奧數(shù)知識手冊

1、小學(xué)奧數(shù)知識手冊1和差倍問題和差問題和倍問題差倍問題已知條件幾個數(shù)的和與差幾個數(shù)的和與倍數(shù)幾個數(shù)的差與倍數(shù)適用范圍已知兩個數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系公式 （和一差）十2=較小數(shù)較小數(shù)+差=較大數(shù) 和-較小數(shù)=較大數(shù) （和+差）十2=較大數(shù)較大數(shù)-差=較小數(shù) 和-較大數(shù)=較小數(shù)和+ （倍數(shù)+ 1）=小數(shù) 小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù) 和-小數(shù)=大數(shù)差+ （倍數(shù)-1）=小數(shù) 小數(shù)X倍數(shù)=大數(shù) 小數(shù)+差-大數(shù)關(guān)鍵問題求出同一條件下的和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)2.年齡問題的三個基本特征：（必考知識點命題熱點） 兩個人的年齡差是不變的； 兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的; 兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；3. 歸一問題的

2、基本特點：問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”等詞語來表示。關(guān)鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；4植樹問題（必考知識點 命題熱點）基本類型在直線或者不封閉的曲 線上植樹，兩端都植樹在直線或者不封閉的曲 線上植樹，兩端都不植樹在直線或者不封閉的曲線上植 樹，只有一端植樹圭寸閉曲線上植樹基本公式棵數(shù)-段數(shù)+1 棵距X段數(shù)-總長棵數(shù)-段數(shù)1 棵距X段數(shù)-總長棵數(shù)-段數(shù)棵距X段數(shù)-總長關(guān)鍵問題確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系5.雞兔同籠問題基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯的那部分置換出來;基本思路： 假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（

3、甲和乙一樣或者乙和甲一樣）： 假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少； 每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因； 再根據(jù)這兩個差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差?；竟剑喊阉须u假設(shè)成兔子：雞數(shù)= （兔腳數(shù)X總頭數(shù)-總腳數(shù)）+（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)） 把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)=（總腳數(shù)一雞腳數(shù)X總頭數(shù)）十（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。提示：雞兔同籠的公式千萬不要死記硬背，因為它的變形更多！6盈虧問題基本概念：一定量的對象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果， 由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對象分組的組數(shù)或

4、對象的總量.基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個關(guān)系求出參加分 配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對象的總量.基本題型：一次有余數(shù)，另一次不足；基本公式：總份數(shù)=（余數(shù)+不足數(shù)）十兩次每份數(shù)的差 當(dāng)兩次都有余數(shù)；基本公式：總份數(shù)=（較大余數(shù)一較小余數(shù)）十兩次每份數(shù)的差 當(dāng)兩次都不足；基本公式：總份數(shù)=（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）十兩次每份數(shù)的差基本特點：對象總量和總的組數(shù)是不變的。關(guān)鍵問題：確定對象總量和總的組數(shù)。7.牛吃草問題基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總

5、草量?；咎攸c：原草量和新草生長速度是不變的；關(guān)鍵問題：確定兩個不變的量。基本公式：生長量=（較長時間X長時間牛頭數(shù)-較短時間X短時間牛頭數(shù)）十（長時間-短時間）；總草量=較長時間X長時間牛頭數(shù)-較長時間X生長量；&周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律周期現(xiàn)象：事物在運動變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫周期。關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期。閏 年：一年有366天；年份能被4整除；如果年份能被100整除，則年份必須能被 400整除；平 年：一年有365天。年份不能被4整除；如果年份能被100整除，但不能被 400整除；9平均數(shù)基本公式： 平均數(shù)=總數(shù)量十總份數(shù) 總數(shù)量=平均數(shù)X

6、總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量十平均數(shù) 平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)+每一個數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和十總份數(shù)基本算法：求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式進行計算基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)， 求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有差的和； 再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式。10.抽屜原理| （必考知識點 命題熱點）抽屜原則一：如果把（n+1）個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2個物體。例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分解成三個整數(shù)的和，那么就有以下四種情況： 4=4

7、+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1觀察上面四種放物體的方式，我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2個或多于2個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。抽屜原則二：如果把n個物體放在m個抽屜里，其中nm那么必有一個抽屜至少有：k=n/m +1個物體：當(dāng)n不能被m整除時。k=n/m個物體：當(dāng)n能被m整除時。 理解知識點：X表示不超過X的最大整數(shù)。例4.351=4 ； 0.321=0 ； 2.9999=2 ；關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進行運算。11定義新運算（必考知識點）基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號

