（天津?qū)Ｓ茫?020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù) 4.4 解三角形課件

1、考點(diǎn)用正、余弦定理解三角形考點(diǎn)用正、余弦定理解三角形 A A組自主命題組自主命題天津卷題組天津卷題組 五年高考 1.(2016天津理,3,5分)在ABC中,若AB=,BC=3,C=120,則AC=() A.1B.2C.3D.4 13 答案答案A在ABC中,設(shè)A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則由c2=a2+b2-2abcosC,得13=9+b2-2 3b,即b2+3b-4=0,解得b=1(負(fù)值舍去),即AC=1.故選A. 1 2 2.(2014天津理,12,5分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知b-c=a,2sinB=3sinC, 則cosA的值為. 1 4 答案答案

2、- 1 4 解析解析由2sinB=3sinC得2b=3c,即b=c,代入b-c=a,整理得a=2c,故cosA= =-. 3 2 1 4 222 2 bca bc 222 9 4 4 3 2 2 ccc c c 1 4 3.(2019天津理,15,13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知b+c=2a,3csinB=4asin C. (1)求cosB的值; (2)求sin的值. 2 6 B 解析解析本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角和的正弦公式,二倍角的正弦與余弦公 式,以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算求解能力.體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算這一核心素養(yǎng) 的重視.滿分

3、13分. (1)在ABC中,由正弦定理=,得bsinC=csinB, 又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,即3b=4a. 又因?yàn)閎+c=2a,得到b=a,c=a. 由余弦定理可得cosB=-. sin b Bsin c C 4 3 2 3 222 2 acb ac 222 416 99 2 2 3 aaa aa 1 4 (2)由(1)可得sinB=, 從而sin2B=2sinBcosB=-,cos2B=cos2B-sin2B=-, 故sin=sin2Bcos+cos2Bsin=-=-. 2 1 cos B 15 4 15 8 7 8 2 6 B 6 6 15 8 3

4、2 7 8 1 2 3 57 16 思路分析思路分析(1)由已知邊角關(guān)系:3csinB=4asinC利用正弦定理,得三邊比例關(guān)系,根據(jù)余弦定理 即可求出cosB. (2)由(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,求出sinB,由二倍角公式求出sin2B、cos2B,代入兩角 和的正弦公式即可求出sin的值. 2 6 B 易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示角B為三角形內(nèi)角,故sinB0,由cosB求sinB僅有一正解. 4.(2017天津文,15,13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac= (a2-b2-c2). (1)求cosA的值; (2)求sin(2B-A)的

5、值. 5 解析解析(1)由asinA=4bsinB,及=,得a=2b. 由ac=(a2-b2-c2), 及余弦定理,得cosA=-. (2)由(1),可得sinA=,代入asinA=4bsinB, 得sinB=. 由(1)知,A為鈍角,所以cosB=. 于是sin2B=2sinBcosB=,cos2B=1-2sin2B=, 故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=-=-. sin a Asin b B 5 222 2 bca bc 5 5 ac ac 5 5 2 5 5 sin 4 aA b 5 5 2 1 sin B 2 5 5 4 5 3 5 4 5 5 5 3 5

6、2 5 5 2 5 5 規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)解有關(guān)三角形問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意: (1)在解有關(guān)三角形的題目時(shí),要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更適合或兩個(gè)定理都要用,要抓住能 夠利用某個(gè)定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理; 如果式子中含有角的正弦或邊的一次式,要考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時(shí),則要考慮到 兩個(gè)定理都有可能用到.(2)解三角形問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用及角的范圍. 5.(2016天津文,15,13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知asin2B=bsinA. (1)求B; (2)若cosA=,求sinC的值. 3 1 3 解析

7、解析(1)在ABC中,由=,可得asinB=bsinA,又由asin2B=bsinA,得2asinBcosB= bsinA=asinB,所以cosB=,得B=. (2)由cosA=,可得sinA=, 則sinC=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin =sinA+cosA=. sin a Asin b B 3 33 3 26 1 3 2 2 3 6 A 3 2 1 2 2 61 6 思路分析思路分析(1)利用正弦定理與二倍角的正弦公式將原式轉(zhuǎn)化為角B的三角函數(shù)式進(jìn)行求解; (2)利用三角形的性質(zhì)及兩角和的正弦公式求sinC的值. 評(píng)析評(píng)析本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦公

8、式、兩角和的正弦公式以 及正弦定理等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算求解能力. 6.(2015天津文,16,13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知ABC的面積為3 ,b-c=2,cosA=-. (1)求a和sinC的值; (2)求cos的值. 15 1 4 2 6 A 解析解析(1)在ABC中,由cosA=-,可得sinA=. 由SABC=bcsinA=3,得bc=24,又由b-c=2, 解得b=6,c=4. 由a2=b2+c2-2bccosA,可得a=8. 由=,得sinC=. (2)cos=cos2Acos-sin2Asin =(2cos2A-1)-2sinAcosA=. 1

