2020新教材高中數(shù)學(xué) 第十一章 立體幾何初步 11.1.5 旋轉(zhuǎn)體課件 新人教B版必修第四冊

1、-1- 11.1.5旋轉(zhuǎn)體 課前篇自主預(yù)習(xí) 一、圓柱、圓錐、圓臺 1.思考 (1)圓柱、圓錐和圓臺這三類幾何體能通過平面圖形形成嗎? 提示:能,這三類幾何體都是旋轉(zhuǎn)體,可以分別通過矩形,直角三角形, 直角梯形繞一特定軸旋轉(zhuǎn)形成. 課前篇自主預(yù)習(xí) (2)將圓柱、圓錐和圓臺的側(cè)面沿它們的一條母線剪開,在平面上展 開得到它們的側(cè)面展開圖分別是什么圖形?請畫出來. 提示:將圓柱、圓錐和圓臺的側(cè)面沿它們的一條母線剪開,然后在 平面上展開,側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形和扇環(huán),如圖所示. 課前篇自主預(yù)習(xí) 2.填空 (1)圓柱、圓錐、圓臺: 圓柱可看成以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將矩形旋轉(zhuǎn)一周而 形成的曲面所

2、圍成的幾何體; 圓錐可看成以直角三角形一直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將直角三 角形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體; 圓臺可看成以直角梯形垂直于底邊的腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,將直 角梯形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體. 用類似上述圓柱、圓錐、圓臺的形成方式構(gòu)成的幾何體都是旋 轉(zhuǎn)體,其中,旋轉(zhuǎn)軸稱為旋轉(zhuǎn)體的軸,在軸上的邊(或它的長度)稱為旋 轉(zhuǎn)體的高,垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面稱為旋轉(zhuǎn)體的底面,不垂 直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面.而且,無論旋轉(zhuǎn)到 什么位置,不垂直于軸的邊都稱為母線. 課前篇自主預(yù)習(xí) 在旋轉(zhuǎn)體中,通過軸的平面所得到的截面通常簡稱為軸截面.由 圓柱、圓錐、圓臺的形成方式可

3、以看出,三者的軸截面分別是矩形、 等腰三角形、等腰梯形. 顯然,圓臺可以看成平行于圓錐底面的平面截圓錐所得到的幾何 體. 旋轉(zhuǎn)體側(cè)面的面積稱為旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積,側(cè)面積與底面積之和稱 為旋轉(zhuǎn)體的表面積(或全面積). 課前篇自主預(yù)習(xí) (2)圓柱、圓錐、圓臺的相關(guān)特征: 課前篇自主預(yù)習(xí) 課前篇自主預(yù)習(xí) (3)幾種幾何體的表面積公式 課前篇自主預(yù)習(xí) 3.做一做 (1)判斷正誤. 圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面. ( ) 用平面去截圓錐,會得到一個圓錐和一個圓臺.() 答案:(1) (2)圓臺的上、下底面半徑分別為3和4,母線長為6,則其表面積等于 () A.72 B.42C.67 D.72 解析:S表=

4、(32+42+36+46)=67. 答案:C 課前篇自主預(yù)習(xí) (3)下列圖形中是圓柱的序號為. 解析:由圓柱的幾何特征知為圓柱. 答案: 課前篇自主預(yù)習(xí) (4)如圖所示,已知圓錐SO的母線長為5,底面直徑為8,則圓錐SO的高 h=. 答案:3 課前篇自主預(yù)習(xí) 二、球 1.思考 (1)平時我們大家在體育課上玩的籃球與本節(jié)將要研究的球的概念 一致嗎? 提示:不一致.因為籃球內(nèi)部是空的,球是幾何體(內(nèi)部不是空的).球 體的表面稱之為球面.若籃球皮厚度不計,籃球不是球體,但比較接 近球面的定義. (2)實際生活中,飛機(jī)、輪船為什么盡可能以大圓弧為航線航行? 提示:因為球面上兩點間的最短距離是球面距離,

5、這樣走可使行程 最短. 課前篇自主預(yù)習(xí) 2.填空 (1)球的相關(guān)概念 球面可以看成一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形 成的曲面;球面圍成的幾何體,稱為球.球也是一個旋轉(zhuǎn)體. 形成球面的半圓的圓心稱為球的球心,連接球面上一點和球心的 線段稱為球的半徑,連接球面上兩點且通過球心的線段稱為球的直 徑. 由球面的形成過程可看出,球面可以看成空間中到一個定點的距 離等于定長的點的集合. 球的截面是一個圓面(圓及其內(nèi)部). 球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓稱為球的大圓,被不經(jīng)過球心的 平面截得的圓稱為球的小圓. (2)球的表面積 設(shè)球的半徑為R,則球的表面積S=4R2,即球的表面積等于它的大 圓面積的