8、包含有多種基本（混合）運算?；舅悸罚簢?yán)格按照新定義的運算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運算，然后按照基本運算過 程、規(guī)律進行運算。關(guān)鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。注意事項：新的運算不一定符合運算規(guī)律，特別注意運算順序。每個新定義的運算符號只能在本題中使用。12. 數(shù)列求和（必考知識點命題熱點）等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。基本概念：首項：等差數(shù)列的第一個數(shù)，一般用a1表示；項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)，一般用n表示；公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用d表示；數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示.基本思路：等差數(shù)列

9、中涉及五個量：a1 ,a n, d, n,sn,通項公式中涉及四個量，如果己知其中一個，就可求出第四個； 基本公式：求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。通項公式：an = a 1+ （n 1） d;通項=首項+（項數(shù)一 1） x公差；數(shù)列和公式：Sn,= （a 1+ an） x n + 2;數(shù)列和=（首項+末項）x項數(shù)+2;項數(shù)公式：n= （a n+ a 1） +d + 1;項數(shù)=（末項-首項）+公差+ 1;公差公式：d = （an a1） ）+ （n 1）;公差=（末項一首項） + （項數(shù)一1）;關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；西工大李老師提示：推導(dǎo)出來的

10、東西要熟記，可以利 用植樹問題推到！13. 二進制及其應(yīng)用十進制：用09十個數(shù)字表示，逢10進1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的2表示20,百位上的 2 表示 200。所以 234=200+30+4=21 x 10n-2+An-2 x 10n-3 +An-3 x 10n-4+An-4 x 10n-5+A6X 10n-7+A3X 102+AX 101+AX 10 注意：Nf= 1; N=N （其中N是任意自然數(shù)）二進制：用01兩個數(shù)字表示，逢2進1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。（2） = A n X2 +An-1 x2 +A1-2 X2 +An-3 X2 +A1-4 X2 +An-

11、6 X2+A3X2 2+AX2 1+AX2 0注意：An不是0就是1。十進制化成二進制： 根據(jù)二進制滿2進1的特點，用2連續(xù)去除這個數(shù)，直到商為0，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。 先找出不大于該數(shù)的 2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個差的2的n次方，依此方法一直找到差為0，按照二進制展開式特點即可寫出。14加法乘法原理和幾何計數(shù)（必考知識點命題熱點）加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有 m種不同方法，在第二類方法中有mi種不同方法 ，在第n類方法中有 m種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：m+ m2+mn種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法?；咎卣鳎?/p>

12、每一種方法都可完成任務(wù)。乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成n個步驟進行，做第1步有m種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m種方法 不管前面n-1步用哪種方法，第 n步總有m種方法，那么完成這件任務(wù)共有： m xm2 xm n種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的完成步驟?；咎卣鳎好恳徊街荒芡瓿扇蝿?wù)的一部分。直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。直線特點：沒有端點，沒有長度。線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。線段特點：有兩個端點，有長度。射線：把直線的一端無限延長。射線特點：只有一個端點；沒有長度。 數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+ （點數(shù)一 1）; 數(shù)角規(guī)律=

13、1+2+3+ （射線數(shù)一 1）; 數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=長的線段數(shù)x寬的線段數(shù)： 數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù) =1x 1+2x 2+3x 3+行數(shù)x列數(shù)15質(zhì)數(shù)與合數(shù)質(zhì)數(shù)：一個數(shù)除了 1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素數(shù)。合數(shù)：一個數(shù)除了 1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。質(zhì)因數(shù)：如果某個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么這個質(zhì)數(shù)叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)：把一個數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個 合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：N=,其中ai、a2、a3a n都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且 印55a n。求約數(shù)個數(shù)的公

14、式：P=(ri+1) x (r 2+1)x (r 3+1)x x (r n+1)互質(zhì)數(shù)：如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1,這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。16 .約數(shù)與倍數(shù)(命題熱點)約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù) a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。公約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。 最大公約數(shù)的性質(zhì)：1、幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)。2、幾個數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個數(shù)的約數(shù)。3、幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。4、幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù) m所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以例如：12 的約數(shù)有 1、

15、2、3、4、6、12;18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18;那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6;那么12和18最大的公約數(shù)是：6,記作(12, 18) =6;求最大公約數(shù)基本方法：1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。 公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。12的倍數(shù)有：12、24、36、48;18的倍數(shù)有：18、36、54、72;那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108;那么12和18最小