9、4 15 4 1 2 15 sin a Asin c C 15 8 2 6 A 6 6 3 2 1 2 157 3 16 B B組統(tǒng)一命題、省組統(tǒng)一命題、省( (區(qū)、市區(qū)、市) )卷題組卷題組 考點(diǎn)用正、余弦定理解三角形考點(diǎn)用正、余弦定理解三角形 1.(2019課標(biāo)文,11,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知asinA-bsinB=4csinC,cos A=-,則=() A.6B.5C.4D.3 1 4 b c 答案答案A本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用;考查考生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解 能力;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理. 由正弦定理及asinA-bsinB=

10、4csinC得a2-b2=4c2,由余弦定理可得cosA=-.所 以=6.故選A. 222 2 bca bc 2 3 2 c bc 1 4 b c 2.(2018課標(biāo)理,6,5分)在ABC中,cos=,BC=1,AC=5,則AB=() A.4B.C.D.2 2 C5 5 230295 答案答案A本題考查二倍角公式和余弦定理. cos=,cosC=2cos2-1=2-1=-, 又BC=1,AC=5, AB=4.故選A. 2 C5 52 C1 5 3 5 22 2cosBCACBC ACC 3 1252 1 5 5 2 3.(2018課標(biāo)理,9,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.

11、若ABC的面積為, 則C=() A.B. C.D. 222 4 abc 2 3 4 6 答案答案C根據(jù)余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC,因?yàn)镾ABC=,所以SABC=, 又SABC=absinC,所以tanC=1,因?yàn)镃(0,),所以C=.故選C. 222 4 abc2cos 4 abC 1 24 4.(2017課標(biāo)文,11,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)= 0,a=2,c=,則C=() A.B.C.D. 2 12 6 4 3 答案答案B本題考查正弦定理和兩角和的正弦公式. 在ABC中,sinB=sin(A+C),則s

12、inB+sinA(sinC-cosC) =sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0, 即sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0, cosAsinC+sinAsinC=0,sinC0,cosA+sinA=0,即tanA=-1,即A=. 由=得=,sinC=, 又0C,C=,故選B. 3 4 sin a Asin c C 2 2 2 2 sinC 1 2 4 6 方法總結(jié)方法總結(jié)解三角形問(wèn)題首先要熟悉正弦定理、余弦定理;其次還要注意應(yīng)用三角形內(nèi)角和 定理,以達(dá)到求解三角函數(shù)值時(shí)消元的目的,例如本題中sinB=sin(A+C)的應(yīng)用. 5.(2017山

13、東理,9,5分)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若ABC為銳角三角形,且滿足 sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是() A.a=2bB.b=2a C.A=2BD.B=2A 答案答案A本題考查三角公式的運(yùn)用和正弦定理、余弦定理. 解法一:因?yàn)閟inB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC, 所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C), 所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sinB, 即cosC(2sinB-sinA)=0, 所以cosC=0或2sinB=sinA, 即C=9

14、0或2b=a, 又ABC為銳角三角形,所以0Cc2,故2b=a,故選A. 方法總結(jié)方法總結(jié)解三角形時(shí),可以由正弦定理、余弦定理將邊角互化,邊角統(tǒng)一后,化簡(jiǎn)整理即可求 解.注意靈活運(yùn)用三角公式. 6.(2016課標(biāo)理,8,5分)在ABC中,B=,BC邊上的高等于BC,則cosA=() A.B.C.-D.- 4 1 3 3 10 10 10 10 10 10 3 10 10 答案答案C解法一:過(guò)A作ADBC,垂足為D,由題意知AD=BD=BC,則CD=BC,AB=BC, AC=BC,在ABC中,由余弦定理的推論可知,cosBAC= =-,故選C. 1 3 2 3 2 3 5 3 222 2 ABA

15、CBC AB AC 222 25 99 25 2 33 BCBCBC BCBC 10 10 解法二:過(guò)A作ADBC,垂足為D,由題意知AD=BD=BC,則CD=BC,在RtADC中,AC= BC,sinDAC=,cosDAC=,又因?yàn)锽=,所以cosBAC=cos=cosDAC cos-sinDACsin=-=-,故選C. 1 3 2 3 5 3 2 5 5 5 54 4 DAC 4 4 5 5 2 2 2 5 5 2 2 10 10 解法三:過(guò)A作ADBC,垂足為D,由題意知AD=BD=BC,則CD=BC,AB=BC,AC=BC,而 =(+)(+)=+=BC2-BC2=-BC2,所以cos

