè)面；所有面相等；12條棱；所有棱相等；S=6a2V=a3圓柱體上下兩底是平行且相等的圓； 側(cè)面展開(kāi)后是長(zhǎng)方形；S=S側(cè)+2S底S 側(cè)=ChV=Sh圓錐體下底是圓；只有一個(gè)頂點(diǎn)；1:母線(xiàn)，頂點(diǎn)到 底圓周上任意一點(diǎn)的距離；S=S側(cè)+S底S 側(cè)=1.V=1/3Sh球體圓心到圓周上任意一點(diǎn)的距離是球的半徑。2S=4.r3V=3/4.r30.時(shí)鐘問(wèn)題一快慢表問(wèn)題（必考知識(shí)

33、點(diǎn)，小學(xué)各種競(jìng)賽中的命題熱點(diǎn)）基本思路：1、2、按照行程問(wèn)題中的思維方法解題； 不同的表當(dāng)成速度不同的運(yùn)動(dòng)物體;3、 路程的單位是分格（表一周為 60分格）；4、時(shí)間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過(guò)的時(shí)間；5、合理利用行程問(wèn)題中的比例關(guān)系；31、時(shí)鐘問(wèn)題一鐘面追及（必考知識(shí)點(diǎn)，小學(xué)各種競(jìng)賽中的命題熱點(diǎn)）基本思路：封閉曲線(xiàn)上的追及問(wèn)題。關(guān)鍵問(wèn)題：確定分針與時(shí)針的初始位置；確定分針與時(shí)針的路程差；基本方法：分格方法：時(shí)鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱(chēng)為 1分格。分針每小時(shí)走 60分格，即一周；而時(shí)針只走5分格，故分針母分鐘走 1分格，時(shí)針母分鐘走 1/12分格。度數(shù)方法：從角度觀點(diǎn)看，鐘面圓周一周是36

34、0，分針每分鐘轉(zhuǎn)度，即 6，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)度，即0.5度。32、濃度與配比（必考知識(shí)點(diǎn)，命題熱點(diǎn)）溶質(zhì)：溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質(zhì)。溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)（例如水、汽油等）叫溶劑。溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液。基本公式：溶液重量 =溶質(zhì)重量+溶劑重量；/溶質(zhì)重量=溶液重量X濃度；/濃度=X 100%= X 100%理論部分小練習(xí)：試推出溶質(zhì)、溶液、溶劑三者的其它公式。經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：在配比的過(guò)程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。33、經(jīng)濟(jì)問(wèn)題（必考知識(shí)點(diǎn)，命題熱點(diǎn)）利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù) =（賣(mài)價(jià)-成本）-成本X100

35、%賣(mài)價(jià)=成本X （1+利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)）/成本=賣(mài)價(jià)* （1+利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)）；商品的定價(jià)按照期望的利潤(rùn)來(lái)確定；定價(jià)=成本X （ 1+期望利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)）；本金：儲(chǔ)蓄的金額；利率：利息和本金的比；利息=本金X利率X期數(shù)；含稅價(jià)格=不含稅價(jià)格X （ 1+增值稅稅率）；34、簡(jiǎn)單方程 代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)（加減乘除）連接起來(lái)的字母或者數(shù)字。方程：含有未知數(shù)的等式叫方程。列方程：把兩個(gè)或幾個(gè)相等的代數(shù)式用等號(hào)連起來(lái)。列方程關(guān)鍵問(wèn)題：用兩個(gè)以上的不同代數(shù)式表示同一個(gè)數(shù)。等式性質(zhì)：等式兩邊同時(shí)加上或減去一個(gè)數(shù) ，等式不變；等式兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)數(shù) （除0）,等式不變。移項(xiàng)：把數(shù)或式子改變符號(hào)后從方程等號(hào)的一邊

36、移到另一邊;移項(xiàng)規(guī)則：先移加減，后變乘除；先去大括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去小括號(hào)。加去括號(hào)規(guī)則： 在只有加減運(yùn)算的算式里，如果括號(hào)前面是“+”號(hào)，則添、去括號(hào)，括號(hào)里面的運(yùn)算符號(hào)都不變；如果括號(hào)前面是“”號(hào)，添、去括號(hào)，括號(hào)里面的運(yùn)算符號(hào)都要改變； 括號(hào)里面的數(shù)前沒(méi)有 “+”或“”的，都按有“+”處理移項(xiàng)關(guān)鍵問(wèn)題：運(yùn)用等式的性質(zhì)，移項(xiàng)規(guī)則，加、去括號(hào)規(guī)則。乘法分配率：a(b+c)=ab+ac解方程步驟：去分母；去括號(hào)；移項(xiàng)；合并同類(lèi)項(xiàng)；求解；方程組：幾個(gè)二元一次方程組成的一組方程。解方程組的步驟：消元；按一元一次方程步驟消元的方法：加減消元；代入消元。35、不定方程一次不定方程：含有兩個(gè)未知數(shù)的一個(gè)方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；常規(guī)方法：觀察法、試驗(yàn)法、枚舉法；多元不定方程：含有三個(gè)未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；多元不定方程解法：根據(jù)已知條件確定一個(gè)未知數(shù)的值，或者消去一個(gè)未知數(shù)，這樣就把三元一次方程變 成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；涉及知識(shí)點(diǎn)：列方程、數(shù)的整除、大小比較；解不定方程的步驟：1、列方程；