16、的公倍數(shù)是36,記作12 , 18=36;最小公倍數(shù)的性質(zhì)：1、兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。2、兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法17.數(shù)的整除、基本概念和符號：1、整除：如果一個整數(shù) a，除以一個自然數(shù) b，得到一個整數(shù)商 c,而且沒有余數(shù)，那么叫做 a能被b整除 或b能整除a,記作b|a。2、 常用符號：整除符號“|”，不能整除符號 “”；因為符號，所以的符號“” ;二、整除判斷方法：1. 能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被 2、5整除。2. 能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、

17、25整除。3. 能被& 125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被& 125整除。4. 能被3、9整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。5. 能被7整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。6. 能被11整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。 奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。 逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。7. 能被13整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被1

18、3整除。三、整除的性質(zhì)：1. 如果a、b能被c整除，那么(a+b)與(a-b )也能被c整除。2. 如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。18 余數(shù)及其應(yīng)用基本概念：對任意自然數(shù)a、b、q、r，如果使得a* b=qr，且0rb,那么r叫做a除以b的余數(shù)，q叫做a除以b的不完全商。余數(shù)的性質(zhì)：余數(shù)小于除數(shù)。 若a、b除以c的余數(shù)相同，則 c|a-b或c|b-a 。 a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。 a與b的積除以c

19、的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。19 余數(shù)、同余與周期一、同余的定義： 若兩個整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱 a、b對于模m同余。 已知三個整數(shù) a、b、m,如果 m|a-b，就稱a、b對于模 m同余，記作 a=b(mod m),讀作a同余于b模 m二、同余的性質(zhì)： 自身性：a= a(mod m)； 對稱性：若 a= b(mod m)，貝U b= a(mod m)； 傳遞性：若 a= b(mod m) , b= c(mod m)，貝U a= c(mod m); 和差性：若 a= b(mod m) , c= d(mod m)，貝U a+c= b+d(mod m) ,

20、a- c=b -d(mod m); 相乘性：若 a= b(mod m) , c=d(mod m)，貝U ax c= b x d(mod m)； 乘方性：若 a= b(mod m)，貝U an=bn(mod m); 同倍性：若 a= b(mod m)，整數(shù) c,貝U axc= b xc(mod mxc);三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識：若 A=axb，則 M=Mxb= (M) b若 B=c+d 則 M=M+d=MxMd四、被3、9、11除后的余數(shù)特征： 一個自然數(shù) M n表示M的各個數(shù)位上數(shù)字的和，則n(mod 9)或(mod 3); 一個自然數(shù) MX表示M的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個偶數(shù)數(shù)位

21、上數(shù)字的和， 則MY-X或M= 11-(X-Y) (mod 11);五、費爾馬小定理：如果 p是質(zhì)數(shù)(素數(shù))，a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1 = 1(mod p)。 20 分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用(必考知識點，小升初應(yīng)用題命題中的五大命題專題之一)基本概念與性質(zhì)：分?jǐn)?shù)：把單位 “ 1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)(0除外)，分?jǐn)?shù)的大小不變。分?jǐn)?shù)單位：把單位 “1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。百分?jǐn)?shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)。常用方法： 逆向思維方法：從題目提供條件的反方向(或結(jié)果)進行思考。 對應(yīng)思維方法：找出題目中

22、具體的量與它所占的率的直接對應(yīng)關(guān)系。 轉(zhuǎn)化思維方法： 把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。 假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計算出相 應(yīng)的結(jié)果，然后再進行調(diào)整，求出最后結(jié)果。 量不變思維方法：在變化的各個量當(dāng)中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之

23、間的差量不變化。 替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。 同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進行處理。 濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。21.分?jǐn)?shù)大小的比較 （必考知識點，小學(xué)各種競賽中的命題熱點） 基本方法： 通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。 通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。 基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進行比較。 分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。 倍率比較法：當(dāng)比較兩個分子或分母同時變化時分?jǐn)?shù)的大

24、小，除了運用以上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（具體運用見同倍率變化規(guī)律） 轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進行比較。 倍數(shù)比較法：用一個數(shù)除以另一個數(shù)，結(jié)果得數(shù)和1進行比較。 大小比較法：用一個分?jǐn)?shù)減去另一個分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。 倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。 基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一個基準(zhǔn)數(shù)，每一個數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。22分?jǐn)?shù)拆分將一亍分?jǐn)?shù)單位分解成兩個分?jǐn)?shù)之和的公式： 1 押：刑（聞+ 1） + w + ;1 扌 1 沖二刃（“ + /）*艸+丘（媯自然數(shù):23. 完全平方數(shù) 完全平方數(shù)特征：1. 末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9