6、4倍. 課前篇自主預(yù)習(xí) 3.做一做 (1)球的任意兩條直徑不具有的性質(zhì)是() A.相交 B.互相平分 C.互相垂直D.都經(jīng)過球心 解析:球的任意兩條直徑相交、互相平分、都經(jīng)過球心,不一定互 相垂直.故選C. 答案:C 課前篇自主預(yù)習(xí) (2)有下列說法: 球的半徑是連接球面上任意一點與球心的線段; 球的直徑是連接球面上任意兩點的線段; 用一個平面截一個球,得到的是一個圓. 其中說法正確的序號是. 解析:利用球的結(jié)構(gòu)特征判斷:正確;不正確,因為直徑必過球 心;不正確,因為得到的是一個圓面. 答案: 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三探究四探究五當(dāng)堂檢測 旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 例1判斷下

7、列各命題是否正確. 一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周,所形成的曲面圍成的幾何 體是圓臺; 圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面,圓錐的軸截面是等腰三角形, 圓臺的軸截面是等腰梯形; 空間中到定點的距離等于定長的點的集合是球. 解:錯誤.直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是 由一個圓柱與一個圓錐組成的簡單組合體,如圖所示. 正確. 錯誤.應(yīng)為球面. 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三探究四探究五當(dāng)堂檢測 變式訓(xùn)練1給出下列說法:圓柱的底面是圓面;經(jīng)過圓柱任意兩 條母線的截面是一個矩形面;圓臺的任意兩條母線的延長線可能 相交,也可能不相交;夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個 旋轉(zhuǎn)體.其中正確

8、的是. 解析:正確;正確; 不正確,圓臺的母線延長相交于一點; 不正確,夾在圓柱兩個平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體, 其他的兩截面間的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體. 答案: 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三探究四探究五當(dāng)堂檢測 旋轉(zhuǎn)體中的基本計算旋轉(zhuǎn)體中的基本計算 例2如圖所示,用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐,截得圓 臺上、下底面的面積之比為116,截去的圓錐的母線長是3, (1)求圓臺OO的母線長; (2)若圓臺上底面的半徑為1,求它的表面積. 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三探究四探究五當(dāng)堂檢測 解:設(shè)圓臺的母線長為l,由截得圓臺上、下底面面積之比為116, 可設(shè)截得圓臺的上、下底

9、面的半徑分別為r、4r.過軸SO作截面,如 圖所示. 即圓臺的母線長為9. (2)若圓臺上底面的半徑為1, 則下底面的半徑為4, 故它的表面積為S=(12+42+19+49)=62. 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三探究四探究五當(dāng)堂檢測 變式訓(xùn)練2一個圓臺的母線長為12 cm,兩底面面積分別為4 cm2和 25 cm2.求: (1)圓臺的高; (2)截得此圓臺的圓錐的母線長. 解:(1)如圖,將圓臺恢復(fù)成圓錐后作其軸截面, 設(shè)圓臺的高為h cm,由條件可得圓臺上底半徑r=2 cm,下底半徑r=5 cm. 由勾股定理得 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三探究四探究五當(dāng)堂檢測 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積或表

10、面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積或表面積 例3(1)若一個圓錐的軸截面是等邊三角形,其面積為 ,則這個圓 錐的側(cè)面積是() 答案:A 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三探究四探究五當(dāng)堂檢測 (2)圓柱的底面面積是S,側(cè)面展開圖是正方形,那么該圓柱的側(cè)面積 為() 解析:設(shè)底面圓的半徑為r,母線為l,由已知得S=r2, 又l=2r,側(cè)面積S=2rl=42r2=4S.故選A. 答案:A 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三探究四探究五當(dāng)堂檢測 (3)圓臺的上、下底面半徑分別是10 cm和20 cm,它的側(cè)面展開圖扇 環(huán)的圓心角是180,那么圓臺的表面積是多少?(結(jié)果中保留) 解:如圖,設(shè)圓臺的上底面周長為c, 因

11、為扇環(huán)的圓心角180,所以c=SA. 又c=210=20,所以SA=20 cm. 同理SB=40 cm,所以AB=SB-SA=20(cm). S表面積=S側(cè)+S上底+S下底 =(O1A+OB)AB+O1A2+OB2 =(10+20)20+102+202 =1 100(cm2) 所以圓臺的表面積是1 100 cm2. 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三探究四探究五當(dāng)堂檢測 變式訓(xùn)練3(1)圓錐的母線長為5,底面半徑為3,則其側(cè)面積等于( ) A.15 B.15C.24 D.30 解析:S側(cè)=rl=35=15.故選B. 答案:B 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三探究四探究五當(dāng)堂檢測 (2)圓柱的