16、BAC=-,故選C. 解法四:過(guò)A作ADBC,垂足為D,設(shè)BC=3a(a0),結(jié)合題意知AD=BD=a,DC=2a.以D為原點(diǎn),DC, DA所在直線分別為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則B(-a,0),C(2a,0),A(0,a),所以=(-a,-a),= (2a,-a),所以|=a,|=a,所以cosBAC=-,故選C. 1 3 2 3 2 3 5 3 AB AC AD DB AD DC 2 AD AD DC AD DB DB DC 1 9 2 9 1 9 | AB AC ABAC 2 1 9 25 33 BC BCBC 10 10 AB AC AB 2AC 5 | AB AC ABAC 2

17、2 2 25 aa aa 10 10 7.(2019課標(biāo)文,15,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知bsinA+acosB=0,則B= . 答案答案 3 4 解析解析本題考查正弦定理及三角函數(shù)求值,考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算. 在ABC中,由已知及正弦定理得sinBsinA+sinAcosB=0, sinA0,sinB+cosB=0, 即tanB=-1, 又B(0,),B=. 3 4 8.(2019浙江,14,6分)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,點(diǎn)D在線段AC上.若BDC=45,則BD =,cosABD=. 答案答案; 12 2 5 7 2 10 解析解析本

18、題考查了兩角差的余弦公式和正弦定理,通過(guò)解三角形考查了運(yùn)算求解能力,通過(guò)長(zhǎng) 度和角度的計(jì)算體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). 在BDC中,BC=3,sinBCD=,BDC=45, 由正弦定理得=,則BD=, 在ABD中,sinBAD=,cosBAD=,ADB=135, cosABD=cos180-(135+BAD)=cos(45-BAD)=cos45cosBAD+sin45sinBAD= =. 4 5 sin BD BCDsin BC BDC 4 3 5 2 2 12 2 5 3 5 4 5 2 2 43 55 7 2 10 思路分析思路分析在BCD中,由正弦定理求BD的值;cosABD的值可通過(guò)兩角

19、差的余弦公式求解. 解題反思三角恒等變換和正弦定理、余弦定理是解三角形的基礎(chǔ)知識(shí),在熟練掌握的前提 下,應(yīng)比較運(yùn)算量大小,從而選取比較理想的解法. 9.(2018課標(biāo)文,16,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsin C,b2+c2-a2=8,則ABC的面積為. 答案答案 2 3 3 解析解析本題主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用以及三角形面積的求解. 由已知條件及正弦定理可得2sinBsinC=4sinAsinBsinC,易知sinBsinC0,sinA=,又b2+c 2-a2=8,cosA= =,cosA0,cosA=,

20、即=,bc=, ABC的面積S=bcsinA=. 1 2 222 2 bca bc 4 bc 3 2 4 bc 3 2 8 3 3 1 2 1 2 8 3 3 1 2 2 3 3 解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵正確利用正弦定理將“邊”轉(zhuǎn)化為“角”,求出sinA是解決本題的關(guān)鍵. 10.(2017浙江,14,6分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),BD=2,連接CD,則 BDC的面積是,cosBDC=. 答案答案; 15 2 10 4 解析解析本題考查余弦定理,同角三角函數(shù)關(guān)系式,二倍角公式,三角形面積公式,考查運(yùn)算求解 能力. AB=AC=4,BC=2, cosABC=, ABC

21、為三角形的內(nèi)角, sinABC=, sinCBD=,故SCBD=22=. BD=BC=2,ABC=2BDC.又cosABC=, 2cos2BDC-1=,得cos2BDC=, 又BDC為銳角,cosBDC=. 222 2 ABBCAC AB BC 1 4 15 4 15 4 1 2 15 4 15 2 1 4 1 4 5 8 10 4 11.(2016課標(biāo)理,13,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,則b =. 4 5 5 13 答案答案 21 13 解析解析由已知可得sinA=,sinC=,則sinB=sin(A+C)=+=,再由正弦定理可得

22、=b=. 3 5 12 13 3 5 5 13 4 5 12 13 63 65 sin a Asin b B 63 1 65 3 5 21 13 12.(2015北京理,12,5分)在ABC中,a=4,b=5,c=6,則=. sin2 sin A C 答案答案1 解析解析在ABC中,由余弦定理的推論可得cosA=,由正弦定理可知 =1. 222 2 bca bc 222 564 2 5 6 3 4 sin2 sin A C 2sincos sin AA C 2cosaA c 3 24 4 6 評(píng)析評(píng)析本題主要考查正弦定理、余弦定理的推論以及二倍角公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的運(yùn)算求 解能力和知識(shí)的應(yīng)用

23、轉(zhuǎn)化能力. 13.(2019北京文,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cosB=-. (1)求b,c的值; (2)求sin(B+C)的值. 1 2 解析解析本題主要考查余弦定理及其推論的應(yīng)用,旨在考查學(xué)生在解三角形中的運(yùn)算求解能力, 以求三角形邊為背景考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)和方程思想. (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB, 得b2=32+c2-23c. 因?yàn)閎=c+2, 所以(c+2)2=32+c2-23c. 解得c=5. 所以b=7. (2)由cosB=-得sinB=. 由正弦定理得sinA=sinB=. 在ABC中,B+C=-A. 所以sin(B+C)=sinA=