25、;反之不成立。2. 除以3余0或余1;反之不成立。3. 除以4余0或余1;反之不成立。4. 約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)；反之成立。5. 奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。6. 奇數(shù)平方個位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個位數(shù)字是偶數(shù)。7. 兩個相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。平方差公式：X2-Y2= （X-Y）（ X+Y）完全平方和公式：（X+Y 2=x+2XY+Y完全平方差公式：（X-Y） 2=X-2XY+Y224. 比和比例（必考知識點 命題熱點）比：兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比。比號前面的數(shù)叫比的前項，比號后面的數(shù)叫比的后項。比值：比的前項除以后項的商，叫做比值。比的性質(zhì)：比的前項和后項同時乘以或除以相

26、同的數(shù)（零除外），比值不變。比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或比例的性質(zhì)：兩個外項積等于兩個內(nèi)項積（交叉相乘），ad=bc。正比例：若 A擴大或縮小幾倍，B也擴大或縮小幾倍（AB的商不變時），則 A與B成正比。 反比例：若 A擴大或縮小幾倍，B也縮小或擴大幾倍（AB的積不變時），則 A與B成反比。 比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。按比例分配：把幾個數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。25. 綜合行程（即時小學(xué)數(shù)學(xué)的難點，又是小學(xué)數(shù)學(xué)的重點，同時又是命題熱點）基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關(guān)系 基本公式：路程=速度x時間；

27、路程 十時間=速度；路程十速度=時間關(guān)鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。相遇問題：速度和 X相遇時間=相遇路程（請寫出其他公式）追及問題：追及時間=路程差十速度差（寫出其他公式）流水問題：順?biāo)谐?=（船速+水速）X順?biāo)畷r間逆水行程=（船速-水速）X逆水時間順?biāo)俣?船速+水速逆水速度=船速-水速靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）+2水 速=（順?biāo)俣?逆水速度）+2流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。 主要方法：畫線段圖法。行程問題六大解題方法：（1）公式法（2）圖解法（3）比例法（4）分段法（5）方程法（6）列表法 基本題

28、型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時間（相遇時間、追及時間）、速度（速度和、速度差）中 任意兩個量，求第三個量。行程問題十三大類型：1. 簡單相遇追及問題2. 多人相遇追及問題（一般為三人，把三人行程轉(zhuǎn)化為二人行程來解決。）3. 多次相遇追及問題（往返行程問題）4. 變速變道問題5. 火車過橋問題（過橋問題，錯車問題）6. 流水行船問題（自動扶梯問題）7間隔發(fā)車問題8. 接送問題9. 時鐘問題10. 調(diào)頭爬行問題11. 環(huán)形跑道問題12. 跑跑停停問題13. 獵狗追兔問題26. 工程問題基本公式：工作總量=工作效率x工作時間工作效率=工作總量+工作時間工作時間=工作總量+工作效率 基本思路：

29、假設(shè)工作總量為“1” （和總工作量無關(guān)）；假設(shè)一個方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數(shù)），利用上述三個基本關(guān)系， 可以簡單地表示岀工作效率及工作時間.關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應(yīng)關(guān)系。經(jīng)驗簡評：合久必分，分久必合。27 邏輯推理基本方法簡介：條件分析一假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設(shè)a是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾， 那么a一定是奇數(shù)。 條件分析一列表法：當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時，就需要進行列表來輔助分析。列

30、表法就是把題設(shè)的 條件全部表示在一個長方形表格中 ，表格的行 列分別表示不同的對象與情況， 觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運用邏輯規(guī)律進行判斷。 條件分析 圖表法：當(dāng)兩個對象之間只有兩種關(guān)系時 ，就可用連線表示兩個對象之間的關(guān)系 ，有連線則表示“是，有 等肯定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定的狀態(tài).例如A和B兩人之間有認(rèn)識或不認(rèn)識兩種狀態(tài)， 有連線表示認(rèn)識，沒有表示不認(rèn)識。 邏輯計算：在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外，還要進行相應(yīng)的計算，根據(jù)計算的結(jié)果為推理提供一個新的 判斷篩選條件。 簡單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推岀相關(guān)的關(guān)

31、系式，從而得到問題的解決。28.幾何面積（必考知識點命題熱點）基本思路：在一些面積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進行割補，平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、 重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進行計算；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。常用方法：1.連輔助線方法2. 利用等底等高的兩個三角形面積相等。3. 大膽假設(shè)（有些點的設(shè)置題目中說的是任意點，解題時可把任意點設(shè)置在特殊位置上）。4. 利用特殊規(guī)律等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積.（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積）梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。圓的面積占外接正方形面積的78.5%。提示：在幾何