12、側(cè)面展開圖是鄰邊長分別為6和4的矩形,則圓柱的表面 積為() A.6(4+3) B.8(3+1) C.6(4+3)或8(3+1) D.6(4+1)或8(3+2) 解析:圓柱的側(cè)面積S側(cè)=64=242.由于圓柱的底面周長和母線 長不明確,因此進(jìn)行分類討論:長為6的邊為母線時,4為圓柱的 底面周長,則2r=4,即r=2,S底=4,S表=S側(cè)+2S底 =242+8=8(3+1);長為4的邊為母線時,6為圓柱的底面周長, 則2r=6,即r=3.S底=9,S表=S側(cè)+2S底=242+18=6(4+3).故 選C. 答案:C 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三探究四探究五當(dāng)堂檢測 (3)如圖所示,圓臺的上

13、、下底半徑和高的比為144,母線長為10, 則圓臺的側(cè)面積為() A.81B.100 C.14D.169 解析:圓臺的軸截面如圖, 設(shè)上底半徑為r,則下底半徑為4r,高為4r. 因為母線長為10,所以在軸截面等腰梯形中, 有102=(4r)2+(4r-r)2.解得r=2. 所以S圓臺側(cè)=(r+4r)10=100.故選B. 答案:B 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三探究四探究五當(dāng)堂檢測 旋轉(zhuǎn)體的截面與側(cè)面展開旋轉(zhuǎn)體的截面與側(cè)面展開 例4已知一個圓臺的上、下底面半徑分別是1 cm,2 cm,截得圓臺的 圓錐的母線長為12 cm,求圓臺的母線長. 解:如圖是圓臺的軸截面, 由題意知AO=2 cm,

14、AO=1 cm, SA=12 cm. 所以AA=SA-SA=12-6=6(cm). 所以圓臺的母線長為6 cm. 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三探究四探究五當(dāng)堂檢測 延伸探究本例條件不變,若將此圓臺沿一條母線展開,得到一個扇 環(huán)(如圖). (1)求扇環(huán)的圓心角; (2)求扇環(huán)的面積. 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三探究四探究五當(dāng)堂檢測 變式訓(xùn)練4圓臺上底面面積為,下底面面積為16,用一個平行于底 面的平面去截圓臺,該平面自上而下分圓臺的高的比為21,求這 個截面的面積. 解:圓臺的軸截面如圖所示, O1,O2,O3分別為上底面、下底面、截面圓心,過D作DFAB于點F, 交GH于點E.

15、由題意知DO1=1,AO2=4,所以AF=3. 所以GE=2. 所以圓O3的半徑為3,所以這個截面的面積為9. 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三探究四探究五當(dāng)堂檢測 球中的計算問題球中的計算問題 例5(1)已知A,B,C是球O上的三點,AB=10,AC=6,BC=8,球O的半徑等 于13,則球心O到ABC所在小圓的距離為. 解析:因為AB=10,AC=6,BC=8, 所以ABC為直角三角形且AB為點A,B,C所在小圓的直徑. 所以r=5. 軸截面圖如圖,所以d2=R2-r2=132-52=122. 所以球心O到ABC所在小圓的距離為12. 答案:12 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三探究四

16、探究五當(dāng)堂檢測 答案:D 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三探究四探究五當(dāng)堂檢測 反思感悟解決有關(guān)球的問題時常用到的性質(zhì) (1)用任意平面截球所得的截面是一個圓面,球心和截面圓圓心的連 線與這個截面垂直. (2)若分別用R和r表示球的半徑和截面圓的半徑,用d表示球心到截 面的距離,則R2=r2+d2.球的有關(guān)計算問題,常歸結(jié)為解這個直角三 角形問題. 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三探究四探究五當(dāng)堂檢測 答案:9 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三探究四探究五當(dāng)堂檢測 (2)用一個平面截半徑為5 cm的球,球心到截面的距離為4 cm,求截 面圓的面積. 解:如圖所示,設(shè)AK為截面圓的半徑,O

17、為球心,則OKAK. 在RtOAK中,OA=5 cm,OK=4 cm, 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三探究四探究五當(dāng)堂檢測 1.圓錐的母線有() A.1條B.2條 C.3條D.無數(shù)條 解析:圓錐的母線在側(cè)面上,有無數(shù)條. 答案:D 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三探究四探究五當(dāng)堂檢測 2.(多選題)下列幾何體不是臺體的是() 解析:臺體包括棱臺和圓臺兩種,A的錯誤在于四條側(cè)棱延長后沒有 交于一點.B的錯誤在于截面與圓錐底面不平行.C是棱錐.結(jié)合棱臺 和圓臺的定義可知D是臺體. 答案:ABC 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三探究四探究五當(dāng)堂檢測 3.圓柱OO的底面直徑為4,母線長為6,則該圓柱的側(cè)面積為 ,表面積為. 解析:由已知得圓柱OO的底面半徑為2,則其側(cè)面積S側(cè) =2rl=226=24,表面積S表=2r(r+l)=22(2+6)=32. 答案:2432 課堂篇探究學(xué)習(xí) 探究一探究二探究三探究四探究五當(dāng)堂檢測 4.