24、. 1 2 1 2 1 2 3 2 a b 3 3 14 3 3 14 14.(2019北京理,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cosB=-. (1)求b,c的值; (2)求sin(B-C)的值. 1 2 解析解析本題主要考查正弦、余弦定理,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,兩角差的正弦公式等知識(shí) 點(diǎn),考查學(xué)生的運(yùn)算能力,以及利用方程思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力,同時(shí)體現(xiàn)了直觀想象的核心 素養(yǎng). (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得 b2=32+c2-23c. 因?yàn)閎=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c. 解得c=5.所以b=7. (2)由cosB=-得sinB=.

25、由正弦定理得sinC=sinB=. 在ABC中,B是鈍角,所以C為銳角. 所以cosC=. 所以sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=. 1 2 1 2 1 2 3 2 c b 5 3 14 2 1 sin C 11 14 4 3 7 15.(2019課標(biāo)理,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.設(shè)(sinB-sinC)2=sin2A-sin BsinC. (1)求A; (2)若a+b=2c,求sinC.2 解析解析本題主要考查學(xué)生對(duì)正弦定理、余弦定理以及三角恒等變換的掌握;考查了學(xué)生的運(yùn) 算求解能力;考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算. (1)由已知得s

26、in2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc. 由余弦定理得cosA=. 因?yàn)?A180,所以A=60. (2)由(1)知B=120-C,由題設(shè)及正弦定理得sinA+sin(120-C)=2sinC, 即+cosC+sinC=2sinC,可得cos(C+60)=-. 由于0C120,所以sin(C+60)=, 故sinC=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos60-cos(C+60)sin60=. 222 2 bca bc 1 2 2 6 2 3 2 1 2 2 2 2 2 62 4 思路分析思路分析(1)先借助正弦定理將角化為邊,然后利

27、用余弦定理求出角A的余弦值,進(jìn)而得出角 A.(2)利用正弦定理將已知等式中的邊化為角,利用三角恒等變換將原式化為含有角C的正 弦、余弦的等式,利用角度變換求出sinC. 16.(2019課標(biāo)理,18,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知asin=bsinA. (1)求B; (2)若ABC為銳角三角形,且c=1,求ABC面積的取值范圍. 2 AC 解析解析本題考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面積公式以及學(xué)生對(duì)三角恒等變換的掌 握情況;考查學(xué)生邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力;考查了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). (1)由題設(shè)及正弦定理得sinAsin=sinBsinA. 因?yàn)閟

28、inA0,所以sin=sinB. 由A+B+C=180,可得sin=cos, 故cos=2sincos. 因?yàn)閏os0,故sin=,因此B=60. (2)由題設(shè)及(1)知ABC的面積SABC=a. 2 AC 2 AC 2 AC 2 B 2 B 2 B 2 B 2 B 2 B1 2 3 4 由正弦定理得a=+. 由于ABC為銳角三角形,故0A90,0C90. 由(1)知A+C=120,所以30C90,故a2, sin sin cA C sin(120) sin C C 3 2tanC 1 2 1 2 從而SABC. 因此,ABC面積的取值范圍是. 3 8 3 2 33 , 82 思路分析思路分析

29、(1)用正弦定理將邊化成角,再利用三角恒等變換求解角B. (2)用正弦定理先表示出邊a,再用面積公式和銳角三角形的性質(zhì)求出角C的范圍,進(jìn)而求出 ABC面積的取值范圍. 17.(2018課標(biāo)理,17,12分)在平面四邊形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5. (1)求cosADB; (2)若DC=2,求BC. 2 解析解析(1)在ABD中,由正弦定理得=. 由題設(shè)知,=,所以sinADB=. 由題設(shè)知,ADB90,所以cosADB=. (2)由題設(shè)及(1)知,cosBDC=sinADB=. 在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252

30、=25. 所以BC=5. sin BD Asin AB ADB 5 sin45 2 sinADB 2 5 2 1 25 23 5 2 5 2 2 5 18.(2017北京理,15,13分)在ABC中,A=60,c=a. (1)求sinC的值; (2)若a=7,求ABC的面積. 3 7 解析解析本題考查正、余弦定理的應(yīng)用,考查三角形的面積公式. (1)在ABC中,因?yàn)锳=60,c=a, 所以由正弦定理得sinC=. (2)因?yàn)閍=7,所以c=7=3. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得72=b2+32-2b3, 解得b=8或b=-5(舍). 所以ABC的面積S=bcsinA=83=6.