32、面積里，它有幾個知識點，如果你掌握了，萬事就ok 了!29.立體圖形（必考知識點命題熱點）名稱圖形特征表面積體積長方體8個頂點；6個面；相對的面相等；12條棱；相對的棱相等；S=2(ab+ah+bh)V=abh=Sh正方體8個頂點；6個面；所有面相等；12條棱；所有棱相等；S=6a2V=a3圓柱體上下兩底是平行且相等的圓； 側(cè)面展開后是長方形；S=S側(cè)+2S底S 側(cè)=ChV=Sh圓錐體下底是圓；只有一個頂點；1:母線，頂點到 底圓周上任意一點的距離；S=S側(cè)+S底S 側(cè)=1.V=1/3Sh球體圓心到圓周上任意一點的距離是球的半徑。2S=4.r3V=3/4.r30.時鐘問題一快慢表問題（必考知識

33、點，小學(xué)各種競賽中的命題熱點）基本思路：1、2、按照行程問題中的思維方法解題； 不同的表當(dāng)成速度不同的運動物體;3、 路程的單位是分格（表一周為 60分格）；4、時間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過的時間；5、合理利用行程問題中的比例關(guān)系；31、時鐘問題一鐘面追及（必考知識點，小學(xué)各種競賽中的命題熱點）基本思路：封閉曲線上的追及問題。關(guān)鍵問題：確定分針與時針的初始位置；確定分針與時針的路程差；基本方法：分格方法：時鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為 1分格。分針每小時走 60分格，即一周；而時針只走5分格，故分針母分鐘走 1分格，時針母分鐘走 1/12分格。度數(shù)方法：從角度觀點看，鐘面圓周一周是36

34、0，分針每分鐘轉(zhuǎn)度，即 6，時針每分鐘轉(zhuǎn)度，即0.5度。32、濃度與配比（必考知識點，命題熱點）溶質(zhì)：溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質(zhì)。溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)（例如水、汽油等）叫溶劑。溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液?；竟剑喝芤褐亓?=溶質(zhì)重量+溶劑重量；/溶質(zhì)重量=溶液重量X濃度；/濃度=X 100%= X 100%理論部分小練習(xí)：試推出溶質(zhì)、溶液、溶劑三者的其它公式。經(jīng)驗總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關(guān)系，進行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。33、經(jīng)濟問題（必考知識點，命題熱點）利潤的百分?jǐn)?shù) =（賣價-成本）-成本X100

35、%賣價=成本X （1+利潤的百分?jǐn)?shù)）/成本=賣價* （1+利潤的百分?jǐn)?shù)）；商品的定價按照期望的利潤來確定；定價=成本X （ 1+期望利潤的百分?jǐn)?shù)）；本金：儲蓄的金額；利率：利息和本金的比；利息=本金X利率X期數(shù)；含稅價格=不含稅價格X （ 1+增值稅稅率）；34、簡單方程 代數(shù)式：用運算符號（加減乘除）連接起來的字母或者數(shù)字。方程：含有未知數(shù)的等式叫方程。列方程：把兩個或幾個相等的代數(shù)式用等號連起來。列方程關(guān)鍵問題：用兩個以上的不同代數(shù)式表示同一個數(shù)。等式性質(zhì)：等式兩邊同時加上或減去一個數(shù) ，等式不變；等式兩邊同時乘以或除以一個數(shù) （除0）,等式不變。移項：把數(shù)或式子改變符號后從方程等號的一邊

36、移到另一邊;移項規(guī)則：先移加減，后變乘除；先去大括號，再去中括號，最后去小括號。加去括號規(guī)則： 在只有加減運算的算式里，如果括號前面是“+”號，則添、去括號，括號里面的運算符號都不變；如果括號前面是“”號，添、去括號，括號里面的運算符號都要改變； 括號里面的數(shù)前沒有 “+”或“”的，都按有“+”處理移項關(guān)鍵問題：運用等式的性質(zhì)，移項規(guī)則，加、去括號規(guī)則。乘法分配率：a(b+c)=ab+ac解方程步驟：去分母；去括號；移項；合并同類項；求解；方程組：幾個二元一次方程組成的一組方程。解方程組的步驟：消元；按一元一次方程步驟消元的方法：加減消元；代入消元。35、不定方程一次不定方程：含有兩個未知數(shù)的一個方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；常規(guī)方法：觀察法、試驗法、枚舉法；多元不定方程：含有三個未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；多元不定方程解法：根據(jù)已知條件確定一個未知數(shù)的值，或者消去一個未知數(shù)，這樣就把三元一次方程變 成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；涉及知識點：列方程、數(shù)的整除、大小比較；解不定方程的步驟：1、列方程；