31、 3 7 sincA a 3 7 3 2 3 3 14 3 7 1 2 1 2 1 2 3 2 3 解后反思解后反思根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系是解題的關(guān) 鍵.在求解面積時(shí),經(jīng)常用余弦定理求出兩邊乘積. 19.(2017課標(biāo)理,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知ABC的面積為. (1)求sinBsinC; (2)若6cosBcosC=1,a=3,求ABC的周長(zhǎng). 2 3sin a A 解析解析本題考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等變換,考查學(xué)生利用三角形面積公式進(jìn)行 運(yùn)算求解的能力. (1)由題設(shè)得acsinB=,即csinB=.

32、由正弦定理得sinCsinB=. 故sinBsinC=. (2)由題設(shè)及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-, 即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=. 由題設(shè)得bcsinA=,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=. 故ABC的周長(zhǎng)為3+. 1 2 2 3sin a A 1 23sin a A 1 2 sin 3sin A A 2 3 1 2 1 2 2 3 3 1 2 2 3sin a A 33 33 思路分析思路分析(1)首先利用三角形的面積公式可得acsinB=,然后利用正弦定理,把邊轉(zhuǎn)化 成角的形式,即可得出sinBsi

33、nC的值;(2)首先利用sinBsinC的值以及題目中給出的6cosBcos C=1,結(jié)合兩角和的余弦公式求出B+C,進(jìn)而得出A,然后利用三角形的面積公式和a的值求出bc 的值,最后利用余弦定理求出b+c的值,進(jìn)而得出ABC的周長(zhǎng). 1 2 2 3sin a A 20.(2017課標(biāo)理,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2. (1)求cosB; (2)若a+c=6,ABC的面積為2,求b. 2 B 解析解析本題考查了三角公式的運(yùn)用和余弦定理的應(yīng)用. (1)由題設(shè)及A+B+C=得sinB=8sin2, 故sinB=4(1-cosB). 上式

34、兩邊平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0, 解得cosB=1(舍去),cosB=. (2)由cosB=得sinB=, 故SABC=acsinB=ac. 又SABC=2,則ac=. 由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2=4. 所以b=2. 2 B 15 17 15 17 8 17 1 2 4 17 17 2 17 2 15 1 17 解后反思解后反思在余弦定理和三角形面積公式的運(yùn)用過(guò)程中,要重視“整體運(yùn)算”的技巧.如本題 中b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)中的轉(zhuǎn)化就說(shuō)明了這一點(diǎn)

35、. 21.(2017課標(biāo)理,17,15分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sinA+cosA=0,a=2 ,b=2. (1)求c; (2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn),且ADAC,求ABD的面積. 3 7 解析解析(1)由已知可得tanA=-,所以A=. 在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0. 解得c=-6(舍去)或c=4. (2)解法一:由題設(shè)可得CAD=, 所以BAD=BAC-CAD=. 故ABD面積與ACD面積的比值為=1. 又ABC的面積為42sinBAC=2, 所以ABD的面積為. 3 2 3 2 3 2 6 1 sin 26 1 2 A

36、B AD AC AD 1 2 3 3 解法二:由余弦定理得cosC=,在RtACD中,cosC=, CD=,AD=,DB=CD=, SABD=SACD=2sinC=. 2 7 AC CD 737 1 2 77 3 7 3 解法三:BAD=,由余弦定理得cosC=, CD=,AD=,SABD=4sinDAB=. 解法四:過(guò)B作BE垂直AD,交AD的延長(zhǎng)線于E,在ABE中,EAB=-=,AB=4,BE=2, BE=CA,從而可得ADC EDB,BD=DC,即D為BC中點(diǎn),SABD=SABC=24sin CAB=. 6 2 7 73 1 2 33 2 3 2 6 1 2 1 2 1 2 3 22.(

37、2016課標(biāo),17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c. (1)求C; (2)若c=,ABC的面積為,求ABC的周長(zhǎng). 7 3 3 2 解析解析(1)由已知及正弦定理得, 2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,(2分) 2cosCsin(A+B)=sinC. 故2cosCsinC=sinC.(4分) 可得cosC=,所以C=.(6分) (2)由已知,得absinC=. 又C=,所以ab=6.(8分) 由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7. 故a2+b2=13,從而(a+b)2=25.a+b=5.

38、(10分) 所以ABC的周長(zhǎng)為5+.(12分) 1 23 1 2 3 3 2 3 7 23.(2016江蘇,15,14分)在ABC中,AC=6,cosB=,C=. (1)求AB的長(zhǎng); (2)求cos的值. 4 54 6 A 解析解析(1)因?yàn)閏osB=,0B, 所以sinB=. 由正弦定理知=,所以AB=5. (2)在ABC中,A+B+C=,所以A=-(B+C),于是cosA=-cos(B+C)=-cos=-cosBcos+sin Bsin, 又cosB=,sinB=,故cosA=-+=-. 因?yàn)?A,所以sinA=. 4 5 2 1 cos B 2 4 1 5 3 5 sin AC Bsin

39、 AB C sin sin ACC B 2 6 2 3 5 2 4 B 4 4 4 5 3 5 4 5 2 2 3 5 2 2 2 10 2 1 cos A 7 2 10 因此,cos=cosAcos+sinAsin=-+=. 6 A 6 6 2 10 3 2 7 2 10 1 2 7 26 20 評(píng)析評(píng)析本題主要考查正弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與兩角和(差)的三角函數(shù)公式,考 查運(yùn)算求解能力. 24.(2015課標(biāo)文,17,12分)已知a,b,c分別為ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,sin2B=2sinAsinC. (1)若a=b,求cosB; (2)設(shè)B=90,且a=,求ABC的面積. 2

40、 解析解析(1)由題設(shè)及正弦定理可得b2=2ac. 又a=b,所以b=2c,a=2c. 由余弦定理可得cosB=.(6分) (2)由(1)知b2=2ac. 因?yàn)锽=90,所以由勾股定理得a2+c2=b2. 故a2+c2=2ac,故c=a=. 所以ABC的面積為1.(12分) 222 2 acb ac 1 4 2 評(píng)析評(píng)析本題考查了正弦定理、余弦定理,考查了解三角形的基本方法,屬容易題. 25.(2015課標(biāo)理,17,12分)ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分BAC,ABD面積是ADC面積 的2倍. (1)求; (2)若AD=1,DC=,求BD和AC的長(zhǎng). sin sin B C 2 2 解析解

41、析(1)SABD=ABADsinBAD, SADC=ACADsinCAD. 因?yàn)镾ABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC. 由正弦定理可得=. (2)因?yàn)镾ABD SADC=BD DC,所以BD=. 在ABD和ADC中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB, AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1. 1 2 1 2 sin sin B C AC AB 1 2 2 C C組教師專(zhuān)用題組組教師專(zhuān)用題組 1.(2016山東文,8,5分)ABC中,角A,B,C的對(duì)

42、邊分別是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sinA).則A= () A.B.C.D. 3 4 3 4 6 答案答案C在ABC中,由b=c,得cosA=,又a2=2b2(1-sinA),所以cosA=sinA, 即tanA=1,又知A(0,),所以A=,故選C. 222 2 bca bc 22 2 2 2 ba b 4 評(píng)析評(píng)析恰當(dāng)運(yùn)用余弦定理的變形形式是求解本題的關(guān)鍵. 2.(2016課標(biāo)文,4,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a=,c=2,cosA=,則b= () A.B.C.2D.3 5 2 3 23 答案答案D由余弦定理得5=22+b2-22bcosA,c

43、osA=,3b2-8b-3=0,b=3.故選 D. 2 3 1 3 b 舍去 評(píng)析評(píng)析本題考查了余弦定理的應(yīng)用,考查了方程的思想方法. 3.(2015廣東文,5,5分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若a=2,c=2,cosA=且bc, 則b=() A.3B.2C.2D. 3 3 2 23 答案答案C由b2+c2-2bccosA=a2,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,b8B.ab(a+b)16 C.6abc12D.12abc24 1 2 2 答案答案A設(shè)ABC的外接圓半徑為R,由三角形內(nèi)角和定理知A+C=-B,A+B=-C.于是sin2A +sin(A-B+C)=si

44、n(C-A-B)+sin2A+sin2B=-sin2C+sin2A+sin2B+sin2C=2sin(A+B) cos(A-B)+2sinCcosC=2sinCcos(A-B)-cos(A+B)=4sinAsinBsinC=sinAsinBsin C=. 則S=absinC=2R2sinAsinBsinC=R21,2,R2,2,abc=8R3sinAsinBsinC=R38, 16,知C、D均不正確.bc(b+c)bca=R38,A正確.事實(shí)上,注意到a、b、c的無(wú)序性,并且1 68,若B成立,則A必然成立,排除B.故選A. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 8 1 2 1

45、4 2 2 2 6.(2018北京文,14,5分)若ABC的面積為(a2+c2-b2),且C為鈍角,則B=;的取 值范圍是. 3 4 c a 答案答案;(2,+) 3 解析解析本題主要考查正弦、余弦定理,三角形面積公式,三角恒等變換. 依題意有acsinB=(a2+c2-b2)=2accosB, 則tanB=,0B, 又A0,0A, 則0tanA, 故+=2. 故的取值范圍為(2,+). 1 2 3 4 3 4 3 3 c a sin sin C A 2 sin 3 sin A A 1 2 3cos 2sin A A 1 2 3 2 1 tan A 2 3 2 6 3 3 1 tan A 3

46、c a 1 2 3 2 3 c a 7.(2017課標(biāo)文,16,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,則B =. 答案答案60 解析解析解法一:由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,即sin2B=sin(A+C),即sin2B= sin(180-B),可得B=60. 解法二:由余弦定理得2b=a+c,即b=b,所以a2+c2-b2 =ac,所以cosB=,又0Bb,B=45,A=75. 3 sin60 6 sinB 2 2 易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示本題求得sinB=后,要注意利用b0),有2=t2+t,即t2+t-2=

47、0, 解得t=1或t=-2(舍去), 故=1. 2 3 3 3 1 2 2 2 b c 2 bc c 2 b c b c b c b c 思路分析思路分析本題先由余弦定理列出關(guān)于b、c的方程,再將方程轉(zhuǎn)化為以為變?cè)姆匠糖蠼? b c 評(píng)析評(píng)析本題考查余弦定理的應(yīng)用及換元思想的應(yīng)用,屬中檔題. 10.(2016江蘇,14,5分)在銳角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,則tanAtanBtanC的最小值是 . 答案答案8 解析解析sinA=2sinBsinC, sin(B+C)=2sinBsinC, 即sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC, 亦即tanB+tanC

48、=2tanBtanC, tanA=tan-(B+C)=-tan(B+C) =-=, 又ABC為銳角三角形, tanA=0,tanB+tanC0,tanBtanC1, tanAtanBtanC=tanBtanC =, 令tanBtanC-1=t,則t0, tanAtanBtanC=22(2+2)=8,當(dāng)且僅當(dāng)t=,即tanBtanC=2時(shí),取“=”. tanAtanBtanC的最小值為8. tantan 1tantan BC BC tantan 1tantan BC BC tantan tantan1 BC BC tantan tantan1 BC BC 2 2(tantan) tantan1

49、BC BC 2 2(1)t t 1 2t t 1 t 11.(2015安徽文,12,5分)在ABC中,AB=,A=75,B=45,則AC=. 6 答案答案2 解析解析由已知及三角形內(nèi)角和定理得C=60,由=知AC=2. sin AB Csin AC B sin sin ABB C 6 sin45 sin60 12.(2015北京文,11,5分)在ABC中,a=3,b=,A=,則B=. 6 2 3 答案答案 4 解析解析由正弦定理知sinB=,又因?yàn)閍b,所以AB,所以B=. sinbA a 2 6sin 3 3 2 24 13.(2015福建文,14,4分)若ABC中,AC=,A=45,C=7

50、5,則BC=. 3 答案答案 2 解析解析B=180-45-75=60.由正弦定理得=,可得BC=. sin AC Bsin BC A 2 14.(2015廣東理,11,5分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若a=,sinB=,C=,則b= . 3 1 26 答案答案1 解析解析在ABC中,由sinB=,可得B=或B=,結(jié)合C=可知B=.從而A=,利用正弦定 理=,可得b=1. 1 26 5 6 6 6 2 3 sin a Asin b B 15.(2014課標(biāo)文,16,5分)如圖,為測(cè)量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從A 點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角MAN=60,C點(diǎn)的

51、仰角CAB=45以及MAC=75;從C點(diǎn)測(cè)得MCA=60 .已知山高BC=100m,則山高M(jìn)N=m. 答案答案150 解析解析在RtABC中,CAB=45,BC=100m,所以AC=100m. 在AMC中,MAC=75,MCA=60,從而AMC=45, 由正弦定理得,=,因此AM=100m. 在RtMNA中,AM=100m,MAN=60, 由=sin60得MN=100=150m,故填150. 2 sin45 AC sin60 AM 3 3 MN AM 3 3 2 思路分析思路分析在RtABC中,由條件利用直角三角形中的邊角關(guān)系求得AC;在AMC中,由條件 利用正弦定理求得AM;在RtMNA中,

52、根據(jù)MN=AMsinMAN求得結(jié)果. 16.(2015陜西理,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.向量m=(a,b)與n=(cosA, sinB)平行. (1)求A; (2)若a=,b=2,求ABC的面積. 3 7 解析解析(1)因?yàn)閙n,所以asinB-bcosA=0, 由正弦定理,得sinAsinB-sinBcosA=0, 又sinB0,從而tanA=, 由于0A0,所以c=3. 故ABC的面積為bcsinA=. 解法二:由正弦定理,得=, 3 3 3 3 7 3 1 2 3 3 2 7 sin 3 2 sin B 從而sinB=, 又由ab,知AB,所以cosB

53、=. 21 7 2 7 7 故sinC=sin(A+B)=sin =sinBcos+cosBsin=. 所以ABC的面積為absinC=. 3 B 3 3 3 21 14 1 2 3 3 2 17.(2015安徽理,16,12分)在ABC中,A=,AB=6,AC=3,點(diǎn)D在BC邊上,AD=BD,求AD的 長(zhǎng). 3 4 2 解析解析設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(3)2+62-236cos=18+36-(-36)=90,所以a=3 . 又由正弦定理得sinB=, 由題意知0B0, 所以A. 于是sinA+sinC=sinA+

54、sin =sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1=-2+. sin cos A A a b sin sin A B 2 A 2 , 2 2 2 2 2 A 2 0, 4 2 2 A 2 1 sin 4 A 9 8 因?yàn)?A,所以0sinA, 因此cosB的() A.充分必要條件B.充分不必要條件 C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件 答案答案B當(dāng)A=,B=時(shí),滿足sinAcosB,但此時(shí)ABC是直角三角形,即必要性不成立; 當(dāng)ABC為銳角三角形時(shí),A+B,即A-B, sinAsin=cosB, 故sinAcosB成立,即充分性成立. “ABC為銳角三角形”是“sinAcosB

55、”的充分不必要條件,故選B. 2 3 2 2 2 B 評(píng)析評(píng)析本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用,利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是解決本題的關(guān) 鍵. 2.(2019天津和平一模理)在ABC中,若a2=b2+c2-bc,bc=4,則ABC的面積為() A.B.1C.D.2 1 2 3 答案答案C由余弦定理可得cosA=, 所以A=,sinA=, 所以SABC=bcsinA=4=. 222 2 bca bc 2 bc bc 1 2 3 3 2 1 2 1 2 3 2 3 思路分析思路分析由余弦定理可求角A,然后代入三角形的面積公式即可. 評(píng)析評(píng)析本題考查了余弦定理及三角形的面積公式,是基礎(chǔ)題. 二、填空

56、題(共5分) 3.(2019天津部分區(qū)二模理)ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,B=,b=2,則 ABC的周長(zhǎng)的最大值是. 3 3 答案答案6 3 解析解析由正弦定理得a=4sinA,c=4sinC, a+b+c=2+4(sinA+sinC)=2+4sinA+sin(A+B) =2+4=2+4sin, B=,A, A+, sin, ABC的周長(zhǎng)的取值范圍為(4,6,故ABC的周長(zhǎng)的最大值是6. sin sin bA B sin sin bC B 33 3 33 sincos 22 AA 33 6 A 3 2 0, 3 6 5 , 66 6 A 1 ,1 2 333 三、解答題(共

57、70分) 4.(2019天津九校聯(lián)考一模理)已知ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若a=7,角A=6 0,且sinB+sinC=. (1)求bc的值; (2)若bc,求cos(2B+A)的值. 13 3 14 解析解析(1)由正弦定理結(jié)合分式的性質(zhì)得=, b+c=13, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即a2=(b+c)2-2bc-2bccosA, 72=132-2bc-2bc,bc=40. (2)b+c=13,bc=40,bc, b=5,c=8, cosB=,sinB=, cos2B=2cos2B-1=,sin2B=2sinBcosB=, cos(2B+A)=cos

58、2Bcos-sin2Bsin=-. sin a Asinsin bc BC (sinsin) sin aBC A 13 3 7 14 3 2 1 2 222 2 acb ac 11 14 5 3 14 46 196 110 3 196 3 3 71 98 5.(2019天津和平一模理)設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a、b、c,且b=3,c=1,A= 2B. (1)求a的值; (2)求cos的值. 2 6 A 解析解析(1)由A=2B,知sinA=sin2B=2sinBcosB, 由正、余弦定理得a=2b. 因?yàn)閎=3,c=1,所以a2=12,所以a=2. (2)由余弦定理得cosA=

59、-. 因?yàn)?A,所以sinA=, 所以sin2A=-,cos2A=-, 所以cos=cos2Acos-sin2Asin=. 222 2 acb ac 3 222 2 bca bc 9 1 12 6 1 3 2 1 cos A 1 1 9 2 2 3 4 2 9 7 9 2 6 A 6 6 4 27 3 18 評(píng)析評(píng)析本題主要考查解三角形的應(yīng)用,利用正弦定理、余弦定理以及兩角和的余弦公式是解 決本題的關(guān)鍵.考查學(xué)生的計(jì)算能力. 思路分析思路分析(1)利用正弦定理和余弦定理建立方程進(jìn)行求解; (2)利用兩角和的余弦公式進(jìn)行求解 6.(2019天津河西一模理)在ABC中,A、B、C的對(duì)邊為a、b、c

60、.已知acosC+c=b. (1)求A; (2)若b=4,c=6,求cosB和cos(A+2B)的值. 1 2 解析解析(1)acosC+c=b, sinAcosC+sinC=sinB, 又sinB=sin(A+C), sinAcosC+sinC=sinAcosC+cosAsinC, sinC0,cosA=, A(0,),A=. (2)在ABC中,b=4,c=6,A=, 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=16+36-246=28,a=2, 由正弦定理,可得sinB=, 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 1 2 7 sinbA a 3 7 ba,cosB=, sin2B=2s